VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3.2). Зная коэффициент трения определить, какую начальную М скорость ив нужно сообщить шарику для того, чтобы он Р сделал один полный оборот по М! проволоке и остановился. и Р На шарик действуют четыРис. 3.2 ре силы (см. рис. 3.2): сила тяжести Р с абсолютным значением Р = тд (д — ускорение свободного падения), центробежная сила Жт инерции с абсолютным значением 1!11 = тпие1т (и — скорость шарика), сила И реакции проволоки и направленная против его движения сила Р трения. Сила реакции проволоки уравновешивает силу 54 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА тяжести и центробежную силу инерции, поэтому абсолютное значение этой силы ~пг„г, г ( д)ь' Следовательно, абсолютное значение силы трения Р=ддд= — ддд ~д ~ти Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнение движе- ния шарика в виде пг — гд — дгг2 + о4 й~ ~и,~ сЮ г Поскольку о = сЬ/~М, где л — расстояние, пройденное шариком после начала движения, то можно написать В итоге получаем уравнение движения шарика в виде Ф вЂ” = — дд''д д. Ио дл г Это ОДУ с разделяющимися переменными.
После разделения переменных и интегрирования находим | Л1 ддд" д г Интеграл в левой части этого равенства подстановкой о = х 2 можно Свести к тпабличномд инпьегралд, так что приходим к соотношению "+ ~4' д7~ -1п = — — + С. 2 дг г З.я. Однородные я кваэиоднородяые уравнения 55 По условию, о=О при в = 2яг. Отсюда С = 2я/. Начальную скорость ее шарика найдем из условия в =ее при я = О, т.е. д, дд Я+д'"г — 1п = 2я/, 2 дт или (после решения биквадратного уравнения относительно ее) е4дду е-4дду де = д.
=,~д. Ы д.д. 2 3.2. Однородные и квнэиоднородные уравнения Функция др(Ф, х) является однородной функцией стпепени й, если для всякого Л ) О выполнено равенство у(ЛФ, Лх) = = Л"р(г,х). При й= О имеем др(Л1, Лх) =др(д, х), т.е. получаем однородную функцию нулевой степени.
Например, ~Р + х~ — Фх является однородной функцией второй степени, Ф~ 1х+х" — однородной функцией Й-й степени, а (2Ф вЂ” х)/(1+ х) — однородной функцией нулевой степени. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первоео порядка — = у(г, х) Их й (3.7) называют однородным, если /(8, х) — однороднал функция нулевой степени (Й= О), т.е.
/(ЛС,Лх) =/(1,х). Если в этом равенстве положить Л = 1/й, то получим тождество /(д, х) = ьп /(1, х/й). Таким образом, если ОДУ (3.7) является однородным, то его правая часть будет функцией лишь одного аргумента х/$. Обозначив эту функцию через р, запишем (3. 7) в виде дх — = др(х/Ф).
дй' (3.8) Характерно, что значение ее и движение шарика не зависят от его массы. 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Сделаем замену искомой функции (3.9) Дифференцируя (3.9) и подставляя результат в (3.8), получаем ОДУ с раэделлюи4имисл переменными (3.10) Разделив переменные и проинтегрировав, найдем (3.11) В силу замечания 3.1 помимо решений (3.11) ОДУ (3.10) может иметь решения вида р = уе, где уе — корни уравнения ~р(у) = р. Решению р = уе ОДУ (3.10) соответствует решение х = ре1 ОДУ (3.8).
Пример. Уравнение дя 1я+ язв-$/Я й 1з является однородным ОДУ. Замена х = Фу приводит его к виду р+Ф вЂ” = р+р е ~~", Иф Ю или, после разделения переменных, е1~" с~у <Й 92 После интегрирования и возврата к исходным переменным получим е~~*+1пф = С. При разделении переменных было потеряно решение у = О, которому соответствует решение х вл 0 исходного уравнения. ф 57 3.а. Однородные н квааноднородные уравнение Ых т ах+ ЬФ+с (Й а1х+Ь18+с1 Смысл этих замен состоит в избавлении от постоянных сла- гаемых в числителе и в знаменателе аргумеюиа функции Постоянные и,и являются решением системы линейных алге- браических уравнений (СЛАУ) аи+Ьи+с=О; а1и+Ь1и+с1 =О.
