VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если соответствующая ей однородная система имеет постоянные коэффициенты, то для нахождения такого решения можно применить изложенный выше способ, воспользовавшись операцией интегрирования. Но если неоднородность представляет собой линейную комбинацию синусов и косинусов, то частное решение можно найти более простым путем, представив его в виде такой же линейной комбинации, хотя этот прием иногда и не применим (подробнее об этом см. в 6.6, а здесь лишь рассмотрим характерный пример). 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 160 Пример 5.1. По горизонтальной плоскости без трения могут перемещаться два тела массой т1 и тг, причем тело массой т1 связано с неподвижной стенкой пружиной, жесткость которой Й1, а с телом массой тг — пружиной с жесткостью йг.
На тело массой т1 действует сила с периодически изменяющейся горизонтальной 7 составляющей г' = Ро апшо, 1 йг Ро = сопяФ (рис. 5.1). Состат, Тй2 вим уравнения движения и найдем их частное решение, отвечающее нулевым начальРис. 6.1 ным условиям. Обозначим через х1, хг перемещения масс тел массой т1 и тг соответственно. На основании второго закона Ньютона запишем агх1 т1 — = — Й1Х1 + Й2 (Х2 — х1) + Ро 81по12; агг (Рхг тг — = -йг(хг — х1). 122 (5.35) Заметим, что систему ОДУ (5.35) можно записать в форме (5.2), если ввести дополнительные переменные хз = 1гх1/Ж, х4 = ахг/й. Будем искать частное решение системы (5.35) в виде (5.36) Отсюда находим го(йг — тгш ) (Й1+Й2 1111ш )(Й2 т2ш ) Й2 .Ь'ойг (й, + йг т1а12) (Йг - т2„12) йг Х1(4) = ая1пмг, хг(2) = Ьипшг.
Подставив (5.36) в (5.35) и сократив на яшшг, получим два уравнения для определения амплитуд а и Ь: (й1 - т1шг+ Йг) а — йгЬ = го, (йг — пггш ) Ь вЂ” Йга = О. 2 ах структура фувданентаеьяой системы решений 161 Частное решение (5.36) имеет смысл лишь для тех значений 60, для которых (Й1 + Й9 — т16оэ) (Й9 — т90Р) ф Й~~. Пусть оР = = Йэ/т9. В этом случае а = О, Ь = — Ро/Йэ и х1 (Ф) ь— э О, хе(1) = = — (Гв/Йг) ейные. Иными словами, при таком значении частоты ы изменения вынуждающей силы тело массой ты к которому приложена эта сила, остается неподвижным.
Обнаруженный эффект носит название ангпирезонанса (значения ы, обращающие знаменатель в выражениях для амплитуд в нуль, соответствуют резонансу). На практике эффект антирезонанса используют при конструировании динамических гасителей колебаний. 5.7.
Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней Для завершения анализа систем линейных обьпсновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными коэффициентами остаюсь рассмотреть случай наличия кратных корней характеристического уравнения системы ОДУ. Пусть характеристическое уравнение (5.30) имеет кратные корни. Будем нумеровать каждый кратный корень столько раэ, сколько линейно независимых собственных векторов матрицы системы ОДУ (5.26) ему отвечает. Например, если какому- либо значению кратного корня отвечают собственные векторы а1,...,а1, то будем писать ЛьЛэ,...,Л„, (при этом Л1= О) Оч) = Ля = ...
= Л„). Итак, имеем всего в < и корней Лы...,Л„ каждому из которых отвечает собственный вектор. Наиболее важный результат в теории ОДУ, касающийся структуры фундаментальной системы решений, основан на следующей теореме, которую приведем без доказательства. Теорема 5.10. Существует система из и линейно независимых векторов 1„(96 = 1, ..., оы Й = 1, в), удовлетворяющих 06) 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 162 соотношениям А(. = Ль(„; (1) (1) А(„= Ль( + („; (2) (2) (1). (5.37) АЕ(ль) = Л 1(ль) + 1(ль ьь где сумма дю отвечающих одинаковым Лю равна кратности зтого корня. (2) Векторы 1( ),..., ф~ называют присоединенными еенп2оРами, поРожДенными собственным вектоРом (ь . Напом- (1) ним, что корни Лл при разных Й могут быть одинаковыми. (1) Рассмотрим корень Ль. Ему отвечает решение х~~ ) = (1) 2,1 = 12 е .
