VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Итак, рассматриваемые системы функций и вектор-функций могут быть линейно зависимыми или линейно независимыми, а также составлять фундаментальные системы решений 176 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ однородных соответственно ОДУ (6.6) и системы ОДУ (6.7) только одновременно. Поскольку из теоремы 5.7 следует, что существуют фундаментальные системы решений однородной системы вида (6.7), то существуют и соответствующие фундаментальные системы решений однородного ОДУ (6.6).
Установленная связь между фундаментальными системами решений однородного ОДУ (6.6) и однородной системы ОДУ (6.7) позволяет в дальнейшем использовать результаты, изложенные в гл. 5 применительно к системам линейных ОДУ. Теорема 6.2. Если У1(1), ..., Уь($), ..., У„(Ф) — фундаментальная система решений ОДУ (6.6) в промежутке Т, то любое решение у(1) в нем этого ОДУ имеет вид (6.15) где Сы..., Со, ..., ф— постоянные.
< Прежде всего убедимся, что (6.15) является решением ОДУ (6.6) при любых значениях постоянных Сь (й = 1, и). Для этого подставим (6.15) в (6.6) и запишем В в 1п-1 ~Со( — „+а|(3) +...+а;(Ф) ~, +...+а„(Ф)уь) =О. о=1 Так как по условию теоремы функции уь(1) (Й =1, и) являются решениями ОДУ (6.6), то каждая из них при 1 Е Т обращает в нуль соответствующее слагаемое записанной суммы. Следовательно, левая часть этого выражения равна нулю при Ф Е Т, а (6.15) есть решение ОДУ (6.6). При некотором 1о Е Т зададим произвольные начальные Условия У(~о) =У1 У (го) =Уз "° У (Йо) — У; " У Ио)— = уо, которым в силу теоремы 4.2 Коши удовлетворяет единственное решение ОДУ (6.6).
Такое решение может иметь вид (6.15) и быть единственным только в том случае, если по 177 б.2. Общее ретеине неоднородного уравнения заданным начальным значениям можно однозначно найти постоянные Сь (к =1,т1). Если, дифференцируя (6.15) необходимое число раз, подставить результаты при значении Ф = 3о в начальные условия, то получим систему из п линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) С„у~~" ')(Фв) — ув, я=1 1=1,п, (6.16) Эта теорема является аналогом теоремы 5.8 и устанавливает структуру общего решения,яинейного однородного ОДУ (6.6) и-го порядка в виде (6.15).
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных Аналогом теоремы 5.9 о структуре общего решения неоднородной систпемы (6.4) линейных обыкновенных дифб1еренииальных уравнений (ОДУ) является следующая теорема. Теорема 6.3. Обиднее решение линейного неоднородного ОДУ (6.1) п-го порядка есть сумма общего решения соответствующего однородного ОДУ (6.6) и-го порядка и с и неизвестными значениями постоянных Сю и = 1, и (в этой записи при 1 = 1 использовано обозначение у„(1в) = (о) = уь(1в)).
Определитель этой СЛАУ является вронскианом Ф(1о) фундаментальной системы решений ОДУ (6.6) в промежутке Т, совпадающим с определителем тт'(Фв) Вронского фундаментальной системы решений однородной системы ОДУ (6.7), для которой в силу теоремы 5.6 тт'(Ф) „-Е 0 'еь' Е Т. Таким образом, определитель СЛАУ отличен от нуля и она имеет единственное решение, что доказывает утверждение теоремы. а. 178 б.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ частного решения уравнения (6.1): р(с) = р„(с)+~ Сьрь(с). я=1 (6.17) Здесь р.(С) — частное решение неоднородного ОДУ (6.1), определенное в некотором промежутке Т С й; рь(С) — фрндаментальнал система решений соответствующего однородного ОДУ (6.6), определенных в том же промежутке; Сь — некоторые постоянные коэффициенты (Й = Ги). ~ Пусть р,(С) — какое-либо частное решение, а р(С) — произ- вольное решение неоднородного ОДУ (6.1) в промежутке Т.
Введем функцию я(С) в соответствии с формулой я(с) = р(с) — р.(с) (6.18) ~:С.рб '(с~) =р! -Ы* "(с.), я=с и, подставив (6.18) в (6.1), убедимся, что я(С) должно удовлетворять соответствующему однородному ОДУ (6.6), т.е. г(с) можно выбрать в виде (6.15), и тогда (6.18) совпадет с (6.17). Функция р(С) (6.17), содержащая и произвольных постоянных Сы /с = 1, и, является решением неоднородного ОДУ (6.1) в промежутке Т, что легко проверить, подставив выражение (6.17) в ОДУ.
Это решение будет общим только в том случае, если для произвольно заданных при некотором Со Е Т начо аьных рслоеилх р(Со) = р1, р'(Со) = р~о, ", рб П(Со) = = ро,, р~" П(со) = ро, которым в силу теоремы 4.2 Коши удовлетворяет единственное решение р(С) ОДУ (6.1), постоянные Сь можно найти однозначно. Покажем это. Продифференцировав (6.15) необходимое число раз и подставив результаты при значении С = Со в начальные условия, придем к системе из и линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 179 б.З. Общее решение неоднородного уравнение с и неизвестными значениями постоянных Сы й = 1, п (в этой записи при е' = 1 использованы обозначения у, (Фе) = =уь(1с) и у, (8е) =у,(Фс)).
