VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Среди систем линейных ОДУ система ОДУ с постоянными коэффициентами — один из немногих случаев, допускающих интегрирование. При выяснении вопроса об интегрировании в силу сказанного в 5.4 можно ограничиться рассмотрением однородной системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами, которая может быть записана в матричной форме о. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 152 Будем искать не равное тождественно нулю решение систпемы (5.26) в виде к(Ф) =тте ', (5.27) где а Е йп (ст ~ 0), Л Е й подлежат определению. Продиффе- 1? ренцировав к(Ф) как вектор-функцию: — (сте ') = Лете 1, подет ставим в (5.26): Лете~' = А(стем). В этом матричном уравнении е"т представляет собой ненулевой скалярный множитель, на который можно сократить.
Получим матричное уравнение Аст = Лет. С помощью единичной матрицы Е уравнение можно преобразовать к виду (А — ЛЕ)а = О. (5.28) (аы — Л)ст1+ а1гстг +... + а1пстп — — 0; аг1ст1 + (агг — Л) стг +... + аг„ст„= 0; (5.29) ап1ст1 + апгстг +... + (апп — Л) ст„= О. Мы получили однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для того чтобы она имела ненулевое решение ст Е К", необходимо и достаточно, чтобы равнялся нулю ее определитель [1?1]: а11 — Л атг ... а1п аг1 агг — Л ... агп = О. (5.30) ап1 апг ° ° апп Л Раскрытие определителя приводит (5.30) к алгебраическому уравнению тт-й степени относительно Л.
Его называют характеристическим уравнением матрицы А, а в теории дифференциальных уравнений — иарактпернстпнческим уравнением снстпемы ОДЗ' (5.26). Это уравнение показывает, что искомый вектор а является собственным вектпором матприцы А [?Ч]. В координатной форме уравнение (5.28) имеет вид б.б. Нахождение фундаментаеьной системы решений 153 5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения Пусть все корни Л1, ..., Л„характеристического уравнекая (5.30) действительны и различны.
Выбрав из них Л и подставив его в (5.29), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с определителем, равным в силу (5.30) нулю. Среди решений такой СЛАУ есть ненулевое решение, являющееся собственным вектором а = (ст1;,..., о„д) матрицы А системы ОДУ (5.26), соответствующим собственному значению Л этой матрицы А [?11]. Таким образом, выбранному корню Л отвечает решение однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (5.26) с постояннььми коэффициентами, которое с учетом (5.27) можно записать в виде вектор-функции ш (с) = а е е .
Ае (5.31) ~'(1) = ехр Я Л;) 1?е~(о; ) ~б 0 1=1 Поскольку такая запись справедлива для каждого из корней Л. (у = 1, и) характеристического уравнения (5.30), то (5.31) следует рассматривать как совокупность из и решений системы (5.26). Покажем, что эти и решений образуют фундаментальную систему реиьений однородной системы (5.26). Прежде всего напомним, что система собственных векторов матрицы А, отвечающих различным собственным значениям Л. Ц = 1, и), линейно независима [?Ч]. Поэтому определитель матрицы, составленной из собственных векторов, отличен от нуля, т.е.
Йе1(ац ) ~ О. Умножение всех элементов любой строки определителя на некоторый одинаковый множитель равносильно умножению нв этот множитель всего определителя. Учитывал зто, получаем для определителя Вронского системы вектор-функций х (Ф), у = 1, и, выражение б. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 154 х($) = ~ С х Я = Я С а е~'~, (5.32) где С вЂ” произвольные постоянные, или в координатной форме х1(1) =ЯСда1де ', ..., х„(8) = ,'ь Савве ~~. (5.33) Пример.
Найдем общее решение системы ОДУ дх1 — = х~+2хг,' й дхг — = 2х1+ хг. й Матрица А и характеристическое уравнение (5.30) сисгпемы ОДУ в данном случае имеют вид А= 2 1, 2 1 Л вЂ” — О. Раскрывая определитель, получаем нвадратпное уравнение Лг— — 2Л вЂ” 3 = О, имеющее два действительных различных корня Следовательно, эта система на основании теоремы 5.5 и определения 5.1 является линейно независимой, причем на всей числовой прямой К.