Оказывается, ему отвечают еще (дь — 1) решений, что утверждает следующая теорема, которую также приведем без доказательства. Теорема 5.11. Каждому корню Ля отвечает дь решений вида ~(1) 1(1)ел11. ~ь ь ж( ) (1( )+11( ))е"'1 (5.38) ж(Я') = (((Я")+Ь((Я' )+ +У' 11( ))(дц — 1)')е"" Так как каждому Лю я = 1, л, отвечает дь решений вида (5.38), то всего имеется д1+д2+... +д, = и решений: (1) (п) \ (5.39) Теорема 5.12. Решения (5.39) образуют фундаментальную систему решений однородной системы линейных ОДУ (5.26).
ь.ч. Структура фундаыентаеьной снстеыы решений 163 м Поскольку х~11 = 1~1 ~, ..., х~~~"1 = 1,',"~~ (к = 1, а) при $ = О и, согласно теореме 5.10, векторы 1з, ...,1,е" в количестве 00 щ + дг + ... + д, = и линейно независимы, то определитпель Вронского при с = 0 отличен от нуля: И~(0) ф О, что в силу теоремы 5.5 и определения 5.1 доказывает линейную независимость решений (5.39). > При практическом построении фундаментальной системы решений можно воспользоваться их выражениями (5.38), предварительно найдя все собственные и присоединенные векторы.
Однако для системы с небольшим числом ОДУ проще поступить следующим образом. Пусть среди корней характеристического уравнения системы ОДУ есть кратные действительные корни. Если кратному собственному значению Л соответствует столько собственных векторов сем ..., сее, какова его кратность, то для этого собственного значения мы имеем й линейно независимых решений сезе"~, ..., азем системы ОДУ.
Пример. Решим систему Нх~ — = хг+хз' сМ <Ьг — = хз+хз; ос 4~з — =хз+хг. оз Характеристическое уравнение системы имеет вид — Л 1 1 1 — Л 1 1 1 — Л '= О. Раскрывая определитель, приходим к уравнению Лз — ЗЛ вЂ” 2 = =О, корнями которого будут Лз — — 2> Лг,з =-1. Корню Л~ =2 соответствует собственный вектор а~ — — (1, 1, 2), решением 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 164 системы будет х1(г) = а1е"'1 = (1, 1, 2)~ег'. Кратному корню Лг 3 = — 1 отвечает СЛАУ (А+ Е)а = О, имеющая два линейно независимых решения, например аг = (О, О, — 1) и аз = = (0,1,1) .
Каждому из этих решений соответствует одно решение системы ОДУ: 0 0 хг(г) =огех"1 = 0 е ', хз(3) =азефы = 1 е '. -1 1 три решения х1(Ф), хг(1), хг(Ф) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений рассматриваемой системы ОДУ. Общее решение имеет вид х(1) С1х1(г) + Сгхг(~) + Сзхз(г) = С1 1 ег'+Сг 0 е '+Сз 1 е '. Если действительному собственному значению Л кратности Й соответствует только тп (тп ( Й) линейно независимых собственных векторов, то решения системы ОДУ, отвечающие собственному значению Л, можно искать в виде произведения векторного многочлена степени Й вЂ” тп на е~': х(Ф)= (с~е+121$+...+ая „,3 )е ', а;ЕК", 1=1,Й вЂ” т.
Чтобы найти векторы ае, ..., аь,, надо подставить функцию х(1) указанного вида в систему. После сокращения на общий множитель е"' мы получим систему алгебраических уравнений, причем каждое из уравнений будет представлять собой равенство двух многочленов переменного Ф. Приравняв коэффициенты в каждом уравнении при одинаковых степенях Ф, получим систему уравнений для определения координат векторов ао, , аь-тп. 5.7. Структура фундаментальной системы решений 165 Пример. Найдем общее решение системы ОДУ ~Ь~ — = Зх~+хг, й "~г — = — хг+хг.
