VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Приведем теоремы, устанавливающие основные свойства однородных и неоднородных систем ОДУ. Теорема 5.1. Линейная комбинация решений однородной системы (5.3) также является решением этой системы. й Пусть х1($), хэ($) — решения системы (5.3), т.е. — = А(в)хг. дх2 ов — = А(й)хд, дх1 й Рассмотрим линейную комбинацию этих решений х(Ф) = ах1(Ф) +,Вхэ(1), а, ?3 Е К. Имеем — = а — + ?3 — = аА(~)х~ + ?3АЯхэ = А(~) (ах1(~) + Рхг(~)) ох дх1 Ыхэ <М сМ ~й т.е. ах1(Ф) +,Охэ(Ф) также является решением системы (5.3). ~ Здесь х(й) и д(1) — вектор-функции; А(й) — квадратная матрица, называемая матприцей систпемы ОДУ. ??ад введенными матрицами можно проводить известные алгебраические операции [П1], а также операции предельного перехода, дифференцирования [Ч] и интегрирования [Ч??]. В частности, напомним, что при дифференцировании или интегрировании матрицы надо просто продифференцировать или проинтегрировать все ее элементпьс С учетом введенных обозначений систему (5.1) перепишем в виде а системы линейных Оду 136 Теорема 5.2.
Разность любых двух решений неоднородной системы ОДУ (5.2) есть решение однородной системы (5.3). < Пусть х1(г), хг(Ф) — решения системы (5.2), т.е. дх1(г) = А($)х1+д(Ф), = А(Ф)хг+д(г). "хг(г) Вычтем из первого равенства второе и получим т.е. х1(Ф) — хг(~) — решение однородной системы (5.3). ~ Аналогично можно доказать и следующую теорему. Теорема 5.3. Сумма решения неоднородной системы (5.2) и решения соответствующей ей однородной системы (5.3) есть решение неоднородной системы (5.2).
Теорема 5.4. Если х1(1) и хг(Ф) — решения нормальных систем линейных ОДУ соответственно фх — = АЯх+д(1) и — = АЯх+ ~Я, Их ~й сМ то х(г) = х1(1) + хг(1) является решением нормальной системы линейных ОДУ вЂ” = А($)х+д(Ф) + ~($). Ых <й м Действительно, имеем — = — + — = А(~)х1+д(~)+А(1)хг+у(г) = ох1 охг Ж <й Ж = А(~) (х1+ хг) +д(1) + У(~) = А(г)х+ д(г) + у(г), что доказывает утверждение теоремы. ° 5.1. Определения и основные свойства решений 137 Рассмотрим вектор-функции (1) " *1(1) " , хи(1), (5.4) необязательно являющиеся решениями систем (5.2) или (5.3). Определение 5.1. Систаему вектпор-Яункциб (5.4) называют линейно зависимой в некотором промежутке Т С К числовой прямой К, если существует такая система чисел Лд, ..., Л;, ..., Лией, ~~) ЛФО, что имеет место тождество Л1х1(1) +...
+ Л;х1(1) +... + Лохи(1) = О Н Е Т. (5 5) Если же такой системы чисел не существует, то систему вектор-функций (5.4) называют линейно независимой в промежутке Т. Любая система вектор-функций, включающая вектор-функцию, тождественно равную в промежутке Т нулевому вектору О, является, согласно определению 5.1, линейно зависимой. Действительно, выбирая в (5.5) коэффициент при такой функции отличным от нуля и полагая коэффициенты при остальных функциях равными нулю, приходим к тождеству для любых 8 Е Т. Система вектор-функций линейно независима в каком-либо промежутке Т, если онв линейно независима в меньшем промежутке Т1 С Т.
Если система линейно зависима в Т, то ее линейнал зависимость будет сохранена и в Т1 С Т, но обратное, вообще говоря, неверно. При рассмотрении конкретного набора вектор-функций часто для краткости опускают слово „система" и говорят о линейных зависимости или независимости этих вектор-функций. 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 138 5.2. Определитель Вронского. Фундаментальнаи система решений.