Так как каждая из вектор-функций х (Ф)— решение однородной системы (5.26), то они, согласно определению 5.2, образуют фундаментальную систему решений этой однородной системы. В силу теоремы 5.8 о структуре общего решения однородной сисгпемы линейных ОДУ с переменными коэффициентами в частном случае системы (5.26) с постоянными коэффициентами для построения общего решения можно использовать (5.12) в виде о.б. Нахождение фундаментальной системы ретеннй 155 Л1 = 3, Лг = — 1. Они являются собственными значениями матрицы А. Найдем собственные векторы матрицы А, отвечающие этим собственным значениям. При Л = Л1 = 3 система (А — ЛЕ)а = = О имеет одно решение, например аы = аг1 —— 1, т.е. значению Л1 - -3 соответствует собственный вектор а1 = (1, 1)т.
При Л= Лг =-1 система (А — ЛЕ)а = О имеет, например, решение а1г = 1, агг = — 1, т.е. собственному значению Л1 = — 1 отвечает собственный вектор аг = (1, — 1) . Таким образом, записанные в соответствии с (5.31) вектор- функции х1(ь) = 1 е, хг(ь') = е ' образуют фундаментальную систему решений рассматриваемой системы ОДУ и в силу (5.32) и (5.33) позволяют построить общее решение этой системы ОДУ в векторной форме х(ь) = С~х1(ь) + Сгхг(1) или в координатной х1(1) = С1еге + Сге ', хг(ь) = С1ез' — Сге ', где Сг и Сг — произвольные постоянные.
Пусть среди простых корней характеристического уравнения есть комплексные. Такие корни разделяются на пары комплексно сопряженных корней Л=а+1Ь, Л = а — 16 (ьг = -1), поскольку характеристическое уравнение (5.30) является уравнением и-й степени с действительными коэффициентами [1]. Каждому комплексному корню Л = а + 1Ь соответствует комплексное решение СЛАУ (5.29) вида се = р+ 1п, р, д Е К".
Для полученных Л и а рассмотрим комплекснозначную вектор- в. системы линейных Оду 156 функцию х(Ф) = ае"' = (р+Ьд)е<'+'в)'. Используя формулу Эйлера е' = сое$+а вша, (5.34) преобразуем функцию х(а) к виду х(Ф) = (р+1д)е~ (совЫ+а вшЫ) = = е"'(рсоа Ы вЂ” двшЫ) + а е'~(д сов Ы+ ра1пЫ), или х(8) = и(Ф) + а и Я, где и(а) =е"(рсоеЫ вЂ” дв1пЫ), е(1) =е'~(дсоаЫ+рвшЫ). Используя правило дифференцирования комплекснозначных вектор-функций действительного аргумента (и(а)+а'п(а)) = и'(а)+ае'(а), можно показать, что (аехв)' = аЛе~~ и, следовательно, вектор- функция ж(а) = ае~', для которой Л вЂ” комплексный корень характеристического уравнения, а вектор а является решением соответствующей СЛАУ, удовлетворяет системе ОДУ (5.26). Если а = р+ ад — решение СЛАУ (5.29), соответствующее корню Л = а + аЬ характеристического уравнения, то комплексно сопряженному корню Х = о — в'Ь будет соответствовать комплексно сопряженное решение а = р — ад.
При этом комплекснозначная функция х(8) = аем будет удовлетворять системе ОДУ (5.26). В силу линейности системы ОДУ (5.26) ей будут удовлетворять и вектор-функции и(Ф) = 0,5(х(Ф) + ж(в)) и и(Ф) = 0,5а(ж(а) — х(а)), принимающие лишь значении в К". Таким образом, вектор-функции и(а) и и($), будучи действительной и мнимой частями комплекснозначной функции х(8) = ае~', являются решениями системы ОДУ (5.26). 6.6. Нахождение фундаментальной системы решений 157 Отметим без доказательства, что функции и($) и н($) линейно независимы в К. Значит, паре простых комплексно сопряженных корней Л = а ш а Ь характеристического уравнения соответствует пара действительных линейно независимых решений системы ОДУ.