Определитель этой СЛАУ равен <о) значению вронскиана Ф(Фе) фундаментальной системы решений ОДУ (6.6) в точке 1с Е Т и совпадает с определителем СЛАУ, рассмотренной при доказательстве теоремы 6.2, т.е. отличен от нуля. Таким образом, и в данном случае СЛАУ имеет единственное решение, что доказывает утверждение теоремы. В Покажем, что если в промежутке Т известна фундаментельная система решений уь($), й = 1,п, однородного ОДУ (6.6), то решение неоднородного ОДУ (6.1) можно представить в виде и у(1) = ",~ Сь(1)уь(~), я=1 (6.19) где функции Сь(Ф) (Й = 1, и) должны удовлетворять неодно- родной системе линейных ОДУ (6.20) у1 (е) уг(1) " уи(е) у1(1) у~(1) " уи(1) (6.21) (и-1)( ) (и-1)( ) (и — 1)( ) Действительно, так как'вектор-функции хь($) (6.11) составляют фундаментальную систему решений однородной системы ОДУ (6.7), соответствующей неоднородной системе (6.4), Здесь с(1) = (С1(1), ..., Сь(1), ..., С„(1)), вектор-функция д(1) определена при записи системы ОДУ (6.4), а матрица У(й) имеет вид 180 б.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ а матрица У(1) в этом случае совпадает с фундаментальной матрицей Х(8) (5.17), то (6.20) и (5.20) идентичны и решение неоднородной системы (6.4), как это следует из 5.4, можно представить в виде (5.19): хЯ = С1(~)х1+... + СьЯхьЯ+... + С„(1)х„. Записав это векторное равенство в координатной форме, для первых в (6.11) координатных функций уь($) (Й = 1,н) получим (6.19). Определитель матрицы У(Ф) (6.21) является еронснианом Ф(е) фундаментальной системы решений однородного ОДУ (6.6) в промежутке Т, и поэтому Й~(Ф) ф0 И еТ, т.е.
матрица У(Ф) имеет обратную матрицу У 1(1) И Е Т. Умножая слева обе части (6.20) на У 1(Ф), запишем — =1' 'И)а(~), дс(й) 1 ~М или, используя формулы Крамера, Сь($) = ~ дт+Сь, Г аул(т) о Ф(т) (6.23) где Сье — — Сь(Фе) — постоянные, равные значениям в точке Фо ЕТ искомых функций Сь(Ф), 1 = 1, н. При построении общего решения неоднородного ОДУ (6.1) значения Со (й = 1, н) можно выбрать произвольно.
В самом где Ф~($) — определитель, полученный из вронскиана заменой в нем й-го столбца столбцом (0,0, ...,9(1)) . Интегрируя (6.22) в промежутке Т от 1е еТ до 1, получаем 181 б.2. Обнхе решение неоднородного уравнения деле, подставив (6.23) в (6.19), найдем о $ п у(1) = ~ул(1) / Ит+ ~ Сьеуь(1) (6 24) 2 'ттт'(т) ~о Взяв С~я =0 (к =1,п), получим частное решение неоднородно- го ОДУ (6.1) (6.25) Тогда (6.24) с учетом (6.25) можно записать в виде (6.17), т.е. в силу теоремы 6.3 (6.24) дает общее решение неоднородного ОДУ (6.1). При решении для ОДУ (6.1) задачи Коши с начальными условиями уб ~)($е) = уе (т' =1,п), полагая в (6.24) Ф = ба, придем к СЛАУ вида (6.16) относительно постоянных Се (к = = Т, и), которая, как показано при доказательстве теоремы 6.2, имеет единственное решение. Описанная процедура нахождения решения неоднородного ОДУ (6.1) предложена Ж.
Лагранжем. Она аналогична иетаоду вариации постаояннмх построения решения неоднороднои системы ОДУ вида (6.4) (см. 5.4). Чтобы отличать зту процедуру от указанного метода, назовем ее метподом Лагранжа вариации постполнных. Пример. Найдем методом Лагранжа вариации постоянных общее решение ОДУ дзу 3 дзу 6 у д1з 1 ' д12 + ~г ',тт ~зу 1 + у с переменными коэффициентами, определенными и непрерывными при 16 Й'1 (0). Несложно проверить, что функции ут(т) =т, уз(т) =т > уз(т) =т 182 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ являются решениями соответствующего однородного ОДУ в промежутках Т1 = ( — оо, 0) и Тг = (О, +со). Убедимся, что эти функции образуют фундаментальную систему решений однородного ОДУ в укаэанных промежутках. Действительно, вронскиан Ф(з) = = 22 З4 0 П Е К'1 (0).
Заменяя столбцом (О, О, Ф/(1+ Д) последовательно столбцы вронскиана,получаем 1У1(з) = -; И~г(з) = — ~' И'з(з) = 214 4з 1+ 1Л' 1+ Л' 1+ 1Л' Для нахождения Сз(Ф) (я = 1, 2, 3), согласно (6.22), имеем три дифференциальных уравнения пС1(З) . Зг 11Сг(г) З 11СЗ(З) 1 <зз 2(1+ 14) 414 1+ 1Л й 2(1+ 14) Интегрирование этих ОДУ дает Зз/2 Зг Зз/2 С (4) — + + 21/2 1п( 1+ 11/21 + С~1.
5 4 3 2 Сг(З) = гзд+З 221(2+21п(1+11(г)+Со. 2 3 Сз(З) = 2112 — 1п(1+ 2112) + Се Общее решение исходного неоднородного ОДУ примет вид У(З) = С1 (З) Ь+ Сг(З) З~ + Сз(З) З~. у1(г) у2(2) уз(г) у1(4) уг(З) уз(2) У1(4) Уг(з) Уз(4) г зг зз 1 22 342 0 2 61 162 6.3. Понинсеиие порядка линейного ОДУ 6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения В некоторых случаях порядок линейного однородного обьпсновенного диф4еренииального уравнения (ОДУ) (6.6) может быть понижен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
