VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 14
Текст из файла (страница 14)
По вычисленному значению Т+ затем из (3.63) можно найти полное время Т погружения, а из (3.65) — скорость в конце погружения е(Т). 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.8. Скорость химической реакции характеризуют скоростью образования конечного продукта реакции. Согласно закону действующих масс, эта скорость при постоянной температуре пропорциональна произведению текущих концентраций реагирующихвеществ.
Пусть для получения х молекул конечного продуктаХ требуется х молекул веществаА и х/2 молекул вещества В, т.е. уравнение реакции можно записать в виде 2А+ В = 2Х. ~Ь х — = Й1(а — х)(Ь вЂ” — ) аг 2 (3.67) с разделяяицимися переменными, где Й1 > 0 — константа скорости рассматриваемой реакции в данных условиях. После разделения переменных и интегрирования получим Используя начальное условие х(0) = О, найдем постоянную С = = 1п(2Ь/а) и запишем 2Ь вЂ” х(1) ~ 2Ь 2й1 М 2Ь ~ 2й1 ! = — ехр = — е, м= а — х(1) а 2Ь-а а ' 2Ь-а Если известно, что в момент времени Ф1 > 0 концентрация конечного продукта х($1) = хм то это позволяет при помощи В момент времени 1 = 0 начальные концентрации веществ А и В, определяемые количеством молекул этих веществ в объеме химического реактора, равны соответственно а и Ь, а концентрация конечного продукта х(0) = О.
В силу закона действующих масс в этот момент времени начальная скорость реакции пропорциональна произведению аЬ, а в некоторый момент времени Ф > 0 при концентрации х(Ф) конечного продукта получим ОДУ Д.З.1. Особенности состаааеннв ОДУ в нрнидаднвнс задачах 105 (3.68) вычислить константу скорости реакции 2Ь вЂ” а ~1 — х1/(26) ~ й1 = 1п~ 281 ~ 1 — х1/а Исходя из уравнения протекающей реакции ясно, что в рассматриваемых условиях х =шш(а; 2Ь). Следовательно, ~(26 — х)/(а — х)! > 0 и (3.68) можно записать в виде енФ 1 1 е-мФ х(й) = 2а6 = 2аЬ .
(3.69) Иэ (3.67) следует, что если количество конечного продукта реакции ограничено начальной концентрацией а вещества А, то скорость реакции тем выше, чем выше начальная концентрация 6 вещества В. При условии 26 > а имеем зс> О, и знаменатель дроби в правой части (3.69) положителен при 8 > О. Если же 2 Ь < а, то скорость реакции уменьшается, х < О, и (3.69) в этом случае целесообразно записать в виде е1"~' — 1 х(й) = 2а6 ее~~и~ й 26 Отсюда ясно, что знаменатель также положителен при $ > О. Особый случай соответствует условию 26 = а, т.е. так называемому стехиометрическому соотношению начальных концентраций реагирующих веществ.
В этом случае теоретически должны полностью прореагировать все молекулы исходных веществ, а вместо (3.67) скорость реакции будет подчиняться ОДУ Их 2 — = йз(а-х) . сМ Решением этого ОДУ с учетом начального условия х(0) = 0 будет а2 ф 1+ а)сг 6 Отметим, что во всех случаях полному завершению реакции соответствует условие 6 -~ +ос. 106 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.9. Одна из простейших математических моделей эволюции биологической популяции основана на предположении,что численность х популяции и скорость Их/~Ы изменения численности во времени 1 пропорциональны, т.е. с1х — = гх. о1 (3.70) Коэффициент г можно трактовать как разность коэффициен- тов Ь и И вЂ” соответственно рождаемости и смертности. Если считать коэффициент г = Ь- Н постоянным, то решением ОДУ (3.70) будет зависимость х(1) = хее', х(1) = хоехр Д») Ы». о Однако подобрать функцию 7'($), учитывающую реальное влияние среды обитания, достаточно трудно. Рассмотрим иной путь учета этого влияния, связанный с введением понятия максимальной численности х', при которой где хе — численность популяции в момент времени Ф = О. Однако такой вариант математической модели маяоинформативен и не позволяет проанализировать влияние на эволюцию популяции среды обитания.
Действительно, при г > 0 численность популяции неограниченно растет, что нереально в силу ограниченности средств существования, а при г < 0 численность уменьшается до нуля, т.е. популяция вымирает. Частный случай г — 0 соответствует стабильной численности,т.е. она не изменяется во времени. Если влияние среды обитания удается отразить зависимостью коэффициента т от времени, т.е. введением функции г = 7"(8), то решение ОДУ (3.70) при том же начальном условии х(0) = хе ) 0 примет вид Д.3.1. Особенности состааленна ОДУ н нрнкладяых задачах 107 популяция еще может обеспечить себя средствами существования. Тогда коэффициент 1 — х/х* будет мерой неиспользованных популяцией ресурсов, допускающих увеличение ее численности, т.е. вместо (3.70) будем иметь ОДУ вЂ” = г(1 — —,) х.
(3.71) С учетом начального условия х(0) = хг оно имеет решение х*е" а х(с) = хо = хо, (3 72) х*+ хо(е™ вЂ” 1) хо+ (х' — хо)е "з включающее не представляющее интереса пзрцецадькое решение х(с) ш О, соответствующее условию хг = О, и решение х(с) = х' при теоретически возможном совпадении значений хе и х'. В остальных случаях (3.72) описывает эволюционный процесс изменения во времени численности популяции. Рассмотрим эти случаи. При г < 0 и 1-+ +ос имеем х($) -+ О, т.е. популяция обречена на вымирание.
