VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отметим, что (5.11) можно использовать для контроля точности получаемых решений системы ОДУ при ее численном вншегрироеании. 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 144 5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем Теорема 5.8. Если вектор-функции ° хь(ь) = (хьь(ь), ..., х„ь(ь))), к = 1, и, определенные в промежутке Т числовой прямой й, образуют в нем фундаменпьальную систему решений однородной системы линейных ОДУ (5.3), то общее реиьение этой системы имеет вид х(~) = ~~~ Сьхь(~) ь=ь (5.12) с некоторыми постоянными коэффициентами Сь (к = 1, и ).
< Рассмотрим частное решение х(Ф) системы (5.3), удовлетво- ряющее при Фв Е Т условию х(~о) = хв. Согласно теореме 4.1 Коши, условия которой, очевидно, выполнены для системы (5.3), такое решение существует и единственно. Выше отмечалось, что решение однородной системы линейных обыкновенных дифференииальных уравнений (ОДУ) вида (5.3) с переменными коэффициентами в общем случае не удается получить при помощи операции интегрирования.
Однако можно указать структуру общего решения как системы (5.3), так и системы линейнььх неоднородных ОДУ вида (5.1), которую также называют нормальной неоднородной системой линейных ОДУ с переменными коэффициентами. Важно подчеркнуть, что, согласно определению 4.2 общего решения нормальной системьь из и ОДУ, это решение включает и произвольных постоянных Сь (х = 1, и ). Следующал теорема позволяет не только указать структуру общего решения однородной системы вида (5.3), но и установить, что в случае задачи Коши для системы линейных ОДУ эти постоянные определены однозначно. о.З. Структура общего ретеиия системы ОДУ 145 Векторы ха(8а) (к = 1, и) линейно независимы в силу линейной независимости в промежутке Т фундаментальной системы решений (см. определение 5.2), и их можно рассматривать как базис евклидова (векторного) пространства К".
В базисе разложение еентиора хо = ~> Саха($о) (5.13) единственно в том смысле, что коэффициенты линейной комбинации (5.13) определены однозначно [1Ч). Вектор-функция о х'(8) = ,'~ Саха(1), а=1 (5.14) Нетрудно заметить, что совокупность решений однородной системы (5.3) образует п-мерное линейное пространство. Любая фундаментальнал система решений служит базисом в этом пространстве. будучи линейной комбинацией решений системы (5.3), согласно теореме 5.1, является решением этой системы, которое удовлетворяет условию х" ($о) = х(Фо) = хо. В силу единственности решения системы (5.3), удовлетворяющего этому условию, имеем х*($) = х($) и, учитывал (5.14), получаем (5.12).
Таким образом, (5.12) верно при фиксированных Фо Е Т и ха Е К", причем в этом случае коэффициенты Сь (Й = Т, и) определены однозначно. Поскольку точка (са, ха) Е Р = ТхЖ' может быть выбрана произвольно, то (5.12) определяет структуру любого решения в этой области, причем каждому такому решению отвечает конкретный набор коэффициентов Са.
В этом смысле линейная комбинация (5.12) определяет структуру общего решения однородной системы (5.3) в области Р как совокупности всех частных решений, так как из (5.3) можно получить любое частное решение в этой области, вычислив по заданным 8а и хо коэффициенты Сь. я Л. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОЛУ 146 Теорема 5.9. Общее решение неоднородной системы (5.2) есть сумма общего решения соответствующей ей однородной системы (5.3) и частного решения неоднородной системы (5.2): в х(Ф) = х,Я+ ~~1 С»х»(Ф). »=1 (5.15) Здесь х„($) — частное решение неоднородной системы (5.2), определенное в промежутке Т; х»(1), й = 1, и, — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (5.3), определенных в том же промежутке; С», й = 1, и,— некоторые постоянные коэффициенты.
< На основании теоремы 5.3 (5.15) является решением неоднородной системы (5.2). Наоборот, если х(1) — какое-либо решение неоднородной системы (5.2), то, согласно теореме 5.2, х($) — х,(Ф) — решение однородной системы (5.3), которое можно представить в виде (5.12), т.е. хЯ вЂ” х,(1) = ') С»х»Я. »»н Несмотря на достаточно общий характер теорем 5.8 и 5.9, они не только играют важнейшую роль в теории ОДУ, но и указывают путь решения систем линейных ОДУ с переменными коэффициентами. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. Для любого частного решения неоднородной системы (5.2), удовлетворяющего при произвольном $о Е Т условию х(Фо) = хе, значения коэффициентов С» (й = 1, и) могут быть найдены однозначно при разложении вектора хе — х.
(1е) в базисе, образованном линейно независимыми векторами х»(Фе). В этом смысле (5.15) определяет структуру общего решения неоднородной системы (5.2) как совокупности всех частных решений этой системы. В 147 5.4. Метод вариации аастелииых 5.4. Метод вариации постоянных хай) = (х1ь(1),..., хна(4), "., хвьф), й = 1, п1 где хи(т) — координатные функции вектор-функции хь(т). Каждое из решений, составляющих фундаментальную систему решений, удовлетворяет системе (5.3), т.е. — = А($)хь, й =1, и.
дхь Ж (5.1б) Введем в рассмотрение матрицу хп(Ф) ... хгв(Ф) Х(4) = (х1(1)1" ~ ха(4)) = . (5 17) хи1(4) °" хии(~) Ее называют фундаментпальной матприцей. Дифференци- руя ее по Ф и используя (5.1б), получаем — = ~ —, ..., — "! = (А(Ф)хм ..., А(1)х„) = А(1)Х. (5.18) дХ И дх„'1 Будем искать решение неоднородной системы (5.2) в виде х(4) =С1(~)х1+...+СьЯхьф+...+ + С„(1)х„= Х(Ф)с(Ф), (5.19) Покажем, что интегрирование неоднородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (5.2) с переменными коэффициентами можно свести к нахождению фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы ОДУ (5.3). Иными словами, если известна фундаментальная система решений, то общее решение неоднородной системы можно получить при помощи операции интегрирования.
