VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ее форма позволяла добиться постоянной скорости понижения уровня воды в чаше. Если стенку чаши рассматривать как поверхность вращения, то зависимость радиуса г горизонтального сечения такой чаши от высоты л уровня воды можно найти следующим образом. Обозначим через с постоянную скорость понижения 94 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА уровня, т.е. с =-~Ь/Ж.
Тогда, учитывая, что г(я) = яг2(я), вместо (3.54) запишем РУ с = ~/2дю После возведения в квадрат обеих частей этого равенства и замены г2 = х2+ у2 получаем уравнение поверхности вращения у„-( 2+ 2)2 к (ск) п~ 2д Теперь рассмотрим два сообщающихся сосуда цилиндрической формы с вертикальными образующими и площадями горизонтальных сечений соответственно г1 и Р2 (рис. 3.11). Отверстие в общей для сосудов стенке имеет площадь у, а на- чальная разность уровней жидкости 1 в сосудах равна Ье. Расход жидко- сти через отверстие Я = И~~/2ддб, где Н0 Й вЂ” текущал разность уровней жидкости в сосудах. Найдем время Т, за которое уровни жидкости в сосудах станут одинаковыми.
Для определенности примем, что Рис. 3.11 в начальный момент времени 8 = 0 уровень жидкости в первом сосуде с площадью основания Г1 выше, чем во втором. Пусть в момент времени 2 разность уровней равна й(Ф). Тогда за достаточно малый промежуток времени ЬФ по соединяющей сосуды трубе пройдет объем жидкости ~~(2) = Ц(2)М = РД,/29ЬЯД2. Это приведет к понижению уровня в первом сосуде и повышению его во втором соответственно на Д.3.1.
Освоенности составлении ОДУ в прикладных задачах 95 так что за зтот промежуток времени разность уровней изме- нится на величину ~Ф) = -(~Ь1(2) + ~~Ьг(8)) = — И~/2дЬ(2) сх|. Г1 Рг Отсюда ЬЬ г1+ гг /— лс'1 Рг Переходя к пределу при схс -~ О, получаем ОДУ вЂ” — 2 Ь вЂ” — ф~у2дЬ с разделяющимися переменными. Его интегрирование дает или ~/ЬЯ = — р~ ~/2д Ф+ С. 2г1 2 Постоянную С найдем из начального условия Ь(О) = Ье. В итоге зависимость от времени 1 разности уровней в сосудах примет вид Ь(Ц=(,/Ье е— '+ грУ,/2д2) . Из условия Ь(Т) = 0 находим искомое время Г1 лс'г 2Ьа ИЯ+Гг) ~( д Отметим, что полученный результат не зависит от того, в каком из сосудов был выше начальный уровень жидкости.
96 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.6. Работающая по замкнутому циклу космическая энергетическая установка помимо источника энергии должна иметь устройство для охлаждения рабочего тела. Для этой цели может быть использован ленточный излучатель, состоящий из вращающегося барабана 1 (рис. 3.12), внутренняя поверхность которого омывается охлаждаемым рабочим телом или промежуточным теплоносителем, движущейся тонкой металлической ленты 9 и прижимного устройства У. Двигаясь без проскальзывания 2 в контакте с бара- 3 баном, лента нагревается, отбирая теплоту у раРис.
3.12 бочего тела, а по- еле выхода из зоны контакта участки ленты излучают тепловую энергию в окружающее пространство. В условиях невесомости петля ленты при постоянной скорости и движения принимает некоторую неизменную форму, определяемую равновесием центробежных сил инерции и сил упругости ленты. Для тонкой металлической ленты температуру Т ее любого участкэможно считать однородной по толщине и зависящей при установившемся режиме работы излучателя лишь от текущего положения участка относительно барабана. При этом допустимо пренебречь передачей теплоты вдоль ленты. После вступления некоторого фиксированного участка ленты в контакт с барабаном, имеющим известную постоянную температуру Т', через единицу площади контакта за промежуток времени Ь8 в ленту поступает количество теплоты Я = а(Т' — Т) Ы, где а — коэффициент контактного теплообмена, зависящий от шероховатости контактирующих поверхностей и усилий, создаваемых прижимным устройством.
Это количество теплоты Д.З.1. Особенности составленил ОДУ в прикладных задачах 97 вызывает приращение ЬТ=— (~ срЬ температуры участка ленты (с и р — удельная массовая теплоемкость и плотность материала ленты, Ь вЂ” толщина ленты). Из этих двух равенств следует ЬТ Т" — Т вЂ” = се ~а $ срЬ После перехода к пределу при сас-+ О получаем ОДУ оТ се — = — (Т* — Т) Ж срЬ с разделяющимися переменными, общим решением которого будет выражение Т($) = Т*+ С ехр ( — — ) .
