VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это ОДУ с разделлюи4имиса иеренениььви; после разделения переменных и интегрирования находим и(Ф) = еА(4), где А(1) — одна из первообразных функции а($). Тогда и(Ф) должно удовлетворять ОДУ вЂ” =Ье ~('), ~Й после интегрирования которого имеем и(Ф) = Се+ В(Ф), где В(Ф) — первообразнал функции Ь(1)е А(~), а Се — произволь- ная постоянная. В итоге ре4аение ОДУ (3.19) примет вид х(1) СоеАЬЯ + Вфе 499 (3.21) 2. Метпод Лаеранжа. Однородное ОДУ (3.20), соответствующее неоднородному линейному ОДУ (3.19), представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и имеет общее решение х(М) = Се ~ ). (3.22) Решение ОДУ (3.19) будем искать в виде х = СИ) еА('), (3.23) где С(Ф) — функция, подлежащая определению. Дифференцируя (3.23) и подставляя полученный результат в (3.19), при- В качестве примера рассмотрим ОДУ дх/й = х+е~.
В данном случае а(1) =1, А(1) =~ и Ь(1) =е~, В(~) =1. Согласно (3.21), находим х(8) = Сое +~е~. 3.4. Лппейпые ОДУ первого порядка ходим к ОДУ вЂ” = Ь(с)е Н~(й) — д с й Отсюда инисегрированиеас находим С(с) = Сс+В($) (3.24) и, подставляя С($) в (3.23), получаем итоговое выражение С е Ц1с1 + В(с)ед(с) идентичное (3.21). Таким образом, с помощью этого метода решение произвольного линейного неоднородного ОДУ удается свести к операции интегрирования, причем функция С($) в (3.23) совпадает с функцией и(С), используемой в методе Бернулли.
Найдем решение ОДУ (3.19), удовлетворяющее начальному условию х(со) = хо. Полагая в (3.23) с с А(с) = аясР„В(с) = Ьяе ~сс)сХг и используя начальное условие, получаем хо = Сое"ссв)+ В(10)едссо) = Со так как при таком выборе функций А(С) и В(С) имеем А(со) = В(Со) = О. Таким образом, частное решение ОДУ (3.19), удовлетворяющее начальному условию х(Со) = хо, имеет вид х(с) = хо + Ь(4) ехр — а(~) ссс, ссс ехр аЯ сК. Со со Со 3 — 9306 66 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Замечание 3.1. В ряде учебников общее решение ОДУ (3.19) записывают в виде х(Ф) = Сехр пай+ Ь(Ф)ехр — афти й ехр афти, подразумевая под содержащимися в формуле неопределенными интегралами соответствующие первообразные. Но неопределенный интеграл — зто все множество первообразных, а не отдельно взятая первообразная, так что такое использование понятия неопределенного интеграла неточно и является пжаргонным".
В современной математической литературе такал неточность допускается, так как приведенная формула удобна для приложений, тем более что смысл, в котором используется символ неопределенного интеграла, легко определяется и к путанице не приводит. Решим методом Лагранжа, иногда называемым методом вариации постоянной, линейное неоднородное ОДУ вЂ” +юсова = е Ых — в!и! в!Ф В данном случае а(в) = — соя8 и й(в) = е "и!. Соответствующее зтому ОДУ однородное уравнение !!х/й+х сов 1 = 0 имеет, согласно (3.22), решение Полагая С = С(в) и подставляя в исходное уравнение, а затем интегрируя, находим С(в) = С!+Ф и окончательно получаем хР) — С!е-в!и! ! фе-в!и! пв Р ! С!)е-в!и! 3.4. Линейные ОДУ первого порвдкв Пример 3.2.
Сосуд, наполненный жидкостью, вращают с угловой скоростью ы вокруг оси Оу. Жидкость в сосуде образует воронкообразную полость (рис. З.З), границей которой является поверхность вращения некоторой „ в, кривой, которая описывается уравнением у = у(х).
Найдем форму этой поверхности. Р --- 'р Рассмотрим частицу на поверхно- О г" х сти полости, имеющую массу т и ко- Рис. 3.3 ординаты (х, у(х)). Во вращающейся вместе с жидкостью системе координат Оху частица покоится. В этом случае равнодействующал Р силы тяжести Р и центробежной силы инерции И1 с абсолютными значениями соответственно тд и ои,Рх ортогональна поверхности вращения. Тогда гх бакр= = Р-.
тд д Но в силу геометрической интерпретации производной у'(х) как углового коэффициента касательной к графику функции у(х) имеем ф~р = Ну/сЬ, и поэтому Цу и~х Нх д Решал это линейное однородное ОДУ с начальным условием у(0) = О, получаем 2 у= — х~, 2д т.е. границей полости является параболоид вращения. ф В некоторых случаях ОДУ, в котором независимым переменным является $, а искомой функцией — х(Ф), можно преобразовать в линейное, если, наоборот, считать х аргументом, 3. ОДУ ЛЕРВОГО ПОРЯДКА а Ф вЂ” искомой функцией.
