VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид у(с) = С1 сов21+ Сввш21. Правая часть неоднородного ОДУ представляет собой сумму двух функций специального вида. Для д1(с) = Ф частное решение неоднородного ОДУ ищем в виде у„1($) = Аб+ В.
Подставляя в ОДУ, находим 4АФ+4В = 1, откуда, приравнивая 206 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ коэффициенты при одинаковых степенях $, находим А = 1/4, В = О. Частное решение у,2(8), соответствующее второму слагаемому 92(Ф) = е~~соз2, ищем в виде у,2($) = е~(Ссоз2+ + РзшФ). Подставляя в ОДУ и сокращая на е2~, находим (7С + 4Р) соз 2+ (7Р— 4С) зш 2 = О. Приравниваем коэффициенты при соз2 и зш8 нулю (например, в силу линейной независимости этих функций) и получаем из системы двух уравнений с двумя неизвестными С = 7/65, Р = 4/65. На основании теоремы 6.6 делаем вывод, что частным решением рассматриваемого ОДУ будет 2$ у,(2) = у„1($) + у,2($) = — 2+ — (7соз2+ 4з1п2). 4 65 В итоге общее решение ОДУ имеет вид 2Ф у(Ф) = Ст соей+ Сззшй+ — 2+ — (7созт+4з1пт).
4 65 тп — + и — + ку = асоза~$. д'у ду д22,Ц (6.59) Здесь Ф вЂ” время; у — перемещение материальной точки массой т; и — коэффициент сопротивления движению, пропорционального скорости ду/Ж точки; к — жесткость упругой связи; ы и е — частота изменения и амплитуда вынуждающей внешней силы. Выясним, существует ли частное решение ОДУ (6.59) в виде периодической функиии, и если существует, то попытаемся найти его. В силу принципа суперпозиции искомое решение будет действительной частью функции у(т), удовлетворяющей неод- Пример 6.3. Колебания линейного осииллятора, на который действует периодически изменяющаяся вынуждающая сила, описывает линейное неоднородное ОДУ втиороео порядка с поспзоянными коэутутиииентпами 6.6.
Структура чиетлого решекнл леоднородвого ОДУ 207 народному ОДУ д29 др . т тп — + Ь вЂ” + йр = дек" И22 сМ (6.60) Замена по формуле Эйлера тпригонометпричесних функций энс- поненциальной функцией в ряде случаев оправдана и приводит к менее громоздким вычислениям. Будем искать функцию 1т(8) в виде р(т) — Р ети (6.61) Продифференцировав (6.61) дважды, подставив выражения для функции и ее производных в (6.60) и сократив на отличный от нуля при любых ФЕЙ множитель е'"", находим где г /ко с= , Ы= (Ь ттКО2)2+ й2Ы2т (Ь тП )2)2+ Ь2(>2' Подставив теперь р, в (6.61) и выделив действительную часть, получаем решение ОДУ (6.59) в виде периодической функции Веу(е) = Ве(д(с- Ы)е™) = = Ке(д(с- тд)(совтоФ+ т в1пат1)) = = я(ссоеатФ+ де1п(Л) = Асов(тоФ вЂ” ат)) где Ьот <р = агс$6, к — ттцо2 Найденное решение имеет тот же период Т = 2тт/ат, что и вынуждающал сила.
Зависимости А и у от ы являются амплиптудно-частпотпной и фазочастпотпной харантперистпинами линейного осциллятора и для различных значений коэффициента сопротивления Ь схематично изображены на рис. 6.3, а, б соответственно. 208 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ и О 1%«и д Рис. 6.3 Характеристики изображены для значений Ьг > Ь| > Ье = 0 коэффициента Ь. Вопросы и задачи 6.1. Найти частное решение неоднородного ОДУ, если известно общее решение х(з) соответствующего однородного уравнения: «)гх «1х 1+ 2 а) — + 2 — 182 — х = —, х(1) = С«31пз+ Сг(созз+ 231пг); «132 «1« сов з ' б) Ф вЂ” — 4Ф вЂ” +6 — =2, х(2) =С«+Сгг +С33; г" х "* "* 3 3 4. ,13з «132,1« в) 4 + 4 х «1п«р х(«) = С«3+ Сг«1пз+Сз(1п«) 21'х с1х г «1«3 «14 6.2.
