VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.2 участка области Р и не может пересекать прямые, описываемые уравнениями х = = хо х М(Ь вЂ” 3в) (иначе в окресгпносгпи точки пересечения было бы ~дх/дЬ~ > М, что противоречит ОДУ (2.1) ). Если Ма < Ь, то указанные прямые пересекают границу области Р в углах прямоугольника или по его вертикальным сторонам, а интегральная кривая гарантированно определена при (Ь вЂ” гв! < а, т.е. Л = а. Если же Ма > Ь (как изображено на рис.
2.2), то точки перел Ь сечения прямых с границей яь+ области Р лежат на горияю зонтальных сторонах прямояь ! ! ! угольника и имеют абсциссы ! ! гв ~ Ь/М. В этом случае ин- -Ь ! тегральная кривая гаранти!я я 'о " !о ц'ь 'оо рованно определена лишь при Рис. 2.2 )$ — Ьв ) < Ь/М, т.е. Л = Ь/М. Хо Прежде всего убедимся, что если непрерывная функция х(Ф) удовлетворяет при всех Ф е (Фо — Л, гв + Л] неравенству 29 2.2. Теорема Коши [х(С) — хе[ < Ь и интегральному соотношению (2.7) то она является решением указанной задачи Коши.
Интеграл в (2.7) существует на отрезке [се — Ь,?о+Ь], так как подынтегральная функция ~((, х(С)) на этом отрезке непрерывно зависит от переасеннозо инпдегрироеапил с [Ч?] (функция х(с) непрерывна на [8о — Ь, со+ Ь], а функция П(',х) непрерывна в прямоугольнике Р (см. рис. 2.2) по условию теоремы, причем Ь < а). Из (2.7) непосредственно следует, что х(?о) = хо, т.е. функция х(с) удовлетворяет начальному условию (2.2). Поскольку подынтегральная функция непрерывна при с Е [Со — Ь, Се + Ь], то интеграл в (2.7) является на этом отрезке дифференцируемой функцией верхнего предела с [Ч?], причем ее производная равна 7" (С, х) 'й Е [Се — Ь, со+ Ь]. Следовательно, и функция х(д) дифференцируема на этом отрезке.
Тогда, дифференцируя (2.7) по 8, получаем с?х/с?С = ДС, х), т.е. непрерывнал функция х($) удовлетворяет и ОДУ (2.1). Следующим этапом является доказательство существования непрерывной функции х(с), удовлетворяющей (2.7). Для этого рассмотрим функции хо(с) = хш хд(С) = хо+ ~(~, хе(~)) с?(, ..., х„+д(с) = хо+ УЫ, хи(4)) сЦ'. со Покажем методом математической индукции, что график функции х„(С) лежит в области В, если [с — Со[ < Ь (в противном случае построение элементов последовательности незаконно, поскольку функция 7(с,х) определена лишь в В и для нахождения значений у(с,х„(с)) необходимо, чтобы [ха(С) - хо[ < Ь ~Й Е [со — Ь, Со + Ь!).
32 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ и — ь оо. Следовательно, существует такое пв Е М, что а„+1 < а„ при и > пе, т.е. начиная с некоторого номера и > ив последовательность (а„) является убывающей и ограниченной, т.е. а„< С чп > ив. поэтому н„< С/2", т.е. ]х„(1) — х„1(Ф)] < < С/2" при ]Ф вЂ” Фо] <Ь. Теперь докажем, что (х„(Ф)) удовлетворяет критерию Коши сходимости последовательности (см. утверждение 6.3 [?]). При ?1? > пе, опуская обозначение аргумента ~, имеем ]хР1 — хн+р] = ]хаГ хР1+1 + хР1+1 хР1+г + .. + ХР1+р — 1 хи.1 р] <~ р С С " 1 С < ~)~ ]хр1+й — хв1+й 1]<~~1,,— „= ~ ,'1 — „< —, (2.11) й=1 й=1 й=1 т.е.
]хя1(1) — ху+р]-+ 0 при И-+ со. Это означает, что числовая последовательность (х„(1)) является, согласно определению 6.4 (?], фундаментальной и в силу критерия Коши имеет конечный предел (2.9) при выполнении условия ]1 — $в] < Ь. В предпоследней части неравенства (2.11) стоит сумма р членов геометрической прогрессии со знаменателем о = 1/2, равная (см.
пример 7.1 (?]) р й=1 где а1 = 1/2 — первый член этой прогрессии. Тогда вместо (2.11) запишем ]х111(1) — ха1+ (1)] < — ~1 — ~ — ~ ~. Переходя в этом неравенстве к пределу при р -1 оо и учитывая, что в силу справедливости (2.9) 1пп хн+р($) = х($), Р-+ОО 2.2. Теорема Коши Из этих равенств следует, что хс(Св) — хз(Со) = О и «1(ха (С) — хз (С)) сЫ Проинтегрировав последнее равенство, получим с «аа-а«аа=~«а«а,* «ага — а«а, ~«я<а. С учетом (2.8) и условия Липшица справедлива оценка «аа- «ас= ~«а«а *««И-а«а «атас~< с < ~~а«а, я-а«а, *«ат а <« ~ь «аа- *«ас ~, т.е.
