VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вместе с тем в любой текущий момент времени 1 остается в силе известное соотношение ЬУ(й) = фй)/С, которое в данном случае можно рассматривать как линейную математи- Ф ческую модель конденсатора в конечной форме. При количественном анализе быстропротекающих процессов в электрических цепях обычно не учитывают потери заряда и используют идеализированную линейную математическую модель конденсатора в дифференциальной форме 1= С вЂ”. аы й (3.3б) Здесь 1 — сила электрического тока, проходящего при изменении ЬУ в цепи, содержащей последовательно включенный конденсатор.
Возникает естественный вопрос: можно ли учесть утечки заряда и оценить их влияние на протекающие процессы, уточнив эту модель, но не слишком усложняя ее? Несмотря на то что математическое моделирование — зто, по существу, применение математики к решению прикладных задач, формализовать все его этапы и указать исчерпывающие правила составления ОДУ и построения математических моделей не удается.
Успех здесь зависит от творческого подхода,изобретательности, интуиции и приобретаемых практикой навыков. Рассмотрим на примерах некоторые особенности составления ОДУ первого порядка и построения математических моделей применительно к достаточно простым прикладным задачам. Д.3.1. Ососенностя составления ОДУ в прикзадзых задачах 81 Если предположить, что сила тока 1, утечки пропорциональна текущей разности потенциалов ЬУ(с), то это равносильно предположению, что конденсатор обладает некоторым конечным внутренним сопротивлением В, (рис.
3.7) в отличие от модели (3.36), в которой такое сопротивление считают бесконечно большим. Согласно закону баланса токов в разветвлениях цепи (первому закону Кирхгофа, названному по имени немецкого физика и математика Г.Р. Кирхгофа С,ИО л, (1824-1887)), имеем 1+ 1, .= О. Отсюда с учетом (3.36) и закона Ома находим Рис. З.Т ЫЬУ ЬУ ЙЪУ 1 С + — = О, или — = — — ЬУ. (3.37) й В, й ВС Таким образом, математическая модель, учитывающая (в рамках принятого предположения) утечки заряда конденсатора, включает ОДУ с разделяющимися переменными, которое также можно рассматривать как линейное однородное ОДУ первозо порядка. После интегрирования получаем АУ(1) = С,е 'Дн.с) где С~ — произвольная постоянная. Если в момент времени $ = О конденсатор был заряжен от внешнего устройства до разности потенциалов ЬУо, а затем это устройство было отключено, то в этом случае С~ = ЬУо, и в итоге соотношение -сдн.с) (3.38) устанавливает зависимость изменения разности потенциалов ЬУ(~) на обкладках конденсатора от времени 1.
Аналогичной будет зависимость от времени заряда конденсатора: Я(1) = = Яое '1~я'~), где Яо = СсзУе — заряд в начальный момент времени 1 = О. Уточненная математическал модель электрического конденсатора в виде ОДУ (3.37) или в конечной форме (3.38) (иногда говорят о модели в интегральной форме, поскольку такую 82 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА модель получают интегрированием ОДУ) содержит параметр В„который не входит в паспортную характеристику конденсатора. Поэтому перед применением таких моделей необходимо найти способ оценки значения этого параметра, т.е.
провести идемгппфпкацию магие натпичесхоб модели (от латинского слова Ыепйпсо — отождествляю). Оценить значение В, теоретическим путем достаточно сложно из-за большого числа трудно поддающихся количественному описанию факторов, влияющих на это значение (тип н качество применяемого в конденсаторе диэлектрика, особенности технологии изготовления и условий работы конденсатора и т.п.). В таком случае более реальным и более надежным является способ, связанный с использованием экспериментальных данных. Если в момент времени 8, измерить разность потенциалов на обкладках конденсатора, предварительно заряженного до начальной разности потенциалов ЬУе, то по полученному значению ЬУ(~,) = ЬУ1 из (3.38) несложно найти Ф, С 1п(ЬУе/ЬУ1 ) (3.39) Однако 'использование одного измерения, вообще говоря, недостаточно для надежной идентификации рассматриваемой уточненной модели.