Найти общее решение ОДУ, если известно одно из его частных решений х,(з): «12х «1Х а) — +2 — 481 — Х=О, х„(Ф) =зш ,132 12 б) Ф вЂ” — (24+ 1) — + (2+ 1)х = О, х,(Ф) = е; «12Х «1х «132 ««з г 12х 1х в) (1+ 22) — — 22 — + 2х = О, х,(3) = 2. «2 «12 209 Вопросы и задачи 6.4. Составить линейное однородное ОДУ с постоянными коэффициентами, зная его общее решение: а) х(с) =С1+Сгз+Сзс +Сзс ' б) х(З) = С1 ег'+ Сг1ег~ + Сз., в) х(з) = С1 з1пбз+ Сгсозбс+ Сззз1пбз+ С4зсозбз; г) х(с) = С1е ~'+Сгсе ж+Сззге г'. +4х = 17зшз+Зе', — — 5— йг й огх ох + 5х = е соя 31; — — 2— йг й ~1гх Нх — +2— йг й +х=Ззе з+2е ~; соз 2с.
6.6. Решить уравнения Эйлера: б) 4с — +88 — +х=О; г пгх пх йг Ыгх Ых г) 3 — +с — +х=О; йг й дх +$ — — х=О; й сЬ вЂ” 4Ф вЂ” + 6х = 0; й Их — 1 — +2х= О; й Их~ х(1) =О, — ~ =2. й п=з 6.3. Найти общее решение ОДУ: (3. Я,1 а) — — 6 — +12 — — 8х = 0; йз йг й Изх Игх с(х в) — — 2 — — — +2х=О; йз йг й ~4 . ~з д) — +4 — +6 — +4 — +х = 0; йя йз йг й 6.5. Найти общее решение ОДУ: Игх а) — +х = зашя; йг б) 4гх йх в) — — 4 — + Зх = Фе', г) йг й <1гх Нх д) — +2 — +х=Зе ~; е) йг й с(гх Их ж) — +5 — +4х =8зг+3+2 йг й г пгх а) $— йг , пгх в) с йг го* д)з— йг Йзх б)— йа ,~з .
г)— йз ,14х е)— й4 о' х +5 — +4х=О; йг 8гх ох + — — 2 — =0; йг й ,~з — 2 — =О. йз г10 6. ЛИИЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 6.Т. Шарик массой т может скользить без трения в трубке, вращающейся с угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси (рис. 6.4). На шарик действует упругая сила со стороны пружинки жесткостью Й, равная нум лю, когда шарик занимает положение О т х = хе.
Найти закон движения х(1) шарика во времени Ф при начальных Рис. 6.4 условиях: х(0) = хе, х'(О) = О. 6.8. Решить ОДУ о29 1 ау 9 — + — — + — =0 ,Ц2 1 Щ1 12 и построить график решения. Как ведет себя мгновенная частота во времени 1? 6.9. Для ОДУ (6.49) найти соотношения между начальными значениями $ = О, у(0) и 9'(О), соответствующие каждому из трех типов интегральной кривой, изображенной на рис.
6.1, а. 6.10. Найти общее решение ОДУ хи+ 10х'"+ 9х' = 61+ 8соя1 — в1п1. Т. Н'УЛИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7.1. Приведение уравнения к двучлениому виду рассмотренные в 6.5 ураененил Эйлера, Лагранжа и-го порядка и Чебышева удается привести к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) с постоянными коэффицненпыми, однако зта возможность является скорее исключением, чем правилом.
В общем случае даже при и = 2 нельзя записать решение линейного однородного ОДУ в»порога порядка в явном виде. В то же время эти уравнения обладают рядом свойств, позволяющих сделать качественные выводы о поведении их решений, что может быть весьма полезно при решении прикладных задач. Объектом исследования будет линейное однородное ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами — +а1($) — +аз(ь)р = О, д'р ,цг,ц (7.1) где функция а1(ь) непрерывно дифференцируема, а функция аг($) непрерывна в некотором промежутке Т числовой прямой и.
