VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Обозначив независимое переменное, производная по которому от искомой функции входит в состав ОДУ, через $, а эту искомую скалярную функцию через х(г), запишем ОДУ в виде '(' * — "*, — —.,-*) =' (1.1) Порядок и Е 1Ч старшей производной в (1.1) называют пор,идиом дифференциального уравнения. Таким образом, (1.1) 16 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ является обыкновенным дифференциальным уравнением и-го пор*дка. Определение 1.1.
Решением обыкновенного дифференциального уравнения (1.1) в некотором промежутке Т С С К числовой прямой Й называют и раз непрерывно дифференцируемую в этом промежутке функцию х(Ф), удовлетворяющую при любом 1 Е Т этому уравнению. Если в (1.1) п = 1, то имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого пор*дка Р(Ф, х, дх/Ж) = О. Во многих случаях его удается записать в виде ах — =/(1, х). й (1.2) Тогда его называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным огпноситпелъно производной. При п ) 1 получаем обыкновенное дифференциальное уравнение высшего порлдка.
В (1.1) и (1.2) входит одна искомая функция х($). В теории ОДУ рассматривают также системы уравнений, которые состоят из и обыкновенных дифференциальных уравнений и такого же числа искомых функций. Если система ОДУ'первого порядка разрешена относительно производных: — ' = /;(1, х1, ..., хы ..., х„), 1 = 1, п, (1.3) /;(Ф, х) = Я1, хм ..., хы ..., х„), 1 = 1, и, Ф то ее называют нормальной снедаемой ОДХ В этом случае число и уравнений, входящих в (1.3), называют порлдком нормалъной системы ОДХ Если правые части в (1.3) не зависят явно от $ (д/;/д1:— О, 1= 1, и), то имеем авп1ономную нормальную систему ОДУ'.
Рассматривал х;($) (ю' = 1, и) как координатные функции, введем вектор-функцию скалярного аргумента х(г) = = (х1(г), ..., х„(~)) . Аналогично, считая 17 1.1. Основные понятия и определения координатными функциями векторной функции, представим ее в виде у($, х) = (Л(е, х), ..., у„(3, х)) . Тогда (1.3) можно записать в векторной форме (1.4) Определение 1.2. Решением нормо,аьной систпемы (1.4) ОДУ в некотором промежутке Т С Ж называют вектор- функцию х(Ф), определенную и непрерывно дифференцируемую в этом промежутке и при любом $ Е Т удовлетворяющую этой системе.
Обыкновенное дифференциальное уравнение и-го порядка (1.5) разрешенное относительно старшей производной, можно свести к нормальной системе. Действительно, обозначив х(Ф) = х1(Ф), ИХ/ЕЙ=ЫХ1/й=Х2(Ф), ...) д" 'Х/Ж" ' =Йхо 1(й=Хо(Ф), ПОЛУ- чим е~"х/йо = с~хо/й, и (1.5) примет вид ЫХ1 ' = Х2(2)~ ое (1.6) Процесс нахождения решения ОДУ обычно называют интпеврироеанием ди44еренциальнозо уравнения. Если решение ОДУ можно получить при помощи конечного числа операций интегрирования и дифференцирования и выразить через эдеменпэарнме функции, то иногда говорят, что решение дифференциального уравнения получено (или выражено) в квадратурах.
18 Е ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Следует отметить, что ОДУ имеют обычно бесконечное мнохсество решений. Например, нетрудно проверить подстановкой, что при любом значении постоянного числа а функция х(1) = ае' — 1 является решением ОДУ первого порядка дх/й = = х+1. 1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений Всякое решение х;(1), 1 Е Т (1 = 1, и) нормальной системы (1.3) ОДУ в интервале Т можно интерпретировать геометрически как кривую Г с координатным представлением Г = 1(1, хд,..., х„) й К"+1: х; = х;(1), а = 1, п, й Е Т) в (и+ 1)-мерном пространстве К"+1, точки которого имеют координаты 1, хы ..., х„.
Это пространство называют расширенным фазоеым простпранстпеом а кривую Г— интеералъной кривой. Фазоеым простпранстпеом называют п-мерное пространство К" с координатами хм ..., х„ точек (хм ..., х„) Е К", а проекцию на него интегральной кривой — фазоеой траекторией (рис. 1.1). Эта траектория являетсл годографом вектор- Г функции х(1). Координаты точек (хы ..., х„) Е К" иногда называют фазовыми О переменными. В частном случае и = 2 фээовым пространством будет фазовал к1 Фааоаая плоскостна, а фэзовой тра- траектория Рис. 1.1 .