Однако модель адекватно описывает эво- Г>0 люционный процесс лишь при условии хг <х* (рис. 3.13). В случае г > 0 численность х(с) популяции во времени монотонно возрастает, ссо если хг < х', и монотонно убывает, "о если хг > х*, но при Ф вЂ” ~+со стре- О $ мится к одному и тому же пределу, Рис. 3.13 равному х'. Несложно установить, что при хг < х" функция х($), задаваемая соотношением (3.72), имеет пзочку перегиба = (1/г) 1п(х*/хг — 1), которой отвечают ординазпа х, = х(1,) = = х'/2 точки перегиба графика этой функции и наибольшая по абсолютному значению скорость изменения численности 108 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА популяции. График этой функции называют лозисовнчесной кривой. При сочетаниях параметров г > О, хв > х'/2 или г < <О, хе <х*/2 имеем 1, <О, т.е. точка перегибалогистической кривой лежит на ее продолжении в область отрицательных значений $. Логистическая кривая описывает многие эволюционные процессы, на протекание которых влияют конкурирующие или ограничивающие факторы. Помимо биологических и экологических приложений математические модели, связанные с этой кривой, находят применение в экономике. В частности, модель, включающая ОДУ (3.71), описывает процесс распространения рекламной информации о некотором товаре среди его потенциальных покупателей, максимально возможное число которых равно х'.
Пусть в момент времени ~ = О были даны рекламные объявления о товаре в печати, по радио и телевидению и об этой информации узнали лишь хв (хв < х') потенциальных покупателей. В последующем передача рекламной информации происходит лишь за счет общения потенциальных покупателей, причем скорость распространения этой информации пропорциональна как числу х осведомленных, так и числу х' — х неосведомленных покупателей, а отношение г/х" > О является коэффициентом пропорциональности. Дальнейшее уточнение моделей рассматриваемого типа связано с учетом влияния на скорость ~Ь/Ж эволюционного процесса не только текущего значения х(Ф), но и значений х(1 — т) в один или несколько предшествующих моментов времени (в частности, промежуток времени т можно интерпретировать как период биологического цикла размножения).
Уравнения вида Нт(~) = /(Ф, х($), х(~ — т)), входящие в такие модели, относят к типу днфференцнаяьнью уравнений с отпняонякнцимся арвул4ентпол4. Д.З.З. Ортогонаеъные и изогонаеьные траектории 109 Дополнение 3.2. Ортогональные и изогональные траектории Рассмотрим одну из геометрических задач, решение которой можно свести к составлению и инепегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Семейство линий уровнл функции Р(ь,х) описывается уравнением Р(е, х) = а, где а — паралеегпр. Предположим, что функция Щ,х) непрерывно дифференцируема по переменным Ф и х в некоторой области их изменения. Обозначим частные производные этой функции соответственно дР/де = = Р1 (2, х) и дР/дх = Р2(2, х).
Напомним, что вектор градиента ть = (Р1(~, х), Р2(е, х)) в точке (?,х) ортогонален проходящей через эту точку линии уровня функции Р(е, х). Угловой коэффициента прямой, параллельной вектору градиента, равен Й1 = Р2($, х)/Р1(ь, х), а угловой коэффипиент касательной к линии уровня в этой точке Й = -1/Й1 —— -Р1(?,х)/Р2(?,х), поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и знаку [?1?]. Согласно геометрическому смыслу производной [П], Й = дх/Ж, где х(Ф) — функция, график которой является линией уровня функции Р($, х).
Таким образом, приходим к ОДУ первого порядка дх Р1(~, х) (3.73) Рг(ь, х) интпегральнььни кривыми которого будут линии уровня функции Р(2, х). Поле направлений, соответствующее ОДУ (3.73), в каждой точке плоскости ~Ох повернем на угол к/2. Полученное таким образом поле направлений будет соответствовать ОДУ дх Р2(~, х) (3.74) дг Р1(Ф, х) Интегральные кривые этого ОДУ пересекают линии уровня функции Р(е, х) под прямым углом, так как в каждой точке (Ф, х) касательная к интегральной кривой ОДУ (3.74) ортого- 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА нальна касательной к линии уровня Р(Ф, х) = а, проходящей через эту точку.
Интегральные кривые ОДУ (3.74) называют ортоэона аьными траекториями семейства линий г'(Ф, х) = а. Пусть г (Ф, х) = е'+ х~. Тогда уравнение Р(Ф, х) = а задает семейство концентрических окружностей с общим центром в начале системы координат 0$х. Радиус каждой окружности зависит от значения параметра а ) 0 и равен ~/а. В данном случае дг/дФ = Р1(Ф,х) = 2Ф и дг/дх = Рг($,х) = 2х, а (3.74) принимает вид ОДУ с разделяющимися переменными дх/ей = х/е. Интегральными кривыми этого ОДУ будут прямые х = С1, С = сопеФ, которые проходят через нача- ло той же системы координат и, очек видно, являются ортогональнымн траекториями семейства концентрических окружностей (рис. 3.14). Ясно, что, в свою очередь, концентрические окруж- О ности будут ортогональными траекториями пучка прямых, проходящих через общий центр этих окружностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