срЬ Обозначим через Те температуру рассматриваемого участка ленты в момент Ф = 0 его вступления в контакт с барабаном, т.е. начальное условие имеет вид Т(о) = Тд. Используя зто начальное условие, находим значение постоянной С = То — Т' и в итоге имеем се$ 1 Т(Ф) = Т* — (Т' — Те) ехр ~ — — ) .
срЬ~ Если длина дуги контакта ленты с барабаном равна 1, то при скорости е движения ленты время контакта ее фиксированного участка будет 1„= 1/о. Тогда в момент схода с барабана температура этого участка составит Т, = Т(Фх) = Т* — (Т* — Те) ехр ~ — — ) .
(З.бб) се1 ~ срЬо ~ Аналогично можно составить ОДУ, описывающее изменение температуры фиксированного участка ленты после его схода с барабана. С единицы площади этого участка с двух сторон 4 — 9306 98 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА его поверхности за промежуток времени Ы, согласно закону Стефана — Больцмана, в окружающее пространство рассеивается количество теплоты а,=г Т4Л4, где е — коэффициент излучения поверхности ленты; пе = = 6,67. 10 з Вт/(мз К4) — постоянная Стефана — Больцмана. Тепловые потери вызывают отрицательное приращение ЬТ=- — =-2 — Т ЬФ Юв епо 4 ори срй температуры участка. Отсюда после деления на Ы и перехода к пределу при 4з| -> 0 получаем ОДУ вЂ” = -2 — Т4, Ено Ж ори интегрированием которого находим =6 — $ С Тз($) сиз Так как в момент времени Ф„схода участка ленты с барабана ТЮ =Т., то 1 еое С4 — — — — 6 — з„ Тз срй и окончательно для свободной от контакта части ленты (3.57) Чтобы при очередном вступлении в контакт с барабаном фиксированный участок ленты имел температуру Те, промежуток времени свободного движения этого участка должен составить в силу (3.57) "-'=(л-.— ) ...
1 1 ори Д.З.1. Особенности составление ОДУ в прикладных эадачах 99 а длина свободной части ленты должна быть г1 1~срйи Т' = и(се ск) = ( Тз Тз бате (3.58) При этом условии возможен установившийся режим работы ленточного излучателя, который на единицу длины барабана (или ширины ленты) будет рассеивать мощность 'тт' = срйи(Т, — То), или, учитывал (3.55), сэва И~ = срйи(Т' — То) ~1 — ехр ~ — — ) ~) . срЬи ~/ Приведем это соотношение к безразмерному виду: И' 1 — ес а1 сх1(Т' — То) С срйи =М) Пример З.Т. Подводная лодка массой тпе из неподвижного положения при нулевой плавучести начинает погружение за счет заполнения водой балластньпс цистерн. Сопротивление воды поступательному вертикальному движению лодки можно принять пропорциональным текущей скорости и погружения (коэффициент пропорциональности й > О).
Необходимо за минимальное время провести погружение на глубину Н так, чтобы на этой глубине лодка имела нулевую плавучесть. Скорость При заданном значении комплекса параметров скЦТ* — То) функция Я) характеризует эффективностьленточного излучателя. В интервале (О, +со) эта функция монотонно убывает и у(С) — + 1 при С ~+О. Таким образом, при прочих равных условиях для повышения эффективности излучателя целесообразно увеличивать значение комплекса параметров срМ, но следует иметь в виду, что в силу (3.58) это приведет к увеличению длины ленты и к росту массы излучателя. 1ОО 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА — (то) + йо + Р(Ф) = О, И й (3.59) где Р(с) — переменная во времени Ф плавучесть лодки, равная разности архимедовой силы и силы тяжести тд (т— текущая масса лодки, д — ускорение свободного падения).
Архимедова сила для лодки постоянного объема постоянна и в начальный момент времени с = О при нулевой плавучести лодки уравновешена силой тяжести тод. Поэтому с Р(й) = — т(() сК, о где подынтегральная функция т(Ф) равна скорости изменения В массы лодки за счет заполнения или опорожнения балластных цистерн. Наиболее рациональная стратегия в данном случае состоит в заполнении цистерн в течение пока неизвестного периода времени Т+ с наибольшей возможной скоростью, т.е.
т(с) = тс. 'й Е (О, Тс.), а затем в вытеснении воды также с наибольшей возможной скоростью, т.е. т = — т при $ ) Т+. На первом этапе в процессе заполнения балластных цистерн масса лодки изменяется по закону т(с) = то + т+Ф, а плавучесть — по закону Р(с) = — тс.д1. Тогда из (3.59) следует Й~ (то + т+С) — + (й+ тс) сс — т+дс = О, ссс или сйс й+ тс. тс.д$ о+ ~М то+ т+с то+ т+с' заполнения водой балластных цистерн не может превышать т+, а скорость ее вытеснения — т, причем для определенности примем т ( й/2.