Покажем, что (7.1) при помощи замены (7.2) р(~) = рИ)Ф) где»(ь) — повал искомая функция, можно привести к виду, не содержащему первой производной д»/Ж, если должным образом выбрать функцию ~р(1). Подставив (7.2) в (7.1) и опустив обозначение аргументна 1, запишем аг» г йр ~ а» адар йр <р — + ~2 — +а1~р) — + ~ — +а1 — +аг~р)» = О. (7.3) дИ ~ д1 )д1 ~юг д1 212 7. НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если в (7.3) приравнять нулю козффициент при производной ««»/й, то получим ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными 2 — +а«(Ф)«р = О, «с«р й частным решением которого будет с 1 1' «р(с) «'= ехр( — — / ас(т) «1т). 2,/ (7.4) Тогда вместо (7.2) можно написать с 1 ( у(с) = »(с) ехр ( — — / ас (т) дт) .
2,/ (7.5) Подставляя (7.4) и равенства д«р 1 «1г р ас <Ьр р да «аг 1 да й 2 ' йг 2 й 2 й ~4 2 й/ в (7.3), получаем дг» ~ аг — + ( аг — — ~ — — — » = О, йг 1 4 2'й~ или, обозначив а 1 да« Ч(г) =аг- — ' — — —, 4 2 й' (7.6) — +«7(с)» = О. д» йг (7.7) Ясно, что функция «7(с) определена и непрерывна в промежутке Т.
приведем исходное ОДУ (7.1) к так называемому двучяенному виду 7.1. Приведение урввиеиив к двучвеииоиу виду 213 Пример. Сопоставляя ОДУ игу 41у / гг 11 — +г — + Г--(у=О пгг (й ( 4 2( с (7.1), устанавливаем, что в данном случае а1($) = Ф и аг(1) = = гг/4 — 1/2. Эти функции определены и непрерывно дифференцируемы на всей числовой прямой К. Используя (7.4), при го — — О находим гг ~р(Ф) =ехр( — — тйт) =ехр( — — ) =е ' 7 . 241 4 Для приведения исходного ОДУ к двучленному виду при помощи (7.6) вычислим гг 1 гг 4(г) = — — — — — — — = -1 4 2 4 2 и, согласно (7.7) запишем Н и — — я =О. ,цг Общее решение этого линейного однородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами будет г(Ф) = С1е +Сге ~, а исходного уравнения (с учетом (7.2) и найденного выражения для функции ~р($))— у(1) =е р74(С1е4+Сге 4).
ф Отметим, что ОДУ (7.7) можно также проинтегрировать в элементарныхфункциях, если д(г) =й/гг, где й=сопвг. Вэтом случае (7.7) является частным случаем уравнения (6.50) Эйлера при в=2 и а„1=а1=0, аг=й. 214 7. НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Каждому из уравнений (7.1) и (7.7), очевидно, удовлетворя ет тождественно нулевое реп«ение ОДХ, которое обычно нг зывают таривиальным (от латинского слова $«1ч1а11в — обь|к новенный). Если же решение ОДУ в некотором промежутке Т тождественно не равно нулю, то такое решение будем пазы вать негпривиальным в этом промежутке. Применительно к ОДУ (7.7) в двучленном виде нас будут интересовать нетриви альные решения.
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке Напомним, что значение 8, аргументпа г функции «(«), которое обращает данную функцию в нуль, т.е. «(Ф,) = О, называют нулем этой функции. Если функция «(1) в некотором промежутке ТСЖ числовой прямой Ж является решениемкакоголибо обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) н-го порядка, то она в этом промежутке имеет производные «ОО(1) (Й= 1, и) и в охрестпностаи тпочни 1, йТ может быть приближенно представлена многочленом Тейлора При «'(«,) ф О точка 1, будет простым нулем этого мно гочлена, в противном случае — кратным (при н ) 2) Под нулем ревени.в «(«) ОДУ' в дальнейшем будем понимать такую точку Ф, й Т, что «(Ф,) = О, но «'($,) у~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
