VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 12
Текст из файла (страница 12)
У1 — У1 Уг Начиная с момента времени $1 (а при условии Уг < Уо < < У1 — с момента времени 2 = О) изменение напряжения на конденсаторе будет описывать соспгаеиаа периодическая фрикиия времени с периодом Т = Т1 +Тг, график которой имеет пилообразную форму (рис. 3.9). и(1 и У Уе Рис.
3.9 Пусть теперь ключ К (см. рис. 3.8) постоянно находится в левом положении, а напряжение внешнего источника изменяется во времени 2 по закону У"(с) = Уевши с круговой 86 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА частотой ы, причем в начальный момент времени $ = 0 напряжение на конденсаторе У(0) = О.
Тогда придем к задаче о и ~Ш 1 У* — — — У+ — зшоИ, У(0) = О, й АС )1С для линейного неоднородного ОДУ первого порядка. Его обтцин решением, будет т 4 Ф ' =< — 'П-1=")-- ) *И=")= о о о 4дл~с) ° ~д~ -т!(гчс) ~~1 т -тДнтс) + я Сl ' ",т' 1+( А,С)з о У'ВтВ,' + <вша — ыАтСсозотФ). (3.45) 1+ (отВтС)з Первое слагаемое в правой части (3.45) со временем уменьшается по абсолютному значению, и изменение напряжения на конденсаторе начинает определять второе слагаемое, которое можно запивать в виде У(~) =А(от)С'зш<отФ- р(от)), где А,С ый1 С А(от) =, <р(ы) = агсО8 ф~~Л,ср д1+( л,с)~ В данном случае А(ы) и <р(ы) — алтпяитпудно-частпотпная и фазочастпотпная харантперистпини рассматриваемой электрической цепи, отличающиеся от характеристик цепи с идеальным конденсатором лишь благодаря учету внутреннего сопротивления В, конденсатора, которое входит в выражение для Вь Д.зд.
Особенности составлении ОДУ в иринаадных задачах 87 При достаточно высокой частоте изменения напряжения на конденсаторе из-за неидеальности диэлектрика возникают потери: часть электрической энергии переходит в тепловую и необратимо рассеивается в окружающую среду. Эти потери также можно учесть в пределах уточненной математической модели, соответствующей схеме на рис. 3.7.
При этом, чем значение В, больше, тем потери меньше. Величину ыВ,С называют добротностью конденсатора, а Фбб = 1/(мВ С)— тангенсом угла диэлектрических потерь. Рассмотренный пример показывает, что даже ОДУ первого порядка позволяет построить уточненную математическую модель, существенно расширяющую наши представления о таком известном и казалось бы простом объекте, как электрический конденсатор. Пример 3.4. В рамках теории пределов ([1], пример 7.14) выведена известная формула Циолковского то ои = со + и 1п— тк (3.46) для идеальной скорости ракеты, движущейся в пустоте вне поля тяготения, где ио и то — начальные значения скорости и массы ракеты, т„— масса ракеты в конце работы ракетного двигателя, и — скорость истечения продуктов сгорания топлива.
Эта формула непосредственно следует из закона сохранения количества движения в системе, состоящей из ракеты и отбрасываемых продуктов сгорания и не испытывающей воздействия внешних сил. Рассмотрим два состояния этой системы. Первое состояние характеризуют значения массы т и скорости о ракеты, так что количество движения системы равно ти. После отбрасывания массы Ьт' продуктов сгорания со скоростью ы относительно ракеты в направлении, противоположном скорости о, ракета массой т — Ьт' получает приращение скорости Ье.
При этом во втором состоянии системы количество движения отброшенной массы будет Ьт'(о — ш), а количество 88 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА движения ракеты — (т — Ьт') (и + Ьи). Из закона сохранения количества движения в рассматриваемой системе следует ти = Ьт'(и — ш) + (т — Ьт') (и+ Ьи). (3.47) Раскрыв скобки, получим тЬи = инаят~+ Ьт'Ьи.
