Главная » Просмотр файлов » VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения

VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 14

Файл №1081404 VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 14 страницаVIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404) страница 142018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

По вычисленному значению Т+ затем из (3.63) можно найти полное время Т погружения, а из (3.65) — скорость в конце погружения е(Т). 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.8. Скорость химической реакции характеризуют скоростью образования конечного продукта реакции. Согласно закону действующих масс, эта скорость при постоянной температуре пропорциональна произведению текущих концентраций реагирующихвеществ.

Пусть для получения х молекул конечного продуктаХ требуется х молекул веществаА и х/2 молекул вещества В, т.е. уравнение реакции можно записать в виде 2А+ В = 2Х. ~Ь х — = Й1(а — х)(Ь вЂ” — ) аг 2 (3.67) с разделяяицимися переменными, где Й1 > 0 — константа скорости рассматриваемой реакции в данных условиях. После разделения переменных и интегрирования получим Используя начальное условие х(0) = О, найдем постоянную С = = 1п(2Ь/а) и запишем 2Ь вЂ” х(1) ~ 2Ь 2й1 М 2Ь ~ 2й1 ! = — ехр = — е, м= а — х(1) а 2Ь-а а ' 2Ь-а Если известно, что в момент времени Ф1 > 0 концентрация конечного продукта х($1) = хм то это позволяет при помощи В момент времени 1 = 0 начальные концентрации веществ А и В, определяемые количеством молекул этих веществ в объеме химического реактора, равны соответственно а и Ь, а концентрация конечного продукта х(0) = О.

В силу закона действующих масс в этот момент времени начальная скорость реакции пропорциональна произведению аЬ, а в некоторый момент времени Ф > 0 при концентрации х(Ф) конечного продукта получим ОДУ Д.З.1. Особенности состаааеннв ОДУ в нрнидаднвнс задачах 105 (3.68) вычислить константу скорости реакции 2Ь вЂ” а ~1 — х1/(26) ~ й1 = 1п~ 281 ~ 1 — х1/а Исходя из уравнения протекающей реакции ясно, что в рассматриваемых условиях х =шш(а; 2Ь). Следовательно, ~(26 — х)/(а — х)! > 0 и (3.68) можно записать в виде енФ 1 1 е-мФ х(й) = 2а6 = 2аЬ .

(3.69) Иэ (3.67) следует, что если количество конечного продукта реакции ограничено начальной концентрацией а вещества А, то скорость реакции тем выше, чем выше начальная концентрация 6 вещества В. При условии 26 > а имеем зс> О, и знаменатель дроби в правой части (3.69) положителен при 8 > О. Если же 2 Ь < а, то скорость реакции уменьшается, х < О, и (3.69) в этом случае целесообразно записать в виде е1"~' — 1 х(й) = 2а6 ее~~и~ й 26 Отсюда ясно, что знаменатель также положителен при $ > О. Особый случай соответствует условию 26 = а, т.е. так называемому стехиометрическому соотношению начальных концентраций реагирующих веществ.

В этом случае теоретически должны полностью прореагировать все молекулы исходных веществ, а вместо (3.67) скорость реакции будет подчиняться ОДУ Их 2 — = йз(а-х) . сМ Решением этого ОДУ с учетом начального условия х(0) = 0 будет а2 ф 1+ а)сг 6 Отметим, что во всех случаях полному завершению реакции соответствует условие 6 -~ +ос. 106 3.

ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.9. Одна из простейших математических моделей эволюции биологической популяции основана на предположении,что численность х популяции и скорость Их/~Ы изменения численности во времени 1 пропорциональны, т.е. с1х — = гх. о1 (3.70) Коэффициент г можно трактовать как разность коэффициен- тов Ь и И вЂ” соответственно рождаемости и смертности. Если считать коэффициент г = Ь- Н постоянным, то решением ОДУ (3.70) будет зависимость х(1) = хее', х(1) = хоехр Д») Ы». о Однако подобрать функцию 7'($), учитывающую реальное влияние среды обитания, достаточно трудно. Рассмотрим иной путь учета этого влияния, связанный с введением понятия максимальной численности х', при которой где хе — численность популяции в момент времени Ф = О. Однако такой вариант математической модели маяоинформативен и не позволяет проанализировать влияние на эволюцию популяции среды обитания.

Действительно, при г > 0 численность популяции неограниченно растет, что нереально в силу ограниченности средств существования, а при г < 0 численность уменьшается до нуля, т.е. популяция вымирает. Частный случай г — 0 соответствует стабильной численности,т.е. она не изменяется во времени. Если влияние среды обитания удается отразить зависимостью коэффициента т от времени, т.е. введением функции г = 7"(8), то решение ОДУ (3.70) при том же начальном условии х(0) = хе ) 0 примет вид Д.3.1. Особенности состааленна ОДУ н нрнкладяых задачах 107 популяция еще может обеспечить себя средствами существования. Тогда коэффициент 1 — х/х* будет мерой неиспользованных популяцией ресурсов, допускающих увеличение ее численности, т.е. вместо (3.70) будем иметь ОДУ вЂ” = г(1 — —,) х.

(3.71) С учетом начального условия х(0) = хг оно имеет решение х*е" а х(с) = хо = хо, (3 72) х*+ хо(е™ вЂ” 1) хо+ (х' — хо)е "з включающее не представляющее интереса пзрцецадькое решение х(с) ш О, соответствующее условию хг = О, и решение х(с) = х' при теоретически возможном совпадении значений хе и х'. В остальных случаях (3.72) описывает эволюционный процесс изменения во времени численности популяции. Рассмотрим эти случаи. При г < 0 и 1-+ +ос имеем х($) -+ О, т.е. популяция обречена на вымирание.