Если спроектировать на вертикаль действующие при погружении на лодку силы, то, согласно второму закону Ньютона в форме теоремы об изменении количества движения, получим линейное неоднородное ОДУ первого порядка Д.З.1. Особенности составления ОДУ в прикладных задачах 101 Общим решением этого ОДУ будет (см. замечание 3.2) ~ (й+т+) й'1 о(с) = С1ехр — /, (+ / то+ т+~ / Г ()с+т+)й'1 / т+9Ис /()с+т+)й < + ехр ( ( . ехр„( ,/ то+т+~ (/ то+т+С .l то+т+~ + С1 91 (то+т+с)д (то+т+1)1+"И'+ 1+)с/т+ (1+1/т+)(й+2т+) Используя начальное условие о(0) = О, из (3.60) находим 2+1/т+ С= то д (1+ й/т» )(й+ 2т».) ' и в итоге на первом этапе погружения то 9 о(й) (1+1/т+)(й+2т+)(1+т+Цто)1+ч~ + + 9$ (то+ т+Ф) д 1+ й/т+ (1+ Цт+) Я+ 2т+) (3.61) В конце первого этапа (с = Т+) масса лодки т». —— то+ + т».Т+, ее плавучесть Р(Т+) = -т+9Т+ и скорость погружения о+ — — и(Т+)— тод + (1+ Цт+)(М+2т+)(1+т+Т+/то)1+"(™м+ дТ+ (то + т Т+) д 1+ й/т+ (1+ й/т+)(й+ 2т».) ' На втором этапе погружения при вытеснении воды из балластных цистерн масса лодки изменяется по закону пф) = = тп+ -тп ('с-Т+), а плавучесть — по закону Р( с) = -т+дТ+ + + т д(Ф вЂ” Т+).
Из условия Р(Т) = 0 в момент времени 1 = Т 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 102 Т= +~ Т+. т (3.63) Из (3.59) для второго этапа имеем ~Ь (т~ — т (г — Т~)) — +(й — т )и — (т~Т+ — т 1)д = О, Ж т~.Т<. — т Ф д 9+ пг т+ — т ($ — Т+) т+ — т (Ф вЂ” Т~.) Интегрирование этого ОДУ аналогично (3.60) и дает Ф) = СгУ(г)+ + 1(1) |(т+Т+ — т (г — Т+))дскб / (й — т )й т~. — т (Ф вЂ” Т+) ехр ( / т+ — т (Ф вЂ” Т+) т.~Т~. — т (Ф вЂ” Т~.) = Сгу(г) + . д+ +, (3.64) (т+-т Р-Т+))т д (й — т )(й — 2т ) где 1(Ф) =ехр( — ~ .
) = (т.~ — т (Ф вЂ” Т,)) 1 (й-т )й . (я~я~ 1-1 Используя условие и(Т ) = ю+, из (3.64) получаем о.~. Сг — (я~ ~ 1 (ь~. ) 1~т+Т++ й-2 т+ (й — т )т+ завершения второго этапа погружения получим -т+дТ~+ +т д(Т вЂ” Т~) =О, или Д.З.1. Особенности составление ОДУ в прикладных задачах 103 так что скорость на втором этапе погружения будет е ( -т (с-Т ))( ~ Ф)— (а/тв ) — 1 т+ (й; ) О/''-)-т ~ + + й — 2ти + .
д+... (3.65) тп+Т+ — ти (1-Т+) (ти+-тп (8 — Т+))т д й — т (й — ти )(й — 2т ) Примем во внимание, что скорость лодки о = сУт/сМ, где и(Ф) — текущол глубина погружения лодки. Тогда из (3.61) интегрированием по 1 в пределах от 8 = О до Ф = Т+ получим глубину погружения в процессе заполнения балластных цистерн: о (1 + тод 1 й(1+ й/т+)(й+ 2т+) ~ (1+ т+Т+/то)лай+) + дТ+з/2 (, + т+т+/2) дт+ (3.66) 1+ й/тп+ (1+ й/т+)(й+ 2т+) Аналогично интегрированием (3.65) от Т+ до Т с учетом (3.63) и равенств ти+ — т (Т вЂ” Т+) =то и Ь(Т) = Н найдем тпо+ ти+Т+ / й(й — т ) ~ (1+т+Т+/то)а(тл / ~ + + й 2ти / + .. + (т+Т+)зд (тпо+тп+Т+/2) т+Т+д 2т (й-т ) (й-т )(й-2ти ) Это уравнение в общем случае не удается разрешить относительно искомого значения Т+ и приходится использовать численные методы решения [1Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