Дело в том, что при измерениях возникают неизбежные погрешности, связанные с ограниченной чувствительностью измерительных приборов. Кроме того, предположение о пропорциональной зависимости силы тока Х„ утечки от ЬУ(Ф) может оказаться достаточно грубым. Наконец, результаты измерения, проведенного на одном конкретном конденсаторе, могут быть не характерны для партии конденсаторов равной емкости, изготовленных по одинаковой технологии из одних и тех же материалов. Короче говоря, в общем случае следует ожидать некоторого разброса значений В„вычисленных из (3.39) по данным измерений на одном конденсаторе для различных моментов времени 3, и для начальных значений Д.З.1.
Особенности составлении ОДУ в прикладных задачах 83 ЬПе, а также по результатам измерений на нескольких конденсаторах равной емкости. Если такой разброс мал по сравнению с требованиями по точности, предъявляемыми к математической модели, то говорят, что модель адекватна (от латинского слова айаециа1пе — приравненный) реальному объекту, и ее можно использовать для количественного анализа.
В противном случае ее необходимо уточнять или вообще отказаться от тех предположений, которые были приняты при ее построении. Пусть приемлемое значение В, в (3.37), (3.38) найдено. Остановимся на применении уточненной математической модели конденсатора. В изображенной на рис. 3.8 электрической цепи при левом положении ключа К происходит заряд конденсатора емкостью С с внутренним сопротивлением В, от внешнего источника с постоянным напряжением У' через резистор с сопротивлением Вм а при правом положении ключа — разряд конденсатора через резистор с сопротивлением Вз.
Изменение во времени 1 напряжения ° л~ д лз У е(е д й а д д,, -Слра при заземлении другой обкладки и01 можно описать при помощи ОДУ вида С (3.37), если в правую часть этого ОДУ добавить слагаемое, которое, согласно первому закону Кирхгофа, учитывает ток заряда или разряда: Рис. 3.8 ИУ 1 С вЂ” = — — У+ 1. й В, (3.40) При левом положении ключа 1 = (17' — 17)/Вы а при правом 1 = — 17/Вз.
Для этих положений ключа интегрированием (3.40) находим соответственно 17*+ С,е-~дй,с) уг(й) = Сзе 'Длзс) (3.41) где У1 — — У'й, В1 = К1й, Вг = Ягй, й =1/(1+Яг/В.). Отметим, что при левом положении ключа и любом начальном на- 84 3. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА у, ® = у; — (у,* — у )е 'Д"'О>, (3.42) описывающего изменение напряжения на конденсаторе при заряде, найдем момент времени, соответствующий условию У(Ф~) = У~. У1 УО 1~ = В~С1п Теперь из второго соотношения (3.41) получим С~ ~~~ебпл~с) и у (1) у -0-пИй~с> (3 43) Ясно, что У~(Ф) -+ 0 при й -+ +со, причем темп разряда будет более высоким по сравнению с идеальным конденсатором, поскольку .Й2 < В2.
Добавим еще одно условие: пусть при разряде конденсатора напряжение Уз(Ф) падает до значения Уг (О < Уз < У~), а затем ключ мгновенно переходит в левое положение и снова начинается заряд конденсатора, а далее процесс переключений повторяется. Тогда из (3.43) и условия Уг(1г) = Уз находим момент времени перехода ключа в левое положение пряжении Уо на конденсаторе У~(Ф) -+ У~ < У* при 8-)+со, т.е. сколь бы долго не происходил заряд неидеального конденсатора, напряжение на нем не достигает напряжения внешнего источника (в случае идеального конденсатора В, -+ оо и Уд(1) — ~ У* при 1-++со).
Постоянные Сд и Сз в (3.41) найдем из следующих условий. Пусть в начальный момент времени 1 = 0 ключ К находится в левом положении (см. рис. 3.8) и У(0) = Уо < У~. При достижении напряжением У~(3) значения У~ (Уо < У~ < У~) ключ мгновенно переходит в правое положение и начинается разряд конденсатора. Тогда С~ — — — У~ + Уш а из выражения Д.з.1. Осооенностн составленнн ОДУ в прнхнадных задачах 85 а из первого соотношения (3.41) и условия У1(22) = Уг — новые значение постоянной С1 — — -(У1 — Уг)ес'Дл'О) и зависимость У ) 0-1,)дн~с) (3.44) описывающую изменение напряжения на конденсаторе при заряде. Теперь условие У1(2) = У1 будет выполнено в момент времени У;-Уг $ = $2 + Л1С1п У1 1 Далее длительности заряда и разряда конденсатора в каждом цикле будут неизменными и равными соответственно У;-У, У1 Т1 = $ Фг = тс1С1п И Т2 = сг — Ф1 = В2С1п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