Формула Остроградского — Лиувилля Пусть задана система и вектор-функций х1($), ...,хь(2), ...,х„Я, хь(2) = (х1ь(2), ...,х„ь(2)), Й=1,п, определенная в некотором промежутке Т С Ж числовой прямой К. В этой записи первый индекс у скалярной функции хсь(2) означает, как и в (5.1), номер координатной функции вектор- функции хы а второй — номер этой вектор-функции.
Определитель х11(1) х12(1) ° ° ° х1 (1) Х21 (2) х22 (1) ° ° ° х2п (2) И'(Ф) = (5.б) х„1($) х„2($) ... х„„(2) называют определите.аем Вронского системы вектор-функций х1(1), ..., х„(2) по имени польского математика Ю. Вроньского (1775-1853). Сформулируем в виде теорем некоторые свойства этого определителя. В Теорема 5.5, Если система вектпор-4ункиий хь(1) = (х1ь(2), ..., х„ь(2)), й = 1, и, (5.7) х (1) =с1х1(1)+...+о 1х 1(~)+ + Оу+1ХГЬЮ +... + аиХк(1) 'Й Е Т, линейно зависима в некотором промежутке Т С Й, то опреде- литель Вронского И'(1) ьг О я1 Е Т. ~ Если вектор-функции хь(2) (к = Гп) линейно зависимы в промежутке Т, то, согласно определению 5.1, хотя бы один из коэффициентов в (5.5) отличен от нуля (например, Лу ф О). То- гда вектор-функция ху (Ф) будет линейной комбинацией осталь- ных вектор-функций: 139 5.2.
Фундаментааънан система решений ГдЕ а1 = -Л1/Л~,..., Сй„= -Ли/Л1. В ЗтОМ СЛуЧаЕ у-й СГОЛбЕц определителя Ж'(1) является линейной комбинацией остальных столбцов и поэтому И~(Ф) = О 'Й Е Т. Ь Теорема 5.6. Если определитель И~(1) для системы вектор-функций (5.7), являющихся в промежутке Т С К ретиеиилми однородной системы линейных ОДУ (5.3), равен нулю хотя бы в одной точке со Е Т, то зта система вектор-функций линейно зависима в промежутке Т.
< Пусть В'(со) = О. Тогда векторы х1(со), ..., х„(св) линейно зависимы [1Ч) и, следовательно, и и Лй й(й ) = О, ~~> Лй Ф О. й=1 й=1 Рассмотрим вектор-функцию и х(8) = 1 Лйхй(Ф). й=1 Согласно теореме 5.1, эта вектор-функция является решением однородной системы (5.3), причем х(8о) = О. Система (5.3) имеет, очевидно, решение х(1) ьи О Н Е Т, которое удовлетворяет начальному условию х(Фв) = О. Так как система (5.3) удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1 Коши существования и единственности решения, то начальному условию х(1о) = О в промежутке Т отвечает единственное решение х(1) = О. Таким образом, х(Ф) = ~~1 Лйхй($) вз О ~Й Е Т, что, согласно определению 5.1, доказывает утверждение тео- ремы. в.
Из теоремы 5.5 вытекает следствие, которое приведем без доказательства. о. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 140 Следствие 5.1. Если определитель Ю($), составленный из вектор-функций, являющихся решениями однородной системы линейных ОДУ (5.3) в некотором промежутке Т, равен нулю в одной точке Фа Е Т, т.е. И~(1о) = О, то он тождественно равен нулю в этом промежутке (Й'(Ф) =0 ~Й йТ). Одним из важнейших понятий в теории однородных систем линейных ОДУ является понятие фундаментальной системы решений. Определение 5.2.
Линейно незаеисимую в промежутке Т С 'и систему из н вектор-амуниций вида (5.7), каждая из которых является в нем решением однородной системы и линейных ОДУ (5.3), называют фундаментпальной системой решений для (5.3) в этом промежутке. Теорема 5.7. Фундаментальные системы решений существуют. < Пусть ~, я = 1,н и пз чисел образуют единичную матрицу Е = (би) размера н, определи- тель которой ое1Е = 1. Рассмотрим и решений хь(~) (х1/с(~)~ ° .