Однако модель адекватно описывает эво- Г>0 люционный процесс лишь при условии хг <х* (рис. 3.13). В случае г > 0 численность х(с) популяции во времени монотонно возрастает, ссо если хг < х', и монотонно убывает, "о если хг > х*, но при Ф вЂ” ~+со стре- О $ мится к одному и тому же пределу, Рис. 3.13 равному х'. Несложно установить, что при хг < х" функция х($), задаваемая соотношением (3.72), имеет пзочку перегиба = (1/г) 1п(х*/хг — 1), которой отвечают ординазпа х, = х(1,) = = х'/2 точки перегиба графика этой функции и наибольшая по абсолютному значению скорость изменения численности 108 3.

ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА популяции. График этой функции называют лозисовнчесной кривой. При сочетаниях параметров г > О, хв > х'/2 или г < <О, хе <х*/2 имеем 1, <О, т.е. точка перегибалогистической кривой лежит на ее продолжении в область отрицательных значений $. Логистическая кривая описывает многие эволюционные процессы, на протекание которых влияют конкурирующие или ограничивающие факторы. Помимо биологических и экологических приложений математические модели, связанные с этой кривой, находят применение в экономике. В частности, модель, включающая ОДУ (3.71), описывает процесс распространения рекламной информации о некотором товаре среди его потенциальных покупателей, максимально возможное число которых равно х'.

Пусть в момент времени ~ = О были даны рекламные объявления о товаре в печати, по радио и телевидению и об этой информации узнали лишь хв (хв < х') потенциальных покупателей. В последующем передача рекламной информации происходит лишь за счет общения потенциальных покупателей, причем скорость распространения этой информации пропорциональна как числу х осведомленных, так и числу х' — х неосведомленных покупателей, а отношение г/х" > О является коэффициентом пропорциональности. Дальнейшее уточнение моделей рассматриваемого типа связано с учетом влияния на скорость ~Ь/Ж эволюционного процесса не только текущего значения х(Ф), но и значений х(1 — т) в один или несколько предшествующих моментов времени (в частности, промежуток времени т можно интерпретировать как период биологического цикла размножения).

Уравнения вида Нт(~) = /(Ф, х($), х(~ — т)), входящие в такие модели, относят к типу днфференцнаяьнью уравнений с отпняонякнцимся арвул4ентпол4. Д.З.З. Ортогонаеъные и изогонаеьные траектории 109 Дополнение 3.2. Ортогональные и изогональные траектории Рассмотрим одну из геометрических задач, решение которой можно свести к составлению и инепегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Семейство линий уровнл функции Р(ь,х) описывается уравнением Р(е, х) = а, где а — паралеегпр. Предположим, что функция Щ,х) непрерывно дифференцируема по переменным Ф и х в некоторой области их изменения. Обозначим частные производные этой функции соответственно дР/де = = Р1 (2, х) и дР/дх = Р2(2, х).

Напомним, что вектор градиента ть = (Р1(~, х), Р2(е, х)) в точке (?,х) ортогонален проходящей через эту точку линии уровня функции Р(е, х). Угловой коэффициента прямой, параллельной вектору градиента, равен Й1 = Р2($, х)/Р1(ь, х), а угловой коэффипиент касательной к линии уровня в этой точке Й = -1/Й1 —— -Р1(?,х)/Р2(?,х), поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и знаку [?1?]. Согласно геометрическому смыслу производной [П], Й = дх/Ж, где х(Ф) — функция, график которой является линией уровня функции Р($, х).

Таким образом, приходим к ОДУ первого порядка дх Р1(~, х) (3.73) Рг(ь, х) интпегральнььни кривыми которого будут линии уровня функции Р(2, х). Поле направлений, соответствующее ОДУ (3.73), в каждой точке плоскости ~Ох повернем на угол к/2. Полученное таким образом поле направлений будет соответствовать ОДУ дх Р2(~, х) (3.74) дг Р1(Ф, х) Интегральные кривые этого ОДУ пересекают линии уровня функции Р(е, х) под прямым углом, так как в каждой точке (Ф, х) касательная к интегральной кривой ОДУ (3.74) ортого- 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА нальна касательной к линии уровня Р(Ф, х) = а, проходящей через эту точку.

Интегральные кривые ОДУ (3.74) называют ортоэона аьными траекториями семейства линий г'(Ф, х) = а. Пусть г (Ф, х) = е'+ х~. Тогда уравнение Р(Ф, х) = а задает семейство концентрических окружностей с общим центром в начале системы координат 0$х. Радиус каждой окружности зависит от значения параметра а ) 0 и равен ~/а. В данном случае дг/дФ = Р1(Ф,х) = 2Ф и дг/дх = Рг($,х) = 2х, а (3.74) принимает вид ОДУ с разделяющимися переменными дх/ей = х/е. Интегральными кривыми этого ОДУ будут прямые х = С1, С = сопеФ, которые проходят через нача- ло той же системы координат и, очек видно, являются ортогональнымн траекториями семейства концентрических окружностей (рис. 3.14). Ясно, что, в свою очередь, концентрические окруж- О ности будут ортогональными траекториями пучка прямых, проходящих через общий центр этих окружностей.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,33 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее