VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Точку ($в, хо), не являющуюся обыкновенной, называют особой точкой ОДУ бх/се = = /(Ф, х). Через особую точку, вообще говоря, не проходит ни одна интегральная кривая или же проходят по крайней мере две интегральные кривые. Нарушение условий теоремы 2.2 Коши в точке (~в,хо) является лишь необходимым условием того, что эта точка является особой. Например, для ОДУ ох/й = х/1 точка (Фв,хв) = (О, О) будет особой, поскольку через нее проходит бесконечное мноэеество интегральных кривых х(Ф) = СФ, где С вЂ” произвольная постоянная. Напротив, через особую точку (1а,хв) = (О, О) ОДУ йх/М = -1/х не проходит ни одной интегральной кривой ха+ еэ = С (С ) О). Особым реиюением ОДУ называют такое решение ОДУ (2.1), которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству единственности, т.е.
в окрестности каждой точки (Ф,х) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку. Теорема Коши дает достаточные условия для того, чтобы в некоторой области не существовали особые решения. Таким образом, для существования последних необходимо, чтобы условия этой теоремы были нарушены. Если, например, Щ х) непрерывна в некоторой области, то особые решения могут проходить только через те точки, в которых не выполнено условие Липшица. Пример. а. Рассмотрим ОДУ бх/й = ха~а. Интегрируя его, находим общее решение х(1) = (1+ С)а/27 (рис. 3.4).
Кроме того, это ОДУ имеет особое решение х($) гв О, проходящее через точки, где не выполнено условие Липшица (см. рис. 3.4). Действительно, если бы условие Липшица было выполнено для правой части /(Ф, х) = ха~а этого ОДУ, то при х ф у было справедливо неравенство 1 газ „газ~ (х-у) З.б. Особые точки и особые решеиии ОДУ первого порядка где — и Ь вЂ” остоянная Лапшина. Но при у— и =О и х-+О левая часть этого нерва енства стремится к бесконечности. Рис.
3.4 б. Найдем особые решения ОДУ с1х 3 11з — = 1+ — (х — $) й 2 и построим интегральные кривые. Выполним в этом уравнении поде у у = тановк = х — Ф и получим ОДУ с раздеяяе1аимися переменными 1/3 й 2 (3.28) Функция у 3 1)з/2 не удовлетворяет условию Липшица при р = (с) = О является решением и, следовательно, может быть особым. Найдем другие решения Д (3.28). Разделяя в (3.28) переменные и интегрируя, получа- 74 3.
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ем 9(з) ~(з С)з/г При З=го условию у(Фе) = 0 удовлетворяют по крайней мере два решения: 9(Ф) =0 и 9(г) = (г — Зе)з/г Поэтому 9(з) = 0 — особое решение ОДУ (3.28). Решением исходного ОДУ яв- (З) 1 + (З С)з(г х(з) = Ф, причем х(з) = з — его особое решение. Интегральные кривые изображены на рис. 3.5. Рис. 3.5 3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной Обыкновенное диф4еренииальное уравнение (ОДУ) первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид Г(г,х, — „*,) =О.
(3.29) Допустим, ОДУ (3.29) можно разрешить относительно бх/й (пусть и неоднозначно), т.е. можно получить т соотношений бх — =Яз,х), з=1,2,...,г. (з.зо) Тогда к каждому из г ОДУ (3.30) можно применять методы интегрирования, изложенные выше. Но приведение к виду (3.30) не всегда возможно. Поэтому решение ОДУ (3.29) часто приходится искать, используя параметр, например р = бх/й. Рассмотрим ряд частных случаев.
Предположим, что (3.29) можно разрешить относительно х, т.е. записать в виде х = 7($, р). Вычислим полный дифферен- дУ дУ пиал Их = — й+ — Ир. Поскольку <Ь =рй, то его можно дз др представить в виде ОДУ М(з, р) й+ М(г, р) йр = О, интегрируя З.б. Урввненнн, яе разрешенные отноентеньно нронэводной 75 которое (если зто возможно), найдем общее решение $ = 1(р, С), С = сопв1. Тогда общее решение исходного ОДУ (3.29) в пара- метрической форме будет иметь вид Пример. В уравнении ~Ь, Ых 1п — + 81п — = б й й положим дх/й=р изапишем 1=1пр+вшр. Таккак Нх=рй, то имеем ~Ь = р(1/р+ совр) Ир и, интегрируя, получаем общее решение исходного ОДУ в параметрической форме Ф = 1пр+ в1пр; х=р+совр+рнтр+С, р)0, С=сопвФ.
Рассмотренным методом решают, в частности, уравнения Лагранжа и Клеро. Э'равиениеле Лаеранжа называют ОДУ вида (3.31) где р(р) и ф(р) — непрерывно дифференцируемые функции, причем 1о(р) нбр. Поскольку Нх =рй и Нх = ~р(р)й+Ьр'(р)е1р+ф(р)е1р, то можно записать + у(),+ Ф() Ф р(р) — р у(р)-р (3.32) Так как ОДУ (3.32) линейно относительно 1(р), то его можно проинтегрировать по р. После интегрирования получим б= =Ф(р,С), С=сопя$.
Подставив 1= 1(р,С) в (3.31), запишем 76 3. ОДУ ПЕРВОЕ'О ПОРЯДКА общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме: с й= 1(р, С); х = Ф(р, С)Р(р)+Ф(р). Пример. Рассмотрим ОДУ ~Ь дх г — +х — 1( — ) = О. сМ й Это уравнение Лагранжа. Обозначим р = ~(х/~й (~р(р) = рг, ф(р) = — р). Тогда ОДУ (3.32) примет вид сМ 2 1 + — Ф= Решая его, получим С р — 1пр+ С 1)г х=8рг — р, р) О, С=сопвФ. Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро пх х=Ф+4(р) р= у (3.33) названное по имени французского математика и астронома А.К.