(3.12) При аЬ1 — а1Ь = О, т.е. когда СЛАУ (3.12) не имеет единствен- ного решения, следует применить подстановку р = ах+ Ы. Пример. Рассмотрим ОДУ й (х+е — 2) После замены переменных х = у — 1, Ф = т+ 3 получаем Это однородное ОДУ можно привести к ОДУ с разделяющими- ся переменными заменой л = у7'т: сЬ г+ г~ 'Г (1 )г После разделения переменных и интегрирования находим 1п(я~+ 2агс~дг+1п(т~ = См К однородным уравнениям заменами х = у+ и и $ = т+и можно привести ОДУ вида 58 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или хте "с"Я' = С, где С = ~е~'. Возвращаясь к исходным переменным, получаем 2~ яы (х+1)е Яс-з =С При разделении переменных мы потеряли решение я(т) =0 (см. замечание 3.1), или, в исходных переменных, х(Ф) = кя — 1. В самом деле, нетрудно убедиться, что в постоянная функция х(Ф) = — 1 действительно является честны.и решением исходного ОДУ и в общем решении соответствует константе С = О. ОДУ (3.7) первого порядка называют квазиоднороднььм, если для всех Л ) 0 справедливо равенство (3.13) где а, /3 Е К.
Заменой я = 1/1Ф/ квазиоднородное ОДУ можно преобразовать к ОДУ с разделяющимися переменными. Докажем справедливость этого утверждения. Полагая в (3.13) Л=1 1/",имеем /(1, х(1Д/'*) ы/1 Д/'"~(С,т), или /(Ф, х),: — $Д/ 1/(1, х/$~/ ). Учитывая это представление и проводя в (3.7) замену х = уФЯ/'", запишем ~Д/а Р + Р /-1+9/о ~-1+Д/аУ(1 ) И М а Отсюда и следует ОДУ с разделяющимися переменными Некоторые ОДУ первого порядка можно привести к однородным заменой я =у"', где ги — число, подлежащее определению. Например, ОДУ 314 + я4 41 6 й 59 3.3. Уравненвн в водных днфференцнааах после замены х = у принимает следующий вид: 14 2т-1 + 4тл об Нф й Оно будет однородным в случае равенства степеней всех его членов: 4+2т — 1=41п=б.
При гп=3/2 этиравенстваспра- ведливы, поэтому замена х = уз~2 приводит к однородному ОДУ вида 314 2 + б 41б ду аб Решая конкретные уравнения при помощи замен вида х = = убн1'", х = у, следует обращать внимание на знаки переменных. Так, выражение у'н при у(0 и иррациональном гп не определено. 3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрируюпплй множитель Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка Нх/дб = /(1,х) иногда бывает удобно записать в форме М(1, х) дб+ Ф(2, х) дх = О.
(3.14) В случае выполнения равенства АУ(2, х) аМ(1, х) (3.15) а ах М(Ф, х)~й+Ф(1, х) дх = ЯК($, х). (3.16) тождественно (на всей плоскости 10х или в некоторой ее области Р) (3.14) называют ОДУ в полных дифференциалах. Если функции М(1, х) и Ф(1, х) непрерывно дифференцируемы в некоторой области Р, то условие (3.15) обеспечивает для любой точки (Фв,хе) й Р в некоторой ее окрестнос1пи существование такой функции И~(1,х), полный дифференциал которой является левой частью (3.14), т.е. 60 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Тогда (3.14) принимает вид ИИ'(С, х) = О, откуда находим И'(С, х) = С, где С вЂ” произвольная постояннал.
Функцию И'(С, х), удовлетворяющую условию (3.16), можно представить следующим образом (Ч??]: И'(С, х) = М(т, хе) йт+ ?Ч(С, () е((. (3.17) Хо Действительно, используя правило дифференцирования инте- грала по параметру (Ч?] и условие (3.15), получаем х е дИ' /' дР7(С, () /' дМ(С, ~) „ я0 е0 = М(С,хе)+М(С, х) — М(С,хе) = М(С, х) (3.18) и дИ'/дх = ?Ч(С, х), т.е. функция И'(С, х) удовлетворяет условию (3.16). Итак, решение ОДУ (3.14) в полных дифференциалах в неявной форме можно задать в виде общего икщеграла И~(С, х) = С.
Пример. Рассмотрим ОДУ (Зхз + 2хС+ 2С) й+ (бхС + С~ + 3) Йх = О. Это ОДУ в полных дифференциалах, так как в данном случае М(С,х) =Зхз+2хС+2С, ?Ч(С,х) =бхС+Сг+3 и — (Зх + 2хС + 2С) = бх + 2С; — (бхС + С~ + 3) = бх + 2С, д д дх дС т.е. во всех точках плоскости СОх выполнено условие (3.15). Вычисляя интегралы в (3.17), положив Се = О и хе = О, находим И'(С, х) = ЗхзС+ хСР+ Сз+ Зх. Следовательно, общим интегралом исходного уравнения будет Зх~С+ хС~ + С~ + Зх = С = сопяС.