Пусть х1(Ф), ..., хь(т), ..., х„(Ф) — фундаментальная система решений однородной системы (5.3), определенных в некотором промежутке Т С К числовой прямой К, причем о. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 148 где с(1) = (С1(Ф), ..., Сь($), ..., С„(Ф)), а Сь(1) — подлежащие определению координатные функции вектор-функции с($). Подставив (5.19) в (5.2), запишем — с(Ф) + Х вЂ” = А(Ф)Х с(Ф) + д(Ф), «1Х «(с «11 ««е или, учитывая (5.18), х — = д(е).
дс «Й (5.20) с(1) = Х ~(т)д(т)йт+св, (5.21) «о где со = с(ев) — вектоР, Равный значению в точке 1в Е Т искомой вектор-функции с(Ф), т.е. се = (С~, ..., Се, ..., Св), ~~с — — С~(1в), к = 1, п. Определителем фундаментальной матрицы Х(1) является определитель 11~(Ф) Вронского для системы вектор-функций, образующих рассматриваемую фундаментальную систему решений однородной системы (5.3).
В силу определения 5.2 фундаментальной системы эта система вектор-функций линейно независима в промежутке Т. Поэтому И'($) ф 0 ~й е. Т, так как если хотя бы в одной точке этого промежутка определитель Вронского будет равен нулю, то, согласно теореме 5.6, система вектор-функций будет линейно зависимой в Т, что противоречит исходному условию. Таким образом, «(АХ(Ф) фО «Й ЕТ, т.е.
в каждой точке 1 промежутка Т можно построить матрицу Х «(е), обратную фундаментальной матрице Х(Ф). Умножал слева обе части (5.20) на Х ~ и интегрируя в промежутке Т от $в ЕТ до Ф, получаем 149 6.4. Метод вариации цостацццых При построении общего решения неоднородной системы (5.2) вектор со можно выбрать произвольно. Действительно, подставив (5.21) в (5.19), найдем х($) =Х(С)со+Х($) Х '(т)д(т)дт.
(5.22) со Если выбрать со = О, то получим часшное решение сиссаемы (5.2) с х,(с) =Х(С) Х '(т)д(т)дт. (5.23) Поскольку Х(С)со = Сс~хд(С) +... +Сдх„(С), то (5.22) с учетом (5.23) можно записать также в виде *(с) =х*(с)+Есох.(Ф) о=с (5.24) х(С) =Х(Ф)Х ~(Со)хо+Х(С) Х ~(т)д(т)дт. Изложенный метод нахождения решения неоднородной системы (5.2) называют месподом вариации посспо.янных, или методом Лаеронзка неопределенных коэфЯициенпсов. В силу теоремы 5.9 (5.24), а следовательно, и (5.22) дают общее решение неоднородной системы (5.2).
Если решать задачу Коши для системы (5.2) при начальном дслоеии х(со) = хо, то, полагая в (5.22) с = со, получим хо = = Х(со)со, или со = Х ~(со)хо. Тогда решение задачи Коши для системы (5.2) можно записать в виде д. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 150 Пример. Найдем общее решение неоднородной системы двух линейных ОДУ (сс = 2) сЬс -с. — = 4хс — Зхг+ е ссс сЬг — = 2хс — хг. ссс Исходной системе соответствует однородная система с1хс — = 4хс — Зхг, сН сдхг — = 2хс — хг. ссс (5.25) Х(г) = с 2, и Х (д) = Так как в данном случае д(с) = (е ',0), то Х с(с)д(с) = = (-2е гс, е зс)д. Положив Се = 0 и се = 0 и использовав (5.23), вычислим сначала интеграл с | — Зс т х-'[,~д(,)д =/[-д;",;"гд, = (,-"-1, а затем найдем частное решение с 2е2с е-с т .М=хщ~х-'( >д( >д = (,"-,', — '-,'д — ' 3 3 / со Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что вектор- функции хс(с) = (ес, Зегс) и хг(с) = (е', 2егс) удовлетворяют системе (5.25) и являются линейно независимыми на всей числовой прямой.
Согласно определению 5.2, они образуют фундаментальную систему решений системы (5.25), а фундаментальная матрица и обратная ей матрица размера сс = 2 имеют вид аа Система Оду с ностонниммн коэффициентами 151 исходной неоднородной системы. При построении ее общего решения положим се = (Осе, С20) и, согласно (5.24), запишем его в виде или ( ) (2) 2с с -с + ес 202с ОО 5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы Ых — =Ах, оС (5.26) где А — заданная матрица, а х = х(С) — искомая вектор- функция. ПуСтЬ ВСЕ КОЭффИцИЕНтЫ аС- В НОрМаЛЬНОй СИСтЕМЕ Линсйиьст обьисиовеимьсх дифференсСиольмых уравнений (ОДУ) (5.1) постоянны.
Иначе говоря, постояссны все элелсеитссм матрицы А(С) системы: ас =сопвС, с, с =1, тс. Такую систему называют нормальной систпелсой лссмеймых ОДУ с поспсо*ннььсисс коэффсссСссемтпамсс. При этом, если д(С) рсО в некотором промежутке Т числовой прямой й, в котором рассматривают решение этой системы ОДУ, то систему называют неоднородной, а в противном случае — однородной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
