VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Таким образом, ортогональные траекторин семейства линии и сами эти лиРие. 3.14 нии обладают свойством взаимности. Линии, пересекающие все линии семейства г'(е, х) = а под одним и тем же углом а, называют иэогональными траекториями (от греческих слов ито~ — равный и уилл,а— угол) этого семейства.
В частном случае а = я/2 изогональные траектории переходят в ортогональные. В любой точке (е, х) плоскости $0х касательная к линии семейства г'(8, х) = а, проходящей через эту точку, и касательная к изогональной траектории образуют заданный угол а. Если угловой коэффициент касательной к изогональной траектории обозначить через Йз, то Д.3.2. Ортогоиальиые и изогоеальиые траектории 111 где Й = — Р1 (е, х)/Рг(Ф, х) — угловой коэффициент касательной к линии уровня Р(1,х) = а, проходящей через точку (Ф,х). Отсюда й+ ~6а Рз(С, х) ~ба — Р1(В, х) 1 — кЫа Рг(Ф,х)+Р~(1,х) $6а' О учетом геометрического смысла производной получаем ОДУ первого порядка дх Рз(1, х) Фба — Р1(Ф, х) (3.75) сЫ Р2(В х) + Р1($ х) ФКа Интегральные кривые этого ОДУ и будут нзогонвльными траекториями семейства линий Р(Ф, х) = а.
Пример. Найдем нзогональные траектории, пересекающие под углом а пучок прямых х = С4 (С =сопв1), проходящих через начало системы координат ОФх. В данном случае Р(1, х) = х — С ~, Р1 = -С = -х/Ф, Рг вв 1 и после подстановки в (3.75) приходим к ОДУ (3.76) ов Ф вЂ” х ФКа При помощи соотношений 1 = реева и х = рв1пу перейдем в (3.76) к полярным координатпам р и ~р, выбрав полюс полярной системы координат в начале прямоугольной декартовой системы координат Оьх и направив полярную ось по оси абсцисс ОФ.
Тогда находим сМ=соврдр — рв1п~рйр, дх=рсоырйр+вт~рдр и после тригонометрических преобразований вместо (3.76) получаем др — = рс$6а. др 112 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Это ОДУ с разделяющимися переменными. Его интегрирование дает 1пр(~р) =~рс1ка+См или р(~р) =С,е~'", С, >О, где й, = с1ка, С, = ехрС~ = сопя~. Таким образом, изогональными траекториями пучка прямых являются логарифмические спирали (рис. 3.15). В технике свойство логарифмической спирали пересекать пучок прямых под постоянным углом используют при профилировании режущих кромок вращающихся ножей и фрез.
При этом по всей режущей кромке угол резания я/2 — а между касательной к ней и направлением резания остается постоянным, что обеспечивает наилучший технологический режим процесса резания и способствует равномерному изнашиванию режущего инструмента. ф Изогональные траектории Рис. 3.15 рассматривают не только на плоскости. ' На поверхности вращения изогональные траектории меридианов называют ломсодромил ни (от греческих слов Ао('о~ — косой и броро~— путь).
Если а = я/2, то локсодромия на поверхности вращения переходит в ортогональную траекторию — линию широты. При а ф я/2 локсодромия на замкнутой поверхности вращения образует бесконечное множество витков вокруг каждого из полюсов, неограниченно приближаясь к ним. Штурманы кораблей, прокладывая курс, часто используют дуги локсодромий на земной сфере. Путь по дуге локсодромии не является кратчайшим между двумя точками на земной сфере, но по такой дуге удобно двигаться, выдерживал курс по компасу. Вопросы и задачи Вопросы и задачи 3.1.
Решить следующие уравнения: сЬ х~~~ Ых 2$х сЬ г г,з~з а) — =2 —; б) — = —; в) — +Ф х=1 е й $ ' ~й хг — 4' Ш г) — + — = 1; д) (1+ х ) сМ+ (2$х+ 4х) с1х = 0; Нх х г Ш 1+1 е) (Зс~ + 21х + хз) с11 + (с~ + Зйх + соя х) сЬ = О; ж) соз(1+ х) с11 + (сов(с+ х) - 2хяп х) Их = 0; Ых е'/х Их хсйс+я111 ') а 1+с"' и) а гах+зйг' ох ох к) — +х =31+2; л) $ — +х 8=х; й ' й дх 1+ ~/Р- х Их (1 — 1г — хг)$ м) — = 2Ф н) — = ,В ЯГ- Щ х(1г+хг+1)' о) С в = * + 1(1 + е* ); п) (2Ф х — 8) — — 2$х — х = 0; Их з/й . 3 ~~х г сМ й р) х — + х + 41(с+ 1) = 0; с) ($ х — 1) — + х Ф вЂ” 1 = О; Их г пх й сй ох ох 4Мх~г ох т) яп — + — =х; у) 1~~ — ) — 8 — =х.