с ~.,«аа - «аа < «~/ь «а) - «аяаа . се Если теперь применить мнпсегральное неравенспсво (2.4) Гронуоллв при и(С) = ~хс(С) — хз(С) ~ ) О, сс(Ф) = а ) О и А = О, то получим и(С) ив ч О, или хс(С) = х2(С), что доказывает единственность решения. ° Замечание 2.2. Пусть правая часть ОДУ (2.1) определена в некоторой области Р'. Будем говорить, что для ОДУ (2.1) выполнены условия теоремы Коши в области Р', если для любой точки (Со, хо) Е Р' существует прямоугольная замкнутая область Р С Р', в котором выпояиеиы условия теоремы 2.2. В качестве примера, иллюстрирующего теорему Коши, рассмотрим ОДУ «Ь/«сС = С2+ хз с начальным условием х(О) = О.
Зададим область Р = ((с, х): )С~ ( 1, ~х! ~ (2). 36 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ В этой области М = шах(1з+ х~) = 5. Так как а = 1, 6 = 2, то Ь = ш1п(а; 6/М) = 0,4. Правая часть ОДУ удовлетворяет условию Липшица, причем шах ! — ~ = 2 шах !х! =4, дУ т.е. Ь = 4. Значит, согласно теореме 2.2, существует единственное решение этой задачи Коши, по крайней мере, для !Ф ! < 0,4.
Невыполнение условия Липшица для функции /(1, х) приводит, вообще говоря, к нарушению единственности решения задачи Коши. Рассмотрим ОДУ дх/й = 2 /!х!, т.е. /(1, х) = 2 /!х!. Условие Липшица не выполнено в прямоугольниках, содержащих точки координатной оси 0$, так как иначе при х1 ф хз имело бы место неравенство !/(,. )-/(,")! 2!./!*1!- /!*.!! „ !х1 — хз! !х1 — хз! Но при хз =0 и х1-+0 получаем 2/~/!х1! -+ со. Непосредственной подстановкой можно проверить, что уравнение имеет два различных решения, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию х(Фе) = хе = 0: х1($) = 0 и (1 10) ~ 4 ~~ 10э хз(Ф) = -(С вЂ” го) , ~ < го. Теорема Коши гарантирует существование и единственность решения ОДУ (2.1) с начальным условием (2.2) в области 11, = ((~, х): !С вЂ” 1е! < й, !х — хе! < Ь), где и = шт(а; Ь/М), М = шах !/(й, х)!.
Возникает вопрос (с,*)еп что же происходит с решением задачи Коши (2.1), (2.2) вне указанной области? я Рассмотрим замкнутую область С, причем Р1 с С. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства. 2.3. Оценка разнесен решеннй двух уравнений 37 Теорема 2.3. Пусть функция /(е,х) определена и непрерывна в замкнутой области 0 и удовлетворяет условию Липшица в 0 по х, а х(е) — решение ОДУ (2.1) с начальным условием (2.2). Тогда решение х(е) продолжаемо либо неограниченно, либо вплоть до границы дС области О, и это продолжение единственно. Неограниченная продолжаемость означает, что решение х(1) определено при любом 8 Е й. Например, ОДУ дх/аг = = 1/(1+ е'), х(0) = О, имеет решение х(1) = агс131, определенное при всех значениях ь' Е К.
Продолжаемость вплоть до границы означает следующее. Пусть х(е) — решение, определенное при 1о < г < $' < оо. Тогда предел функции х(е) в точке 8 = 8' существует, причем он может быть как конечны.и, так и бесконечным. В первом случае этот предел существует и конечен. Это реализуется, например, для ОДУ Ых/~й = 1 в области С, представляющей собой некоторый прямоугольник на плоскости $0х. Для ОДУ ах/ае = х4/3 с начальным условием х(0) = 1 реализуется второй случай, так как для решения х(ь) = 1/К вЂ” е этого ОДУ имеем х(1) -ь оо при ь' — > 1 (здесь 1' = 1, причем интегральная кривая имеет вертикальную асимптоту $ = 1).
2.3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решении от начальных условий и параметра Рассмотрим задачу Коши для каждого из двух обыкновенных ди44еренииа ььных уравнений (ОДУ) первого порядка с соответствующими начальныаеи условия,аи: дх ду — =Л(1,х), х(1о) =хо', — „~ =ЫЕ,у)> у(ео) =уо (213) Пусть х(ь), у($) — решения задачи Коши, определенные на отрезке (ео — 6, $о + Ь], где и — число, фигурирующее в формулировке теоремы 2.2 Коши. Функции /1($, х),,6(Ф, у) 38 2.
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДУ непрерывны и удовлетворяют в прямоугольной области .01 = ((Ф, и): )с — св! ( сс, )и — ив! ( 0), где и равно х или 1(, условию Линисииа по х или 1) соот- ветственно. Обозначим шах )Л(с,и) — Ь(с,и)~. (с,в)еВ( Из (2.13) следует дх ду — Л(С~ Х) )г(С~ Р), Х(св) — 1)(св) = ХΠ— 1(0. ас (сс Отсюда интегрированием в пределах от $0 до с получаем 0)-юи-(я-в)=/(с И, (о)-с ((,ю(6Ис(= с со =/(с (( (о) — с|И (о)+/И (о)-ьй моИ''4 Тогда с учетом неравенства треугольника, линейности определенного интеграла и оценки (2.8) его абсолютного значения, а также условия Липпсица 'ь'2(С х) -Ь(С Р)( <У~х — Ы имеет место оценка ( (0 - ц(а)( < (р — (+ / /(с И, (о) - ь (с (о) ) ~( ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