Пример. Найдем общее решение системы ОДУ Их~ — = 4х~ — хз', сй ох2 — = 5х~+2хг. ~й Для этой системы матрица А и характеристическое уравнение имеют вид 4 — 1 4 — Л вЂ” 1 Раскрывая определитель, приходим к квадратному уравнению Лз — 6Л+13 = 0 с комплексно сопряженными корнями Лцэ = 3 ш ш2а. Корню Л~ — — 3+2е' соответствует решение се~ = (1, 1 — 21) СЛАУ (5.30), а корню Лз = 3 — 21 — решение сея = (1, 1+ 2е)~. Выделяя действительную и мнимую части в (~) А~с (3+20й 1 1 — 21 получим соя2й '~ з, ® ( аш2й ~ и и(с) = е, ий)= е ~сон2$+2яш2$/ ' ' ' 1 в1п2Ф вЂ” 2сов2$/ Функции и($) и н(Ф) образуют фундаментальную систему решений для рассматриваемой системы ОДУ. Общее решение этой системы можно представить в виде х(6) = С~и(с)+Сзо(е), См Сз Е К.
з. системы линейных Оду 158 Рассмотрим общий случай простых корней характеристического уравнения (5.30), среди которых выделяются пары комплексно сопряженных корней Лм Лм ..., ЛП1, Л1я и некоторое количество простых действительных корней Лг .~1, Л„. Каждой паре комплексно сопряженных корней Л, Л, у = 1,та, соответствует пара линейно независимых вектор- функций и ($), эу(Ф), являющихся действительной и мнимой частями комплекснозначной функции а е"з', где а — решение СЛАУ (5.29) при Л = Л . Каждому действительному корню Л;, з = 2йз+1, и, соответствуют собственный вектор сц матрицы А и решение системы ОДУ (5.26) вида х;(Ф) =а;е"". В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений системы ОДУ (5.26) образуют функции и1(1), пз(Ф), ..., и,з($), п„(З), аг,„+1е"' ~'~, ..., а„е""~. Общее решение системы ОДУ можно записать при помощи зтой фундаментальной системы решений в виде х(Ф) = С1и1(з)+Сгп1(Ф)+...
+ н + Сгт-зи~д(з) + Сьзит(з) + ~ Сзоге ' ° з=гиь+1 Пример. Найдем общее решение системы ОДУ (Ь1 — = 4х1 — 5хг+ 7хз; Ий "хг — = хз — 4хг+ 9хз, й лх1 — = -4хз+бхз. сй Характеристическое уравнение системы имеет вид 4 — Л -5 7 1 -4-Л 9 — 4 0 5 — Л 5.б.
Нахождение фундаментальной системы решений 159 Раскрыв определитель, найдем корни уравнения: Л1 = 1, Лз = = 2+ 3 е, Лз = 2 — 31. Собственному значению Л| = 1 соответствует собственный вектор а1 = (1, 2, 1), являющийся решением СЛАУ (А — Л1Е)а= О. Комплексному корню Лз = 2+31 соответствует комплексное решение аг = (3 — Зе, 5 — Зт', 4) СЛАУ (А — ЛзЕ)а = О, а комплексно сопряженному корню Лв = 2 — Зе — комплексно сопряженное к аз решение ав = =(3+Зе,5+За,4) СЛАУ (А — ЛвЕ)а=О. Решение системы ОДУ, соответствующее собственному значению Л1, имеет вид 1 ш1(Ф) = а1е"" = 2 е'.
1 Два других решения м(Ф) и п(с) системы получим, выделив действительную и мнимую части комплекснозначной функции сев е Л е ~ Зсов31+ Зяп31 -Зсов31+ Звш31 и(с) = 5совЗс+ЗяпЗх е~', п(1) = — ЗсозЗс+бвшЗФ е~'. 4соз3$ 4япЗФ Общее решение системы будет иметь вид *(В) = С1и(В)+ Сзп(1)+ Св*1(1) В прикладных задачах представляет интерес нахождение частного решении неоднородной системы линейных ОДУ, удовлетворяющей нулевым иачадьиььи усдовидае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
