VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 17
Текст из файла (страница 17)
СИСТЕМЫ ОДУ Теорема 4.3 (теорема Коши). Если функция (в непрерывна в области Р (4.22) и удовлетворяет условию Липшица по переменным х(в), ..., х(" ~): ~(в(1,х(в),...,х(" 1) ) — (в(1,х(в),...,х(" т))~ <Ь ,'т (хО) — х(т) ~, то в этой области существует единственное решение ОДУ (4.21), удовлетворяющее начальным условиям (4.23). Условия теоремы 4.3 будут выполнены, если, в частности, функция ~р(Ф, х(в),..., х(" ~)) непрерывна в Р и имеет ограниченные частные производные по х(В), ..., х(" ~). Для этого достаточно, чтобы частные производные др/дх(") (й = О, и — 1) были непрерывны в области Р (см.
замечание 4.1). Функцию х = х(8, С1,..., С;,..., С„), где С; — произвольные постоянные, называют общим решением ОДУ (4.21) тт-го порядка в области Р (4.22), если эта функция имеет непрерывные производные по $ до тт-го порядка включительно и для любой точки (тв,хв,хв,...,хв ) ЕР существует (о) (т) (в-т) конкретный набор значений С; = Св (т = 1, тт ), удовлетворяющих равенствам хв() =х(ь)(йо, С1, . вСт ",Сй)1 Й=О>н — 1, т'=1>н, (424) длл котоРых фУнкциЯ х = х(т, Ств,..., С„'~) ЯвлЯетсЯ Решением ОДУ (4.21). Если в общем решении х = х(8, С1, ..., С;, ..., С„) придать постоянным С1, ..., С„конкретные числовые значения, то получим чостпное решение ОДУ (4.21) п-го порядка. Укажем типы ОДУ высшего порядка (и ) 1), допускающих его понижение, т.е.
интегрирование этих уравнений можно свести к интегрированию ОДУ меньшего порядка. Будем исходить из формы записи ОДУ, когда оно не разрешено относительно старшей производной,т.е. (4.25) 4.4. Теорема Коши о сушествовввяв я едввствеввоств 127 1. ОДУ (4.25) не содержит функции х и некоторого количества последовательных производных: д'х де+'х д"х Ф(с, —,, ..., — ) =О, в >1. (4.26) При помощи подстановки у = двх/~й' ОДУ (4.26) можно при- вести к ОДУ (и — в)-го порядка: Например, подстановка у = азх/дс2 в ОДУ приводит его к ОДУ с разделяющимися переменными: Разделяя переменные и интегрируя, получаем 1 (у+ /1+уз) = 2+С .
Левая часть этого равенства является образиной гиперболической Яункиией — ареасинусом аргументпа у, обозначаемым АгзЬу. Тогда имеем у = зЬ(1+ С1) и с учетом выполненной подстановки азх — = зЬ(2+ С1). ,п2 Интегрируя, последовательно находим дх — = сЬ(8+ Сз) + С2, 'х(~) = зЬ(2+ С1) + С28+ Сз. дФ 4. СИС2'ЕМЫ ОДУ 128 2.
ОДУ (4.25) не содержит явно независимого переменного с: Ф(х, —,..., — „) = О. дх сг'х (4.27) К ОДУ такого типа достаточно часто приводят прикладные задачи. Так, при составлении дифференциального уравнения, описывающего процесс, развивающийся во времени $, могут быть использованы те или иные физические законы, в соотношения для которых время может не входить в явном виде (например, законы сохранения таких субстанций, как масса, импульс, энергия, электрический заряд). Сделаем в (4.27) замену с~х/сМ = у, где у = у(х) — новая искомая функция, а х — новое независимое переменное.
Покажем, что такая замена приведет к понижению порядка уравнения (4.27) на единицу. Используя правило ди44еренцирования сложной амуниции, имеем ~Рх Йу ду с1х ду сиз сИ с)х сЦ дх лз л лу лу ду л с1~ с1х ду 2,Яу где Ь вЂ” известная функция соответствующих аргументов. Подстановка этих выражений в ОДУ (4.27) приводит к ОДУ (и — 1)-го порядка относительно у. Пример 4.1. Найдем изменение во времени $ длины х(с) конца тяжелой цепи, сползающего с горизонтального стола, в то время как не вступившая еще в движение часть цепи свернута в клубок у самого края стола (рис. 4.2).
