VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сформулируйте критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. [1Ч] 16. Каковы условия существования и дифференцируемости неявной векторной функции векторного аргумента? Что такое частная производная этой функции? [Ч] 17. Как направлен вектор градиента скалярной функции векторного аргумента по отношению к ее поверхности или линии уровня? [Ч] 18. Что называют неопределенным интегралом? Напишите формулу Ньютона — Лейбница.
Чему равна производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу? [Ч1] 19. Сколько нулей имеет многочлен степени и? Каким числовым множествам могут принадлежать эти нули? В чем различие между простым и кратным нулем? [1] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЖНИЯ < и ° — начало и окончание доказательства — окончание примера или замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1, 1.1 а ф А — элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а) 1, 1.1 А = (о, Ь, с) — множество А состоит из элементов а, Ь, с 1, 1.1 А = (ач ...
) — множество А состоит из элементов х, обладающих свойством, указанным после двоеточия 1, 1.1 А с В, В э А — подмножество А включено в множество В (В включает А) 1, 1.2 А С В, В Э А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним 1, 1.2 1Ч вЂ” множество натуральных чисел 1, 1.3 У вЂ” множество целых чисел 1, 1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1, 1.3 1к — множество действительных чисел 1, 1.3 % — расширенная числовая прямая 1, 1.3 [а, Ь1 — отрезок с концами в точках а и 6 1, 1,3 (а, 6) — интервал с концами в точках о и 6 1, 1.3 [а, 6), (а, 6) — полуинтервалы с концами в точках а и Ь 1, 1.3 [х[ — абсолютное значение числа х 1, 1.3 +оо, -оо — бесконечные точки расширенной числовой прямой 1 1.3 оо — объединение бесконечных точек +со и -оо 1, 1.3 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ ( — оо, +со), ( — оо, а), (6, +со) — бесконечные интервалы 1, 1.3 ( — оо, а], [б, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1, 1.3 — мнимая единица (Р = — 1) 1, 4.3 С вЂ” множество (поле) комплексных чисел 1, 4.3 Вел — действительная часть комплексного числа я 1, 4.3 ?шя — мнимая часть комплексного числа л 1, 4.3 ах5» — главное значение аргумента комплексного числа л 1,43 У вЂ” число, комплексно сопряженное числу х 1, 4.3 У(хе) — окрестность точки хе 1, 1.3, 5,2 Щхе, е) — с-окрестность точки хе 1, 1.3, 5.2 А 0  — объединение множеств А и В 1, 1.4 АП — пересечение множеств А и В 1, 1.4 А~  — разность множеств А и В 1, 1.4 3х: ...
— существует такое х, что ... 1, 1.5 Л! х: ... — существует единственное х, такое, что ... 1, 1.5 $х: ... — не существует х, такого, что ... 1, 1.5 Чх — для любого х 1, 1.5 у = ДФ) — переменное у — функция переменного $ 1, 2.1, 3.1 Да) — значение функции ДФ) в точке 8 = а 1, 2.1, 3.1 Х)(у) — область определения (существования) функции у(х) 1, 2.1, 3.1 В(у) — область значений функции Дх) 1, 2.1, 3.1 х=у 1(д) — функция, обратная к функции у=ах) 1,2.3, 3.3 д ®х)) — композиция функций д = Дх) и д(у) (сложная функция аргумента х) 1, 2.4, 3.3 М(х; р) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и д (ордината) 1, 2.5 (Фе, хе) — точка с координатами 1е (абсцисса) и ха (ордината) на плоскости 10х 11 произведение (декартово) множества Х на множе- ство У 1, 2.5 произведение (декартово) и множеств действитель- ньп чисел 1, 2.5 ХхУ сумма и слагаемых а1, ..., аю ..., а„1, 2.6 произведение всех натуральных чисел от 1 до и включительно 1, 2.6 число Й принимает последовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до и включи- тельно 1, 2.6 многочлен степени и Е 1Ч 1, 3.6, 4.4 бесконечнал последовательность элементов х„ 1, 6.2 Й=1,п Р„(х) (хп) 11ш(х„) — предел последовательности (х„) 1, 6.3 х -~ а — переменное х стремится к точке а 1, Т.1 11ш Дх) — предел функции Дх) в точке а (при х — ~ а) 1, Т.1 х-+а Да+О) — предел справа функции Дх) в точке а 1, 7.2 ~(а — О) — предел слева функции у(х) в точке а 1, 7.2 е*, ехрх — экспоненциальная функция (экспонента) аргумента