екториеи — плоская кривое. В каждой точке некоторой области Р С К"+ расширенного фазового пространства система (1,3) определяет направление, характеризуемое вектором в = (1, 1м ..., 1о)~. Первая составляющая этого вектора рав- ЬЗ. Задачи, црвводюцце к решению дифферевцквдьвык уравнений 19 на единице, поскольку для первой координаты Ф точки (е, и) расширенного фазового пространства й/ей: — 1.
Построив в каждой точке (Ф, и) е Р вектор в, получим в области Р множество векторов, называемое векчпорнььн полем. В каждой точке (Ф, и) Е Р вектор в задает направление насашельной к проходящей через эту точку интегральной кривой системы (1.3), множество которых называют полове направлений. Интегрирование системы (1.3) ОДУ можно рассматривать как процесс нахождения кривых, у которых в каждой точке направление касательной совпадает с направлением вектора в (см. рис. 1.1). 1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений Простейшие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) рассматривали в своих работах еще И.
Ньютон и Г. Лейбниц. Именно Г. Лейбниц ввел в 1676 г. термин „дифференциальные уравнения". Задачу решения ОДУ И. Ньютон трактовал как обратную по отношению к нахождению производной для заданной функции, а вычисление неопределенного интеграла он считал частным случаем этой задачи. Для Ньютона как создателя основ математического естествознания такой подход к восстановлению функции по зависимости между функцией и ее производными был вполне логичным, поскольку большинство известных в науке закономерностей может быть выражено в форме дифференциальных уравнений.
Пример 1.1. Тело массой чп падает под действием силы тяжести гад (д — ускорение свободного падения) и силы сопротивления г' = -Йо, пропорциональной скорости о, где к — коэффициент сопротивления. Найти зависимость скорости движения тела от времени 1. 20 ь ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Используя второй закон Ньютона, составим ОДУ, описывающее движение тела: ди т — = тд — йш а1 Имеем ОДУ первого порядка, разрешенное относитпеяьно производной ди/й, имеющей механический смысл ускорения движения рассматриваемого тела. Можно проверить подстановкой, что решениен этого ОДУ является совокупность функций и(е) = — + Се тд й где С вЂ” произвольная постояннал. Если в момент времени Ф = 0 тело начинает падение с начальной скоростью и(0) = ио, то С = ио — п1д/й,и тогда Ф) = — (1 — е ы~ )+иве "'~ й Кроме того, это ОДУ имеет, очевидно, решение исс = тд/й, к которому стремятся при 1-++ос все решения вне зависимости от значения ио.
Пример 1.2. Из точки О под углом а к горизонту бросают с заданной начальной скоростью ие тело массой т так, оо что оно падает под прямым углом на наклонную плоскость, проходящую х через точку О и образующую с гоп У ризонтом заданный угол ~р. Считая углы а и у острыми (рис. 1.2), найти угол а. Рис. 1.2 Поместим в точку О начало прямоугольной декартовой системы координат, направив ось абсцисс Ох вдоль наклонной плоскости. Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения тела имеют вид дзх дзд т — = — тде1п<р, т — = -тдсое р.
(1.7) дег <й2 2,3. задачи, нриводнниее к решению диффереицнаааных уравнений 21 Это ОДУ второго порядка, разрешенные относительно стар- шей производной. Они имеют решение дв2 дФ~ х(1) = — — яшар+ С1$+ С2, у(2) = — — сов <р+ С2$+ С4. (1.8) 2 2 В (1.8) входят четыре произвольных постоянных С; (4 = = 1,4). Поэтому для выбора из бесконечного денохеесщва возможных решений единственного решения, описывающего действительное движение рассматриваемого тела, необходимо использовать сведения о положении и скорости этого тела в начальный момент времени Ф = О, однозначно определяющие эти произвольные постоянные.
Так как при 1 = 0 тело находится в начале координат, т.е. х=у=О, то, согласно (1.8), С2=С4 =О. Дифференцируя (1.8), получаем дх — = -91яп~р+ С1, й Иу — = — 94 сов (р + Св. й С учетом заданного при 2 = 0 значения ов скорости тела имеем С1 = овсов(а — <р), Св = ивяп(а — <р). Подставляя найденные выражения для произвольных постоянных в (1.8), запишем 922 х(Ф) = — — яагер+ овесов(а — ~р), 922 у(й) = — — сов ~р+ иойяп(а — ~р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