Пусть р— 4.4. Теорема Коши о существовании и единственности 129 масса единицы длины цепи, д— ускорение свободного падения. Особенность рассматриваемой и(~) задачи состоит в том, что масса рх движущейся части цепи переменка во времени и, как следствие, на эту часть цепи действует направленнал вертикально вниз переменная сила тяжести рхд, вызывающая изменение количества движения рх(ах/ас) цепи. Согласно второму закону Ньютона в форме теоремы об изме- нении количества движения, запишем Рис. 4.2 И~ дх~ — (рх — ) = рхд. д4 й После дифференцирования левой части этого равенства будем иметь ОДУ второго порядка д»х Их з р —,=рдх-р( — ) .
(4.28) Выполнив в (4.28) замену дх/<й = у(х), получим ау 2 ху — =дх-у, Их ау у или — + — = ду Их х д» вЂ” = -2 — +2д. (4.29) дх х Решим это ОДУ методом Лагранжа, записав для соответствующего однородного уравнения решение»(х) = С/хг. Решение неоднородного ОДУ (4.29) будем искать в виде»(х) = С(х)/х~. Тогда для нахождения С(х) имеем ОДУ ИС(х)/Ых = 2дхг, решая которое, получаем С(х) = — х +С1. 2д з 3 5 — 9306 т.е.
придем к уравнению Бернулли вида (3.25) при се = -1, которое подстановкой» = У1 = уз приводится к линейному ОДУ первого парадна 130 4. СИСТЕМЫ ОДЗ' В итоге, имея в виду, что л = д~ = (ох/й)э, запишем (4.30) Постоянную С1 можно найти из начальных условий. Например, если в момент времени Ф = Фе цепь неподвижна, а длина свешивающегося со стола конца цепи х(1е) = хе, то для ОДУ (4.29) начальное условие можно записать в виде л(хо) = О, поскольку ~/г = д = дх/й имеет смысл скорости. Тогда из (4.30) следует, что С1 = -2дхэе/3. Разрешая (4.30) относительно производной и учитывая, что дх/М > О, получаем ОДУ с разделяющимися переменными дх 2д С1 — — х+ —, Ж 3 хз решение которого можно записать в виде | хдх = $+Сз.
~ 2д!~3 <- С Интеграл в левой части этого равенства в общем случае не удастся выразить через элеменпьарные функции [Ч1]. 3. ОДУ (4.25) является однороднымотносительно х, дх/й, о х/й~,..., и"х/си" со степенью однородности, равной Й, если для любого Л > 0 Покажем, что заменой (4.31) можно понизить на единицу порядок однородного относительно х, дх/Ф,..., днх/оР ОДУ со степенью однородности па. 4.4. Теорема Кошм о сущестаоааиии и елинстиенности 131 Имеем «Ь вЂ” ш х««; «Й (4.32) й х «1и «1" 1и где Ь вЂ” вполне определенная функция соответствующих аргу- ментов.
Подставив (4.32) в (4.25), получим ОДУ «Ь г й««Р' «ил х Ф~~1««и+ — ... 6~и — ... — ц=О » ! д,«" 1 ( «,~4~" ~,~~„,)~) = которое распадаетсл на два уравнения: алгебраическое хн« = О, или х(4) = О, и ОДУ (т« — 1)-го порядка относительно и. Если известно общее решение этого ОДУ: и = = и(1, См Сг, ..., С„1), то, подставляя это решение в (4.31) и интегрируя, находим х(1) = С„ехрЩ, См Сг, ..., С„«), (4.33) Замены ет ~т ( 4 О 4 т) (4.34) и где У вЂ” одна из первообразных функции ««(~, См Сз, ..., С„1); С«, Сг, ..., ф— произвольные постоянные. Отметим, что решение х(й) = О следует из (4.33) при С„= О. 4. ОДУ (4.25) называют обобт«4енно-однородным, если для любого Л > О и некоторых й, п1 имеет место равенство иг 4.
