VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2.2). х = (х|, ..., х„), существует, и притом единственное, решение х1 = х1 (а),..., х„= ха(е) задачи Коши для нормальной системы ОДУ (4.1), удовлетворяющее начальным условиям (4.2). 4. СИСТЕМЫ ОДУ 118 4.2. ххастное и общее решения системы дифференциальных уравнений Рассмотрим нормальную систпему обыкновенных дифференииальных уравнений (ОДУ). Существование частпного решения нормальной систнемы ОДУ, удовлетворяющего начальным условиям (4.2), утверждает теорема 4.1. Геометрически зто означает, что существует, и притом единственная, интаегральная кривая, проходящая через точку (то хо хо хо) ~ 1Ус+т 1 (рис.
4.1). Рис. 4.1 Будем считать 1о заданным, а хм ..., х„переменными параметрами, которые могут принимать различные числовые значения из области, где выполнены условия теоремы 4.1 Коши. Введем следующие обозначения: хт — — Сь хз — — Сг, ..., х„= С„. Определение 4.2. Решение Ф х; = х;(1, См ..., Сд, ..., С„), т' = 1, н, (4.7) системы (4.1) будем называть общим ретаением нормальной систаемы ОДУ' в области О, если для любой точки (уо, хы хг, ..., х'„) Е Ю существует совокупность значений нараметаров Ст = С~, Сз = Сз, ..., С„= С„*, определяемая путем решения системы уравнений х,* = х,'(Фо, С1, ..., С,*, ..., С„'), т' = 1, н, (4.8) и при зтих значениях С', у = 1, н, система функций (4.7) является решением задачи Коши для нормальной системы ОДУ с начальными значениями $о, х"„хг, ..., х'„.
119 4.3. Оценен ревности двух ретеннй 4.3. Оценка разности двух решений Ых бг = У(г х) ~у =д(т д) ат (4.9) (4.10) где х = (х1, ..., х„) и у = (у1, ..., у„) принадлежат и-мерному фазовому простпранстпву й". Введем обозначения (Щ = (~ и;), »б,= шах 9у(т,и) — д(т,и)~). Покажем, что из условия Лившица для каждой из функций у» относительно х1, ..., х„ с общей постоянной Б: ф(т, х) — у»(т, д) ! < Б~/ху — у 1 т = 1, т», 4=1 следует неравенство »»4( ) 4( „)»» <„ЗУгЦ (4.11) Из неравенстпва Коши — Буняковского ( у а16;) < (~) ат) (~61) в=1 при 61 = 6г = ... = Ь„= 1 следует, что (~~» а») <п~ а;, Рассмотрим две нормальные систпемы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые запишем в векторной форме вида (1.4): 120 4. СИСТЕМЫ ОДУ если ас > О, с =1, н.
Учитывая неравенство г ,'с аг < (~ а;) , а; > О, с = 1,п, которое можно доказать, например, при помощи метода мате- матической индукции, получаем и 9У(С х)-У(1,1С)~~~=~>,(Л(1,*)-Л(з,р)) < 1=1 < ЯЯФ,х) — ЦЬ,У)~) <н Ь (~> )хз — У () < с=1 1=1 < з1г~( )г з1г(( ((г 1=1 .((-*(о(=1 с(о*(с((оо со с оо( — оо (=1 о(с,ояос, (4.12) (4.13) где с с с т /с(с, Яос= /с(с, (с((с(,...,11,(с, (Яос (о14( со со со что эквивалентно (4.11).
Предположим, что функции у(с, х) и д(с, у) в области Р (4.3) удовлетворяют всем условиям теоремы 4.1 Коши, а х(с) и 1С(8) являются решениями нормальных систпем ОДУ (4.9) и (4.10) соответственно, определенными на отрезке [се — Й, Се+ Ь], где Ь вЂ” чисяо, фигурирующее в формулировке этой теоремы. Проинтегрируем системы (4.9) и (4.10) от Со до с: 121 4.3.