3.3. Уранненнн в полных днфференннааах 61 Конечно, не всякое ОДУ вида (3.14) удовлетворяет условию (3.15). Если это условие не выполнено, то иногда все же удается привести (3.14) к ОДУ в полных дифференциалах умножением на некоторую не равную нулю функцию р(Ф, х), называемую в таком случае интпеерирующила мноэесипаелела. При этом вместо (3.15) получаем д(рФ) д(,ыМ) д1 дх др др дМ дФ Д~ — -М вЂ” =„( — — ). де дх дх де Л 1р~ 1.
ОМ аМ) й Ф(дх дФ Ясно, что для существования интегрирующего множителя р, не зависящего от х, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения была функцией только Ф. Пример. Рассмотрим ОДУ (е* + й) й + 2йе* е(х = О. Здесь М(й, х) = с*+1 и И(а,х) = 2се*. Так как дМ/дх = е* и дФ/де = 2е*, то очевидно, что условие (3.15) не выполнено: дЛ/д~ ф дМ/дх. Однако выражение 1 дМ дФ 1 -( — — — )=— Ф дх дФ 2Ф не зависит от х. Тогда для интегрирующего множителя р(Ф) будем иметь ОДУ с разде ьлющимисл переменналеи д1п~р! 1 й 2Ф Найти функцию р(Ф, х) из этого ди4ференциальноео уравпенил с часгппылеи проиэеодпььвв в общем случае не удается.
В ряде частных случаев оно упрощается, например в случае, когда интегрирующий множитель р зависит только от одного из переменных. Так, если р = р(е), то имеем ОДУ 62 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Одним из решений этого ОДУ является функция р($) = = 1/1Я, Ф ф О. Итак, интегрирующий множитель найден в области Х1 = (1ф О). Рассмотрим случай 1) О. Умножив исходное ОДУ на интегрирующий множитель р($) = 1/1/1, запишем е*+ $ — 1Ы+ 21йе*с1х = О. 14 Покажем, что в области (Ф ) О) это ОДУ в полных дифференциалах.
В самом деле, нетрудно убедиться, что теперь условие (3.15) будет выполнено, если принять М(1, х) = (е*+1)/~Д и Ф(~, х) = 2 сне*. Тогда дМ е* дФ е* дх =Д' д1 =,Л' т.е. дФ/д1 = дМ/дх. Подставляя принятые выражения для М(Ф, х) и Л(1, х) в (3.17), интегрированием находим функцию Ит(Ф, х), положив для простоты Ма = 1 и хе =0: 1 е Ж(1, х) = / — от + 2Л/ е И~ = Г1+т 1 0 = 24~ ~+ — 4т~ +2Ле~~ 3 0 = 2~4+ — Л вЂ” — + 2ъГ~(е* — 1) = — 1Й+ 2Ле* — —.
2Ф 8 . 2Ф 8 3 3 3 3 Следовательно, общим интегралом исходного ОДУ будет -Л+ Ле* = С, 3 где С вЂ” произвольная постоянная, а общее решение этого ОДУ можно записать в виде х(1) = 1п( — — — ). С с 1/1 3 63 3.4. Лппейпые ОДУ первого порядка Случай $ ( 0 рассматривается аналогично. При зтом интегрирующий множитель будет иметь вид,и(Ф) = 1/~(-Е.
Отметим, что у ОДУ первого порядка в форме (3.14) переменные Ф, х равноправны и каждое из них можно рассматривать как функцию другого. Если независимым переменным является х, а роль функции играет Ф, то уравнение (3.14) имеет решение Ь(х) = О, теряющееся при интегрировании ОДУ. 3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати Обыкновенное диЯеренциальное уравнение (ОДУ) первого порядка вида — = а(Ф) х + Ь(Ф), Нх аь' (3.19) ах — = а(ь) х.
аь' (3.20) Это уравнение называют однороднььм линейным ОДУ первого порядка, соответствующим (3.19), в отличие от уравнения (3.19) с Ь(4) ье О, называемого неоднородным. Существует ряд методов решения ОДУ (3.19). Изложим здесь два из них. 1. Мепьод Бернулли. Будем искать решение ОДУ (3.19) в виде х($) = и(1) о(1). Подставляя х(ь) в (3.19) и опуская обозначение аргуменньа Ф, получаем аи ао о — +и — = аио+Ь, а'ь' аь' где правая часть является линейной функцией х, а а(ь) и ЬЯ непрерывны в некотором интервале изменения $, называют линейным ОДУ первого пор*дна. Если Ь(8) е— л О, то (3.19) примет вид 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Выберем в качестве е(Ф) одно из отличных от тождественного нуля решений ОДУ Ио(й — аи = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