СИСТЕМЫ ОДУ приводят обобщенно-однородное уравнение к ОДУ, не содержащему независимое переменное т, а следовательно, к типу, рассмотренному в п. 2. Преобразование производных при заменах (4.34) происходит по формулам дх сЬ ссЬ е-т ( еят + кнейт е-т ~ фн) етс-пт. сй~ Ш Йт Йт Йт ( +(2~ Ц +Ц1 Ц ) — )т, Рх Ри й („2, а Ь и Подставив эти выражения и (4.34) в (4.25) и сократив на е'"", приходим к ОДУ вида Фс(и,—,...,— „) =О, которое не содержит явно независимое переменное т. Пример. Можно показать, что ОДУ является обобщенно-однородным с й = 1 и тп = 3, причем замены (4.34) приводят его к виду Вопросы и задачи 4.1. Решить следующие ОДУ: сс2х ссх сРх сЬ 2 Ух / Их~2 а) — + — =О; б) — + — =4; в) с~х — — (х — с — ) =О; й2 сй ' сй2 сй ' ссс2 ~ Й2 т' Вопросы и задачи сРх 1 1 4х (Рх 4зх ссРх~г г) — =--- —; д) — -2 — +~ — ) =О; ,цг = Зз с ',ц',цг,цз („цг) 42х 1 Ых 42х с 1 (Ь 42х с4х~г е) — =2+ —.—; ж) — =се'+ — —; з) х — + ~ — ) =0; ,Ц2 с ' сЦ ~ сЦ2 1' сЦ (,Ц2 1,Ц) и*~ и'*,(( ~- (/ы~~) и) — = ехр ~З вЂ” — ); к) — = ,цз ~,цг)',цз,р с,цг (12х с (сгх сдх~г Их л) — =Фе~; м)х — ~ — ) =х 1пх, х>0, — >О.
сц2 ~ сцг ~,ц )»,ц 4.2. Решить следующие задачи Коши: огх ссх а) с — + — = 4с, х(1) = 2, ц2 ц огх 1 (Ь б) — + — — = 9(с — 1), ,Цг 2 1 ',Ц Ых~ — =4; сц! с=1 (сх ( х(2) =9, — ~ =5; сЦ С=2 в) 2х — +~ — ) +( — ) =О, х(0)=1, — ) =2. 4.3. Показать, что ОДУ (12х Их "* —.=(*-' — ) 4.4. В примере 4.1 рассмотреть частный случай С( = О и найти закон движения цепи. Какому начальному условию соответствует этот случай? является однородным со степенью однородности й = 2. Сделав замену (4.31), понизить его порядок.
Указать тип полученного при этом ОДУ первого порядка и найти общее решение исход- ного ОДУ. 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. Определения и основные свойства решений Нормальной системой линейных обыкновенных дифЯеренциальных уравнений (ОДУ) называют нормальную систему ОДУ вида Ых; ~й — а; ($)х +д;(е), 1=1,п, 1=1 (5.1) где х;(г) — неизвестные функции, подлежащие определению; а; (г) и д;(1) — известные функции аргумента 1 Е Т, непрерывные в некотором промежутке Т С К числовой прямой К. Для линейной системы (5.1) в области Н = Тхй" выполнены все условия теоремы 4.1 Коши существования и единственности решения Действительно, для любого номера 1 правая часть в (5.1) имеет непрерывные в промежутке Т частные производные по любому из аргументов х.
(у = 1, н), что, согласно замечанию 4.1, равносильно выполнению для правой части системы ОДУ (5.1) условия Липшица относительно всех аргументов ху (г = 1, н) при любых значениях г Е Т. Запись системы в виде (5.1) можно упростить, если воспользоваться матричными обозначениями: х,(г) ап(8) ... аы(1) у1(1) хг(е) аг1(е) ... агн(г) уг(г) у(г) = о.л. Определению и основные свойства решеяяя 135 дх — = А(й) х+д(й). й Если д(1) аз О в Т, то (5.2) дх — = А(Ф)х. й (5.3) Систему (5.3) называют нормальной однородной системой линейных ОД'У, соответствующей системе (5.2). При д(1) ф О в Т система линейных ОДУ будет неоднородной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