Оценка разности двух решений и аналогично записывается интеграл от функции д(с,у(Ф)). После вычитания (4.13) из (4.12) запишем: с И вЂ” и)О= Р) иР)иУ'(УК )О) — У)Си)СП)и).и се с .иу (и,ию)-и)с,ию))е (41с се С учетом неравенств Ца+ЬЦ < ЦаЦ+ ЦЬЦ и с й'К < Цй'Ц К имеем Цх(с) — 1У(с) Ц < Цх(со) — у(со) Ц + с + у ))УИ,.и))-У)си)о)))с( -:- с ~- ~)$)$УСС, и)О) -д(С,и)с)))иС < со с < Цх(1о) — 1у(4о)Ц+усз!зЬ 1 Цх(~) — у(~)ЦУЦ!+Ь)2.
(4.16) Если применить теперь к (4.16) внпсеградьиое иераеекспсео (2.4) Гронуолда при сс(с) = Цх(8) — у(С) Ц > О, о(с) = сс~/йЬ > О и 4 = Цх(Со) — 1У(1о)Ц+ Йсз > О, то получим Цх(С) — у(С) Ц < (Цх(Со) — 1У(1ой+ ЬЬ) е"~й~~. (4.17) При помощи (4.17) можно получить ряд важных следствий. 122 4. СИСТЕМЫ ОДУ Следствие 4.1. Если нормальная система ОДУ вида (4.9) удовлетворяет в области В (4.3) всем условиям теоремы 4.1 Коши, то решение этой системы непрерывно зависит от начальнмж условий в смысле, аналогичном определению 2.2. ~ Пусть в (4.9), (4.10) у = д.
Тогда Ь = 0 и неравенство (4.17) принимает вид Пх(1) - у(1) П < Пх(1е) - и(1,пе" ~'". ПОлОжимх($е)(ж~ ж)~гдеге~ж~~~ждночальймс значения, входящие в начальные условия для нормальной системы ОДУ (4.9). Если для любого е > 0 выбрать 6 = ее "~~чья, то при условии 8х(1о) — у(Фе)!) < 6 будем иметь 8х(Ф) — р(ФЦ < < е, т.е. решение х($) системы (4.9) непрерывно зависит от начальных значений, определяющих ее начальные условия.
~ Следствие 4.2. Если нормальная система ОДУ вида (4.9) удовлетворяет в области В (4.3) всем условиям теоремы 4.1 Коши, то решение этой системы непрерывно зависит от правой части (4.9) в смысле, аналогичном определению 2.3. ~ Пусть х(1е) = у(Фе). Тогда из (4.17) имеем (~х(1) у(~))! < й~1е"4" ь" Если для любого е > 0 выбрать 6= ее "~~~/Ь, то при условии Ь < 6 получим 9х($) — у(Ф)(~ < е, т.е.
решение системы (4.9) непрерывно зависит от ее правой части. ~ Нх — = у(1, х, Л~); ох — = у(1, ж, Лг). (4.18) (4.19) Рассмотрим случай, когда правая часть в (4.9) непрерывно зависит от некоторого скалярного параметра Л Е Л (Л— некоторый отрезок числовой прямой Й), и пусть этот параметр принимает два значения Л~ и Лз. Тогда мы будем иметь две системы 123 4.3. Оценив разности двух решеннй Обозначим через х(с, Лд) и х(с, Ле) решения систем (4.18) и (4.19), определенные на отрезке [ее — Ь, де + 6] и удовлетворяющие одинаковым начальным условиям х(ео, Лд) = х(ее, Лз).
Пусть функция дУ/дЛ(4, х, Л) непрерывна в области В. Тогда для каждой координатной функции Д, е = 1, и, имеет место теорема Лагранжа о конечных приращениях функции ,дд(е, х, Лз) — Яд, х, Лд) = — (д, х, Лд + сд(Лз — Лд)) (Лг — Лд), дУ 1=1,п, 0<9<1. Длл всех точек (Ф, х), принадлежащих замкнутой области0, можно найти А > О, такое, что )д~/дЛ(4, х, Л)) < А, е' = 1, дд. Тогда верна оценка ~Яд, х1 Ле) — Д(д> х, Лд)/ < А~~Лз — Лд~ .