(3.48) тЬи = -ип." т — Ьт7Ли. После деления обеих частей этого равенства на Ьт и перехода к пределу при Ьт-+ О, учитывая, что Ьи-+ 0 при Ьт -+ О, придем к ОДУ с разделяющимися переменными (3.49) в котором в качестве независимого переменного выступает переменнаи масса т ракеты. Интегрирование (3.49) при начальном условии и(п1о) = ио дает то и(т) = во+и 1п —. (3.50) Отсюда при т = т„получаем (3.46).
Значение п1„включает массу т' полезного груза (например, спутника или космического корабля) и массу т, конструкции ракеты. Разность то — т„составляет массу израсходованного топлива. Совершенство конструкции ракеты и ракетного двигателя можно характеризовать отношением Л = т,/(то — т*), причем, чем это отношение меньше, тем при прочих равных условиях больше значение и„.
Тогда запишем тя = т*+ т„= т'+ Л (то — т') = Л то + (1 — Л) т' При переходе системы из первого состояния во второе масса ракеты получила приращение Ьт = — Ьт'. Поэтому вместо (3.48) можно записать Д.З.Ь Особенности составления ОДУ в нринладных задачах 89 и вместо (3.4б) получим то ю =60+ю1пЛ +(1 Отсюда следует, что наибольшего значения 1 о' = пе+ш 1пк Л (3.51) идеальной скорости можно достичь при условии гп' = О, т.е. при отсутствии полезного груза. Современные конструкционные материалы позволяют создавать ракеты, для которых 0,05 < Л < 0,1, а для современных ракетных топлив может быть получена скорость и истечения продуктов сгорания, несколько превышающая 4 км/с. Таким образом, при об = 0 в идеальных условиях можно было бы говорить о достижении скорости, близкой к так называемой параболической (или второй космической) скорости около 11 км/с, позволяющей удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.
Но влияние атмосферы Земли и сил тяготения уменьшает реально достижимую наибольшую скорость до значения, сопоставимого со значением круговой (или первой космической) скорости около 8 км/с, достаточной лишь для выведения конструкции ракеты на околоземную орбиту. Подчеркнем, что приведенные оценки относятся к случаю тп' = О, а наличие полезного груза приводит к дополнительному уменьшению скорости ракеты.
Как можно преодолеть возникающие ограничения? Математическая модель, включающая ОДУ (3.49), учитывает изменение массы ракеты только за счет отбрасываемых продуктов сгорания топлива. При этом наряду с ускорением полезного груза вплоть до достижения конечной скорости о„' приходится тратить энергию топлива на ускорение всей конструкции, часть которой становится бесполезной по мере расходования топлива. Поэтому естественной является идея 90 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА сконструировать ракету так, чтобы можно было избавляться в процессе полета от ненужной части конструкции. Сначала рассмотрим гипотетическую конструкцию ракеты, позволяющую по мере непрерывного расходования топлива также непрерывно отбрасывать пропорциональную по массе часть конструкции, но с нулевой относительно ракеты скоростью. Тогда суммарное приращение Ьт < 0 массы ракеты будет состоять из массы -ЛЬт отбрасываемой части конструкции, имеющей количество движения — Лап, и массы — (1 — Л)Ьт продуктов сгорания, имеющих количество движения -(1 — Л) Ьт(е — и).
Теперь вместо (3.47) из закона сохранения количества движения следует те = (т+ Ьт) (о + Ьв) — Лап — (1 — Л) Ьт (о — ш). После преобразований, аналогичных проведенным выше, получим ОДУ Й~ т — = — (1 — Л)и, йть интегрирование которого при прежнем начальном условии о(то) =ее дает о(т) = ео + (1 — Л) ~о 1п— то (3.52) Принципиальное отличие (3.52) от (3.50) состоит в том, что теперь конечная масса ракеты после расходования всего топлива просто совпадает с массой т" полезного груза, поскольку к этому моменту времени вся масса конструкции уже отброшена. Тогда вместо (3.46) будем иметь о„= со + (1 — Л) ш 1п —. то т' (3.53) Отсюда следует, что при оо = 0 и заданных значениях Л, ш, то полезному грузу можно сообщить любую нужную скорость, хотя, чем больше эта скорость, тем меньше допустимая масса Д.З.1.