сМ Характеристическое уравнение системы имеет один корень Лд,г = 2 кратности, равной двум. Ране мавгрицы СЛАУ (А — ЛцгЕ)а = О, соответствующей этому корню, равен единице. Решение будем искать в виде аг + 6|$ Подставим это выражение в систему ОДУ, сократим на ег' и в результате получим < 6|+2(а~+Ьф = 3(а~+6|1)+аг+Ьг1; Ьг+ 2(аг + Ьгс) = — а~ — 6|г+ аг + Ьгг.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $, получим однородную систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными аы Ьм аг, 6г, имеющую два линейно независимых решения. Решению аг = 1, 6| = О, аг = — 1, Ьг = 0 СЛАУ соответствует решение х~(Ф) = (1, — 1) ег' системы ОДУ. Взяв в качестве второго решения СЛАУ аг =1, 6~ = 1, аг = О, Ьг = — 1, получим второе решение системы ОДУ: хг(с) = (1+ с, -1) ег'. Общим решением системы ОДУ будет х(1) = Сьх)(с)+Сгхг(1) =Сь ~ ) е +Сг ~ ~ е . Ф /11 и (1+11 г~ 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ 166 Пример.
Найдем общее решение системы ОДУ Нх| — =2х1+хг+из, й ~Ь'2 — = -2х1 — хз; й Ихз — = 2х1+ хг+ 2хз. ~й Матрица системы имеет вид А= -2 0 -1 собственные числа равны Л1 = 2, Лг,з = 1. Собственному значению Л1 = 2 соответствует собственный вектор о1 = (1, -2, 2) ~. Ранг матрицы А — Лг,зЕ равен единице, и решения системы ОДУ, соответствующие собственному значению Лгз, следует искать в виде х1(з) = (а1 + Ь|З)е~, хг(Ф) = (аг + ЬгФ)е~, хз(Ф) = = (аз+ Ьз~е~. Подставляя эти выражения в систему ОДУ и сокращая на е', а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях з, получаем аз + аг = 2а1 + 61 + с1, аг =2аг+6г+сг' 61+Ьг = — 2а1 — с1, ~ = — 2аг — сг, сз + сг = 2а1 + 61 + 2с1 ', сг = 2аг+Ьг+2сг. Ранг матрицы этой системы равен четырем, в качестве свободных неизвестных можно взять, например, а1 и Ь1.
Тогда множество решений системы ОДУ, отвечающих собственному 5.7. Струнтуре фундементаеъной системы решений 167 значению Лз з, можно записать в виде д. хз(д) = (Ьд — ад1)е', хз(д) = ( — ад — Ьд+адд)ед. Два линейно независимых решения можно получить, полагая ад = 1, Ьд = 0 и ад = О, Ьд =1. При этом общее решение системы ОДУ будет иметь вид х(Ф) =Сд — 2 ем+Сз д е +Сз 1 е~. Если характеристическое уравнение системы ОДУ имеет комплексный корень Л кратности Й, то и комплексно сопряженное число Л будет корнем характеристического уравнения кратности Ь.
В этом случае можно найти 2й линейно независимых решений системы ОДУ. Для этого достаточно рассмотреть комплекснозначную функцию в виде произведения векторного комплексного многочлена степени й — тп (гав количество линейно независимых комплексных решений СЛАУ (А — ЛЕ)сд = О): х(д) = (сде+одд+...+ал д" )елс+ +ъуе+яд+...+дд д, )Е. Подставив эту функцию в систему ОДУ и сократив затем на общий множитель еле, получим СЛАУ с комплексными коэффициентами. Разделив на действительные и мнимые части уравнения системы, придем к СЛАУ с действительными коэффициентами относительно неизвестных сд; и Д.
Эта СЛАУ даст й линейно независимых решений, что приведет к и различным функциям хд(д), ..., хь(д). Выделяя у этих функций действительные и мнимые части, получим 2Ь решений системы ОДУ. Б. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ Вопросы и задачи 168 5.1. Решить системы уравнений: «х1/«С = х1+хг — хз, ж) «хг/й = -х1+ 2хг — хз, «хз/й = 2х1 — хг + 4хз. 5.2. Методом Лагранжа найти общее решение систем уравнений: а) а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~| б ) «х1/й = -х1+ 4хг+ ес; с «х1/й = 2х1+ хг+ е«вз; «хг/<И=21 — хг+1; 1 «хг/й=х1+2хг+Зсозс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