> хая(")) однородной системы (5.3), которые определены в некотором промежутке Т С Ж числовой прямой К и в точке 1о Е Т удовлетворяют начальным условиям х, (га) = Ь;|, 1, я = 1, н. (ь) Тогда получим ИГ(1а) =йейЕ=1~0, т.е. Ю(й) фО в промежутке Т. На основании теоремы 5.5 и определения 5.1 отсюда следует, что эти решения линейно независимы в промежутке Т и, согласно определению 5.2, образуют в нем фундаментальную систему решений для (5.3).
> 141 а 2. Фундаментальнан система решений Ихп дх~г <Ь'ы 1Й 1Й С?2 Х21 Х22 ... Х2п Х11 Х12 ° ° ° Х1п ~~21 ~~гг дхгп д1 ат ~11 Хп1 Хп2 ° ° ° Хпп Хп1 Хп2 ... Хпи Х11 ХЩ Х21 хгг Х1п Х2п (5.8) С?~п1 пхпг Миь й 1Й Н2 В (5.8) использовано правило вычисления производной от определителя квадратной матрицы размера и [11]. Так как определитель представляет собой сумму и! слагаемых с соответствующими знаками, а каждое слагаемое есть произведение и элементов, то, используя правило дифференцирования произведения п функций (?Ц, приходим к записи (5.8). Векторфункцил хь(2) является решением однородной системы (5.3), т.е. дхта — =г а хгг а ?=1 Запись в виде (5.3) соответствует нормальной однородной систпеме линейных ОДУ с переменными ноэффициентпами, поскольку элементам аЯ) (1, т' = 1, и) матприт1ы А($) этой сисптемы являются функциями независимого переменного $.
Такие системы удается проинтегрировать и получить решение в виде аналитической зависимости лишь в исключительных случаях. Однако существует одна замечательная формула, связывающая между собой решения произвольной однородной системы (5.3) ОДУ с переменными коэффициентами. Вычислим производную по 2 от определителя Вронского (5.б), составленного из решений ха(Ф) = (хта(1), ...,Хпа(2)), я = 1, и, системы ОДУ (5.3): о. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 142 Поэтому первый определитель в правой части (5.8) имеет вид ацх 1 ~ ацх.г ...
~~ аМх „ Е 2=1 Х2п = а11(Ф) И'. Х21 Хп1 Хп2 Здесь использовано правило сложения определителей, а также то, что определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю. Аналогично второе, третье и т.д. (вплоть до последнего) слагаемые в (5.8) равны: Хм Хтг ... Х1п аХ21 ахгг ахгп аг дг аг = агг(г)уУ Хп1 Хп2 ... Хпп Х11 Х12 ...
Х1п Х21 Х22 ... Х2п = апп(г)$К ахп1 дхпг ихп дг аг аг О учетом этих выражений (5.8) принимает вид — =$К,'1 аа(г). ~ПК 1=1 (5.9) Отсюда следует, что определитель Вронского удовлетворяет линейному однородному ОДУ переоео порядка с раэдеяяюи1имися переменными. Раэделяя переменные и интегрируя, получаем 143 о.г.
Фуидамеитааьиае система решеиий соотношение 1 „ то)=мое *и(1 с; о)а). с о (5.10) которое называют формулой Оспароерадсоеоео — Лиувнл- лл (Ж. Лнувилль (1809-1882) — французский математик и механик, а о русском математике и механике М.В. Остроград- ском (1801-1861) см. Краткий исторический очерк [1]). Пример, Рассмотрим нормальную систему ОДУ оох1 мхг — = хг, — = -р(1) х1, й ' а'1 где р(1) — произвольная функция, непрерывная в некотором промежутке Т С й. Мапгрина этой сисвгемы -р(г) 0 г Отсюда следует, что 2,ап(г) = О, и формула Остроградско1=1 го — Лиувилля принимает вид = х11(г) Хгг(Ф) -х12(Ф) Х21(г) = С (511) ! Хм(Ф) Х12(ь) Х21(ь) Хгг(ь) где С = И~(ье) = сопаг. Итак, для двух произвольных решений Х1(ь) = (ХМ($), Х21(ь)), Хг(ь) = (Х12(ь), Хгг(ь)) рассматриваемой системы справедливо (5.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