Осооеииости составлеииа ОДУ в врииладиасс задачах 91 и»' полезного груза. Так, при А=0,1 и и=4 км/спараболическую скорость можно достичь в идеальных условиях прн тпо/тп' - 22,5, тогда как, согласно (3.51), при принятых значениях ео, А, ш и отсутствии полезного груза наибольшая возможная скорость и,', - 9,2 км/с. Конечно, рассмотренная гипотетическая конструкция ракеты не осуществима. Но к такой схеме отбрасывания ненужных частей конструкции можно приблизиться, создавая ракету из отдельных ступеней и отбрасывая каждую ступень после выработки в ней топлива.
В этом состояло существо идеи „космического поезда", выдвинутой создателем отечественной теоретической космонавтики К.Э. Циолковским (1857-1935). Эта идея реализована в современной ракетно-космической технике. Пример 3.5. Пусть жидкость, находящался в сосуде, вытекает через отверстие в его дне, имеющее площадь /. Известно, что скорость истечения жидкости через отверстие пропорциональна квадратному корню из высоты уровня жидкости над отверстием, а количество жидкости, вытекающее в единицу времени и называемое расходом, можно представить в виде Я(») = р/~/Йд», где р — коэффициент гидравлического сопротивления, д — ускорение свободного падения, » — текущал высота уровня жидкости в сосуде, отсчитываемая от дна сосуда..
Примем, что площадь Р(») горизонтального сечения сосуда является известной функцией расстояния» этого сечения от дна сосуда. Пусть в некоторый момент времени $ уровень жидкости находится на высоте». Тогда за достаточно малый промежуток времени Ж через отверстие вытечет количество жидкости ЯЫ = р/~/2д»Ы, что вызовет понижение уровня жидкости на — Ь» = Я(»)Ь»/Р(») (считая, что са» ) О). Таким образом, имеем 92 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА и после перехода в левой части этого равенства к пределу при Ж -+ 0 получаем ОДУ с разделяющимися переменными яя Р1 р —- — = — — у 2дз. ~й г'(я) (3.54) Если в начальный момент времени Ф = 0 высота уровня жид- кости была Н, т.е.
начальное условие имело вид «(0) = Н, то, разделяя в (3.54) переменные, можно записать РКж 1 Ра~~ р~~(2д~ /,и~~/2д~ (3.55) Рассмотрим несколько форм сосудов. Цилиндрический сосуд с вертикальной образующей имеет постоянную площадь Ро горизонтального сечения. В этом случае из (3.55) следует или зависимость уровня от времени — / /2л — (н~ (А2л — ~ — Д2л-и))) Вся жидкость вытечет из такого сосуда за время Т, соответствующее условию г «(Т) = О, т.е.
Т = Ро,/2Н(д!(РЯ. Цилиндрическая цистерна длиной Ь я с круговым поперечным сечением радиРис. 3.10 уса Н (рис. 3.10) и плоскими днищами имеет площадь горизонтального сечения Р( )=2АЧ2В ~. Т д (3.55) у Д.З.1. Освоенности составления ОДУ а прикладных задачах 93 и зависимость уровня жидкости от времени ,р)=ив-(дйв — вГ:, "~ в~) Для опорожнения цистерны понадобится промежуток времени Из полностью заполненой цистерны (Н = 2В) вся жидкость вытечет за время То = 8ВЬ~/В7д/(ЗрУ). Если стенка сосуда имеет форму параболоида еращенил, который описывается уравнением л = а(хз + у~), то имеем Р(г) = кял, где к =а ', и из (3.55) находим и изменение уровня жидкости во времени „, ~,,Йз 3р~~2д,~з~з Время полного опорожнения этого сосуда будет 2 ккН ~2Н 3,У~/ д' В древности чашу, в дне которой было небольшое отверстие, использовали в качестве водяных часов для того, чтобы ограничивать время выступлений ораторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