Суммируя зту оценку по всем координатным функциям, полу- ~~~(д> х) Лз) — у(е, х> Лд)й < Ад/п)Лз — Лд ~. В силу выполнения условия Липшица по х существует Ь > О, такое, что ~!У(д, х(д, Лз), Лз) — д (й, х(д, Лд), Лд) 8 < оп~~1 $х(д, Лз) — х(й, Лд) 8. Это позволяет и в данном случае применить (4.17) и получить неравенство '8х(й, Лд) — х(е, Лз) )! < А~Лд — Лг~йе"~и~".
Если дла любого е > 0 выбРать 6 = ее "~ь"/(Айд/йд), то пРи условии /Лд — Лз/ < Б получим Цх(д, Лд) — х(е, Лз)/ < е. Таким образом, справедливо следующее утверждение. 124 4. СИСТЕМЫ ОДУ В ряде случаев требуется, чтобы решение задачи Коши длл нормальной системы ОДУ было дифференцируемой функцией параметра Л и начальных значений 1о, хо1, ..., хо. Сформулируем без доказательства теорему о дифференцируемости решения этой задачи по параметру. Теорема 4.2. Пусть в некоторой области изменения параметра Л и переменных Ф и х векторная функция у(Ф, х, Л) имеет непрерывные частные производные по всем аргументам. Тогда решение х(Ф, Л) задачи Коши для нормальной системы ОДУ вида (4.18) является непрерывно дифференцируемой векторной функцией 1 и Л.
Покажем теперь, что исследование зависимости решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ от начальных значений можно свести к анализу зависимости этого решения от параметра. Выполним в (4.9) подстановки т = Ф вЂ” Фо и и = х — хо, где хо = (хоп..., х~)~, и представим задачу Коши в виде Ии дт — = у(т+ Фо, и+ хо), и(0) = О. (4.20) Начальные значения 1о, хы ..., х„, являющиеся аргументами в правой части этой системы ОДУ, играют роль параметров.
Если векторная функция у($, х) в правой части (4.9) дифференцируема в области В (4.3), то правая часть в (4.20) удовлетворяет условиям теоремы 4.2, т.е. решение х(Ф, Фо, хо) задачи Коши для нормальной системы ОДУ вида (4.9) является непрерывно дифференцируемой функцией независимого переменного Ф и начальных значений Фо, хоп ..., хо. Следствие 4.3. Решение х(Ф, Л) нормальной системы ОДУ (4.18) непрерывно зависит от параметра Л в смысле, аналогичном определению 2.4, если при Л б Л правая часть у(1, х, Л) этой системы удовлетворяет условиям теоремы Коши и д~/дЛ(1,х, Л) непрерывна по Л в области 11, Л с Л.
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности 125 4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) и-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид с("х Их д" 1х (4.21) Обозначим для краткости записи д(в-1)х х д((п-1) а" х ас ась х = х(0), х = (х(0), ..., х(" 1)) . Введем в рассмотрение область Р= ((с,х): [~ — $0] <а, [х(~) — хо ](Ь, Й=О,п-1~, (4.22) х(~)(~0) =хо(), х(')(~0) =хор,...,х(" ~)(Ф0) =хо(" '), (4.23) где хо, хо, ..., хо — заданные числа. (0) (1) ( -1) где хо — — х(")(40); а, Ь вЂ” некоторые постоянные.
(ь) Решением Од'У (4.21) п-го порядка на отрезке 1 = = [$0 — а, 40 + а] называют функцию х($), удовлетворяющую следующим условиям: 1) функция х(Ь) непрерывно дифференцируема и раз на отрезке 1; 2) подстановка функции х(1) в ОДУ (4.21) обращает его в тождество. Задачей Коши для ОДУ(4.21) и-го порядка называют задачу нахождения функции х(с), удовлетворяющей уравнению (4.21) и начальным условиям 126 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