Клеро (1713-1765). Применим ту же процедуру, что и при решении уравнения Лагранжа: Их =рй+ Мр+ 4(р) г1р, а так как Их =рай, то 3.6. Уравнения, яе раэрешенные относительно производной 77 т.е. либо р = С = сопвФ, либо 1 = -т//(р). В первом случае в соответствии с (3.33) имеем общее решение уравнения Клеро в виде х(1) = СФ+ 4(С), а во втором — особое решение этого 0ДУ в параметрической форме ~ =-Ю'(р); х = — р т/т'(р) + тр(р) (3.34) (последнее будет обосновано после формулировки варианта тпеоремы Коши суи4естпеования и единстпвенностпи ре- шения ОДУ первоео пор*дна, но вида (3.29), т.е.
ОДУ, не разрешенноео отпноситпельно произеоднот1). Теорема 3.1 (теорема Коши). Пусть функция г'(1, х, р), где р = Ых/~й, в окрестности точки М(8о, хо, ро) непрерывна по всем переменныминепрерывно дифференцируемапо х и р. Пусть, кроме того, Р(М) = О и в точке М дГ/др~ О. Тогда существует единственное решение х = х(Ф) задачи Коши для ОДУ (3.29), удовлетворяющее начальному условию х(Фо) = хо. Из этой теоремы следует, что особые решения ОДУ (3.29), если таковые существуют, удовлетворяют системе уравнений Р(т, х,р) =О; дГ(8, х, р) др (3.35) Для отыскания особого решения необходимо из системы (3.35) исключить р.
Полученное после этого соотношение Ф(~, х) = О определяет так называемую дискриминантпную нривую. Каждую ветвь этой кривой необходимо проверить, чтобы узнать, соответствует ли она решению ОДУ (3.29), и если соответствует, то это решение, вообще говоря, особое. Для уравнения Клеро дР/др = О при Ф = — ф'(р), и система (3.35) дает решение (3.34), которое является особым. Действительно, касательная к интаегральной кривой (3.34) в 73 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА точке, соответствующей фиксированному значению параметра р, имеет уравнение х = р1+ ф(р), т.е. входит в семейство прямых, задаваемых решением х(Ф) = С1+ф(С), причем угловой коэффициент касательной в этой точке, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически [1Ц, равен -Ф'(р) -М'(р) + ф'(р) х'— — р.
1 ~у р Вместе с тем при значении параметра С =р эта точка лежит как на прямой х(г) = С 8+ ф(С), так и на интегральной кривой (3.34). Следовательно, решение (3.34) особое, а интегральная кривая является огибающей одноиараметрического семейства прямых х(8) = С8+ ф(С). Пример. Решим уравнение Клеро х = Фх'+ ха/2. Здесь ф(х') = ха/2. Согласно изложенному выше, общим решением этого ОДУ будет х(1) = СФ+ Сз/2, а (3.34) задает особое решение, причем Ф = — Ф'(р) = -р а х =-рф'(р)+Ф(р) = — р~/2. Таким образом, особое решение исходного ОДУ принимает вид 8 = -р, х = = -рз/2 или,после исключения р, х(Ф) = = — гг/2, т.е.
интегральная кривая особого решения как огибающая семейства прямых х(8) = СФ+Сг/2 будет парабоРие. 3.6 лой (рис. 3.6). Дополнение 3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах Необходимым этапом решения любой прикладной задачи является построение математической модели изучаемого объекта или гроцесса. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) первого порядка составляют основу сравнительно Д.З.1.
Осооенностн состянленнн ОДУ в нрннннлных нздачнн 79 простых, но весьма распространенньп~ математических моделей, применяемых в самых разных областях науки и техники. Причина состоит в том, что многие законы физики, механики, химии и других фундаментальных наук, используемые для количественного описания реальных объектов и процессов, устанавливают связь между величинами и их бесконечно малыми приращениями, т.е. дифференциалами. Иными словами, применяемые при решении прикладных задач фундаментальные законы часто предопределяют структуру используемых соотношений между зависимыми и независимыми переменными, близкую или совпадающую со структурой ОДУ. Однако формальное использование известных законов в прикладных задачах обычно не дает желаемого эффекта.
Дело в том, что каждая прикладная задача имеет свои особенности, требующие осмысления и, как правило, обоснованного упрощения и выделения основных влияющих факторов прежде, чем удается применить тот или иной закон для построения математической модели. Поскольку цель решения прикладной задачи состоит в установлении соотношений между конечными значениями зависимых и независимых переменных, то желательно, чтобы ОДУ, входящие в математическую модель, допускали иитеерирование и представление решения в элементарных Функциях. Это условие далеко не всегда выполнимо, но поиск разумного компромисса между сложностью реального объекта или процесса и желаемой простотой их описания является лейтмотивом математического моделирования — одного из наиболее перспективных направлений прикладной математики. Таким образом, составление входящих в математическую модель ОДУ требует сочетания знаний в конкретной прикладной области и достаточно высокой математической культуры.
После получения решения прикладной задачи важно уметь осмыслить и проанализировать полученный результат, дать ему практическую интерпретацию и попытаться сделать полезные выводы, направленные на совершенствование рассматриваемого объекта или процесса. 80 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 3.3. Известно, что электрический конденсатор емкостью С, будучи заряженным некоторым количеством Я электричества, постепенно теряет этот заряд. Это приводит к тому, что разность потенциалов ЬУ на обкладках конденсатора, изолированного от другихзлементов электрической цепи, постепенно уменьшается. Причиной являются несовершенство электрической изоляции и утечка заряда через окружающую среду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