сЫ й ' сМ Ю 3.2. При каких р и о ОДУ Их/й = а1Р+ бхч является квазиоднородным? 3.3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: расстояние от любой касательной к этой кривой до начала координат равно абсциссе точки касания. 3.4. Зеркало отражает лучи, выходящие из фиксированной точки, параллельно заданному направлению. Определить форму зеркала. 114 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 3.5. Для следующих уравнений Риккати найти частное решение и проинтегрировать эти уравнения: а) г — +гх+Ф х =4; б) — -2гх+х = 5-г; г"х гг г г. сЮ сй г) 1 — — (21+ 1)х+ х = — г; д) — + 2е х Их г г. ох с Ж ~й с1х в) 3 — +х =- —; а гг' ,г гФ+ Ф 3.6. Показать, что ОДУ Их/й=/(а$+Ьх+с), где а, Ь, с— постоянные, подстановкой у = аФ+ Ьх+ с можно привести к ОДУ с разделяющимися переменными. 3.7. Предположим, что ОДУ сЬ/й = /(х) имеет частные решения х = а и х = Ь (/(а) = /(Ь) = О), причем функция /(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ь). Пусть /(х) ) 0 Щх) < О) Чх Е (а, Ь). Доказать, что любое решение х(г) этого ОДУ с начальным условием х(0) = хо Е (а, Ь) при Ф-~+со стремится к Ь (стремится к а).
3.8. Используя результат задачи 3.7, построить интегральные кривые ОДУ Нх/сИ = х(1 — х). 3.9. Пуля пробивает плоскую стену толщиной Ь перпендикулярно йоверхности стены. Сопротивление движению пули в стене пропорционально квадрату скорости о пули (коэффициент пропорциональности й). Найти время движения пули в стене, если она попала в стену со скоростью ое, а выяетела из нее со скоростью о1. 3.11. Может ли уравнение Риккати (3.2б) иметь особое решение? 3.10. Цилиндрический резервуар (радиус основания В, высота Н) заполнен жидкостью. На дне образовалось круглое отверстие радиуса г. Считая скорость истечения жидкости пропорциональной высоте ее уровня, определить время истечения всей жидкости.
4. СИСТЕМЫ ОВЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 'УРАВНЕНИЙ 4,1. Задача и теорема Коши Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида дх; Ж вЂ” =Я1,хм...,х„), 1=1,п, (4.1) х1(1о) = х1 х2(1о) = 4 ", хп(1о) = х'„, (4.2) которые называют начальными условиями для данной системы ОДУ, а 1о, хом ..., хв — начальными значениями. Определение 4.1.
Векторная функция Щ х), 1 Е К, ж й К", удовлетворяет в области С й К"+1 условию Липшица относительно х = (хм ...,х„), если для двух произвольных точек ($, х), (е, у) Е 0 ее координатные функции Яь', х) удов- где функции Д определены в некоторой области С С К"+1 (и+1)-мерного расширенного фазового пространства К"+1 системы (4.1).
Задачу Коши для нормальной системы ОДУ (4.1) формулируют так: задана точка (1о, хом..., хо) б Р; требуется найти определенное в окрестности точки 1о Е К решение х1 = х1(1),..., х„= х„(1) нормальной системы (4.1), удовлетворяющее при 1= Фо условиям 116 4. СИСТЕМЫ ОДУ летворяют неравенствам и ~Д(й,х) — Л(й,у)! <Ь~~ху — уу~, 1=1,п, 1=1 где 1 ) 0 — постоянная Липиьииа. Замечание 4.1, Если функции Я8, х), ь' = 1, п, х = = (х~, ..., х„), определены в замкнутой ограниченной области Р=((Х,х~,...,х„): !й — йо!(а, ~х; — х~! <Ь, ь'=1,п1 (43) и имеют в Р непрерывные частные производные по переменным хп ..., х„, то для для векторной функции у(г, х) = = (~~ (~, х), ..., у„($, бух))) условие Липшица в Р будет выполнено.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две произвольные точки М(0),М(1) Е Р, где М(0) = ($,ум ...,у„) и М(1) = = (1, хд, ..., х„). Все точки М(Л) = ($, ЯЛ), ..., ('„(Л)), где (;(Л) = у; + Л(х; — у;), 1 = 1,п, Л Е (О, 1), (4.4) Ю также принадлежат области Р, поскольку с учетом (4.3) и неравенства треугольника ~(;(Л) — х~! = )Л(х; — хо)+(1 — Л)(у; — х~)) < ~< Л!х; — х~!+(1 — Л)!у; — х~~ < ЛЬ+(1 — Л)Ь=Ь. Воспользуемся формулой Лагранжа для скалярной функции у;: у,(1, х) — ~;(1, у) = ~~~ ' (хй — уу), (4.5) йсп ъ, 117 4.1. Задача и теорема Коши где х = (хм ...,х„); у = (ум ...,у„); д Е (О, 1). Поскольку частные производные дЛ/дх непрерывны в замкнутой ограниченной области Р, они ограничены в этой области. Следовательно, существует такое число Х ) О, что в Р выполняются неравенства ]дЛ/дх ] < Ь, е',у = 1, и.
Тогда из (4.5) с учетом неравенства треугольника получаем ~" дЛ(~, х+д(у — х)) д. х1-У1) 1=1 ]Л(,*)-ЛИ,у)]= <Ь~> !х1-у ], 1=1,и, (4.б) 1=1 и, согласно определению 4.1, функции Л(~,х), 1 = 1,и, удовлетворяют условию Липшица. Ф Сформулируем теорему существования и единственности решения нормальной системы ОДУ, также связанную (как и все теоремы такого рода) с именем О. Коши. Теорема 4.1 (теорема Коши). Пусть в замкнутой области Р (4.3) функции Л(1, хм ..., х„), г = 1., и, определены, непрерывны и удовлетворяют условию Липшица относительно переменных хм ..., х„. Тогда на некотором отрезке Ио — й ~о+6], где Ь = шш(а, Ь/М), М= шах шах ]Л(й,х)], 1=на (ьх)еВ Доказательство этой теоремы, осложненное наличием и ОДУ в системе (4.1), аналогично доказательству теоремы Коши для одного ОДУ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