х 1, 7.8 1пх — натуральный логарифм числа х (по основанию е) 1, 7.8 яЬх, сЬх, ФЬх, с1Ьх — гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс аргумента х 1, Т.8 аах и Ьд = ЬДх) — приращения аргумента х и функции у = = Дх) 1, 9.1 У(х) = 0(д(х)) — функции у(х) и д(х) одного порядка при х-+а 1,10.1 У(х) = о(д(х)) — функция ((х) более высокого порядка малости по сравнению с функцией д(х) при х + а 1, 10.1 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ /(х) ° д(х) — функции Дх) и д(х) зквивалентны при х-+а 1,10.2 у(") (а) — значение и-й производной функции у($) в точке 8=а у'(х), у', 4у/4х, у' — производная функции у = Дх) П, 1.3 у'(а), 4//ах] — — значение производной функции /(х) в точке а П,1.3 Ых и 4у = 4/(х)[ —, — дифференциалы аргумента х и функции у=Дх) в точке а П,3.1 у" (а) и /'"(а) — производные второго и третьего порядков функции Дх) в точке а П,4.1 /(") (а) — производная и-го порядка (и-я производная) функции Дх) в точке а П,4.1 у~") (а), а"у/й" ]в-я — значение и-й производной функции у(Ф) в точке 1 =а сЬ" и И"у = И" /(х) — дифференциалы и-го порядка аргумента х и функции у = /(х) П, 4.5 г (Ф) — вектор-функция скалярного аргумента $ П, 9.1 я, у, й — орты (единичные векторы) ортонормированного бависа (я, З, й) П,9.1 г'(йе) — производная вектор-функции г(й) в точке 1е П, 9.1 Г = (г (Ф), 1 е [а, б]) — векторное представление кривой Г П, 9.2 Г = (х;(8), 1 = 1, и; 1 Е [а, 6]) — координатное представление интегральной кривой Г в расширенном фазовом пространстве К"+~ П, 9.2 р и ~р — полярные координаты (полярный радиус и полярный угол) точки на плоскости 1, 4.3; 11, 9.3; П1, 3.6 а, ]а[ — вектор и его длина П1, 1.1, 1.2 ]]а ]] — длина и-мерного вектора а 9.1 — нулевой вектор Ш, 1.1 ~; оьаь — линейная комбинация векторов а~,...,аь,...,а„, с коэффициентами а~,..., аь,..., о,„111, 1,5 Оху (Охуя) — правая прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве) 111, 3.1 (а~, ..., аь..., а„) — точка фазового пространства К" с координатами аь (я = 1, и ) 1.2 ($, ам..., аь,..., а„) — точка расширенного фазового пространства К"+~ с координатами 1 и аь (Й = 1, и) 1.2 у(х) — векторная функция векторного аргумента ж 1.2 ~(Ф, х) — векторная функция скалярного 8 и векторного ж аргументов 1.2 а = (а~,..., аь,..., а„)т — координатное представление вектора в п-мерном векторном пространстве Пl ~($, ж) = (ЯФ,ж), ..., ~„(Ф,ж)) — координатное представление векторной функции в и-мерном векторном пространстве 1.2 8габДж) — вектор градиента скалярной функции Дж) векторного аргумента ж Ъ', 8.1 д~(С, я)/дт, 1'(1, х) — частная производная функции Д1, х) по переменному ж 'Ч, 2.2 Г ДФ)й — неопределенный интеграл от подынтегральной функции ~(8) по переменному интегрирования Ф Ч1, 1.1, 8.1 ~0 у (т) Йт — определенный интеграл от подынтегральной функции у(Ф) в пределах от 3е до $ ~Ч, 2.1, 5.1 14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямбда", „мю" и „ню". 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИсаэ<ЬЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ,УРАВНЕНИЯХ 1.1. Основные понятия и определения При рассмотрении всевозможных физических явлений часто не удается непосредственно найти зависимость между величинами, характеризующими эволюционный, т.е. изменяющийся во времени, процесс.
Аналогичные трудности могут возникнуть и в ситуациях, когда в качестве независимого переменного выступает одна из координат точки или инал переменная величина. Однако во многих случаях можно установить связь между искомыми характеристиками юучаемого явления (функциями) и скоростями их изменения относительно других переменных, т.е. найти уравнения, в которые входят производные неизвестных функций.
Такие уравнения называют дифференциальными. Если неювестные функции зависят от одного независимого переменного (аргуменша), то говорят об обынновенных дифференцивльных уравнениях (ОДУ), иначе — о дифференциальных уравнениях с часгпными производными. Ограничимся (в основном) рассмотрением свойств и методов решения ОДУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