Например, уравнение (6(х) Ф + с(х)) — = а(х), дх записанное в форме й 6(х) с(х) Ых а(х) а(х)' представляет собой линейное неоднородное ОДУ. Уравнением Бернулли называют ОДУ вида Их — = а(Ф) х+ 6(Ф) х, й (3.25) где а Е 1а, а ф О, 1. Подстановка у = х~ '" приводит (3.25) к линейному неоднородному ОДУ вЂ” = (1 — а) а(г) у+ (1 — а) 6(1), ф й Пример.
Решим двумя указанными способами уравнение Бернулли с1х х хг — + — = — 1п 1. й 1 1 1 способ. Выполнив подстановку у = 1/х (х ф 0), получим 1у — — ° — + — = — 1п1, „г ' й „1 „г1 или ф ц 1 — — — = — — 1пФ, й которое можно решить изложенными выше методами. Другой вариант — отыскание решения ОДУ (3.25) в виде х(Ф) = = и(1)и(Ф), используемом при решении линейного ОДУ методом Бернулли.
3.4. Линейные ОДУ первого передка т.е. линейное неоднородное ОДУ. Соответствующее ему однородное ОДУ имеет решение у(с) = Сс. Решая неоднородное уравнение методом Лагранжа, получаем ОДУ с1С(с) 1 с — = — — 1пс, й после интегрирования которого находим С(с) = + С1 и у(с) = С(с)с = 1+ С1с+ 1пс. 1+ 1п$ Возвращаясь к исходному переменному, в итоге запишем 1 1 х(с) = — = у(с) 1+ С1с+ 1пс При выполнении подстановки могло быть потеряно решение х = О.
Проверка показывает, что действительно х(с) = О является решением исходного ОДУ. П способ. Полагая х(с) = сс(1)о(с) и подставляя в исходное ОДУ, имеем с1и сЬ ссо и~оз — о + — и + — = — 1пс. с1с й Приравняв нулю коэффициент при и(1), получим ОДУ ссо/ссс+ о/с = О, в качестве часшного респенил которого возьмем о(с) = 1/с. Тогда для нахождения и(1) имеем ОДУ с разделяющимися переменными 1 сси ссз — — = — 1пс.
1 ',11 сз Учитывая возможность потери решения сс(с) = О при разделе- нии переменных, после интегрирования этого ОДУ запишем и(с) = с 1+ Сс+ 1пс и сс(с) = О. Окончательно получаем х(с) =сс(с)о(с) = 1 1+ С1+ 1пс и х(с) =О. 70 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнением Рпкивгпп по имени итальянского математика и инженера Я.Ф. Риккати (1676-1754) называют ОДУ вида — = с(Ф) + Ь($) х+а(8) х, Их г й (3.26) — + — = с(Ф) + Ь(Ф)у+ Ь(г)х(1) + афуг + 2а(8)х(1)у+ а(8)хг(~).
~й й Ф Так как х(1) — решение ОДУ (3.26), то окончательно имеем — = (Ь(г) + 2а(1) х(1)) у+ а(1) у~. ~й Это уравнение Бернулли с а = 2. Заменой у = 1/я его мож- но свести к линейному неоднородному ОДУ, для нахождения общего решения (3.21) которого достаточно выполнить после- довательно две операции интегрирования. Пример. Уравнение Риккати Ых г — +х — Фх = 1 сй (3.27) где а(1), Ь(Ь), с(1) — функции, непрерывные в некотором интервале изменения 1. Это ОДУ содержит в себе частные случаи уже рассмотренных ранее уравнений: если а(1) = О, то (3.26) — линейное неоднородное ОДУ, а если с(8) ьв 0 — уравнение Бернулли с а=2.
К сожалению, решение уравнения Риккати в общем случае не удается свести к операции интегрирования. Однако если известно одно частное решение ОДУ (3.26), то его общее рещение можно найти при помощи двух последовательных операций интегрирования. Действительно, пусть х = х($)— частное решение (3.26). Выполнив подстановку р = х($) — х($), получим З.б.
Особые точки и особые решеиия ОДУ первого порядка 71 имеет частное решение х(с) =с. Замена х =с+у приводит (3.27) к уравнению Бернулли — +у +гу=о. Ф г ас Положим у(с) = и(с)о(с). Тогда можно записать Й~ ~Ь и — +и — +и и +сне =О. ас ас Приравняв нулю коэффициент при и, получим ОДУ до/ас+ + си = О, имеющее частное решение и(с) = е "7г. Теперь Оду для нахождения и(с) принимает вид — = — не Р7.
а'с Разделяя переменные и интегрируя, получаем с учетом поте- рянного решения и(с) = О и(с) = и и(с) = О, 1 С+ С(с) -св г где С(с) — первообразная функции е ~ 7г. В итоге уравнение Риккати (3.27) имеет решения -Р/г х(г) = Ф + ' и х(Ф) = Ф. С+ С(8) 3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка Если в обыкновенном дифференциальном уравнении (ОДУ) первого порядка Нх/ас = 7'(с, х) правая часть 7" (8, х) непрерывна в некоторой области Р и удовлетворяет условию Линшица по х, то через каждую точку (се,хо) Е Р этой области проходит, согласно нгеореме 2.2 Коши, единственная 72 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА интегральная кривая. Такую п1очку интегральной кривой называют обыкновенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
