VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 31
Текст из файла (страница 31)
К настоящему времени теория устойчивости по Ляпунову является общепринятой и применяется во многих областях естествознания. Например, в механике ее используют при анализе устойчивости полета снаряда, стабилизации движения спутника, устойчивости механических систем с вращающимися массами (роторами), движения твердых тел с упругими элементами и полостями, содержащими жидкость, и т.д. В последнее время теорию устойчивости начали применять также при решении задач химической кинетики, экологии, экономики и др. Дадим основные понятия и определения, а также приведем примеры использования этой теории.
Рассмотрим нормальную систпему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), записанную в векторной форме вида (1.4): 236 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Естественным предположением относительно системы (9.1), является требование существования и единственности ее рещениа. Теорема 4.1 Коши гарантирует это на некотором отрезке (Фо — Ь, Фв + Ь], 0 < Ь < оо. В определениях, сформулированных ниже, предполагается, что решение этой системы определено при любом 8 > Фв, т.е. решение может быть продолжено на весь промежуток [хе, +ос). Однако всех условий в теореме Коши, вообще говоря, не достаточно для того, чтобы решение системы (9.1) было определено во всем этом промежутке. Приведем формулировки двух теорем, в которых гарантирована определенность решений системы (9.1) для любого 1 Е К. Теорема 9.1.
Пусть функции 1; (1 = 1, и) определены и непрерывны при $ Е К, у Е К". Тогда, если функции 1, (1 = 1, и) обладают свойством и= ~ )р ~, 1=1,п, 1=1 1;(с, у) = 0(щ), то решения системы (9.1) определены при любом $ Е К. Напомним, что свойство 1;(с, у) = 0(щ) при ш -+ оо означает существование ненулевого конечного предела 1пп ' ' = сЕК~(0). Обозначим Теорема 9.2. Если существует непрерывнэл при т > О функция 1(г), такая, что несобственный интеграл 1 является расходящимся а Щ < Ь(г) (1 = 1, и ), то решения системы (9.1) определены при любом $ Е К.
Ф 237 9.1. Основные определения н понятен Например, для линейной системы Ну/сМ = А(1)у условия обеих теорем будут выполнены, если предположить, что элементы матрицы А(1) являются непрерывными и ограниченными функциями 1. В дальнейшем будем предполагать, что для системы (9.1) выполнены условия одной из этих теорем. Определение 9.1. Решение у,(8) = д($) систпемы (9.1), определенное при 1 > $о, называют устпойчивьам по Летунову, если для любого достаточно малого я > О существует такое число б = Б(с, 19) > О, что все решения у(1) этой системы, удовлетворяющие условию ))у(1о) — д(1о))) < б, определены при 1 > 1о и для них выполнено неравенство (9.2) Определению 9.1 можно дать следующую геометрическую интерпретацию: решение у.(8) = д(1) системы (9.1) устойчиво по Ляпунову, если график функции у($) = ))у(1))), соответствующий любому решению 9(т) у(1) этой системы, достаточно близкому к у,($) при 99) = 1о, целиком заключен в сколь а угодно узкой полосе шириной 2е, построенной вдоль графика функции д(1) = ~~д(1))~ (на О та т рис.
9.1 такая полоса заштри- Рис. 9.1 хована). Определение 9.2. Решение у,(Ф) =д(а) систпемы (9.1) называют асимптпотпичесни устпот1чивьам, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, при ))у(1о) — д(1о))) < 6(с,йо) выполнено условие (9.3) 1)ш Цу(1) — д(1)Ц =О. Дополнительное условие означает, что любые решения системы (9.1), мало отклоняющиеся от д(1) в начальный момент времени $о, с ростом Ф неограниченно приближаются к д(Ф). 238 О. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Определение 9.3. Решение у,($) =д(1) системы (9.1) называют неустойчивым по Л*пуноеу, если для некоторых е > О и $о и любого б> О существуют решение У=С($) этой системы и момент времени Ф~ = 3~ (б, е) > 8о, такие, что 9 С(Фо)— -д(йоЦ <б, а оС(й~) — д(й~)(~ >е.
Геометрически это означает, что если решение д(Ф) системы (9.1) неустойчиво по Ляпунову, то среди всех решений этой системы найдется хотя бы одно даже достаточно близкое при $=$о к д($) решение, котороевмоментвремени 3~ >Фо пересечет стенку трубки (см. рис. 9.1) с выбранным фиксированным радиусом е и выйдет за ее пределы. Пример. Часгпным решением ОДУ ау/сМ = йу (й = сопвФ), удовлетворяющим начальному условию у(Фо) = уо = О, будет гаривиальное решение у,(1) = д(Ф) =О ~й Е Ж. Если же уо ф О, то решением этого Оду будет у(Ф) = уо е"О 'ь1.
При й < О решение д($) ге О будет, согласно определению 9.1, устойчивым по Ляпунову, так как при 8 > 1о и ~уо~ < <б=е !У(й) — д(й)! = ~уое"О ~ь1 ~ < 1Уо! < е Отметим, что в данном случае значение б зависит лишь от выбранного значения е и не зависит от Фо. Если й<О,то 1пп !уо~е"О ь'1 =0, $-++со и в силу определения 9.2 решение д(Ф) = О асимптотически устойчиво. При й > О для некоторого фиксированного значения е > О и любого б, О < б < 2е, можно указать такой момент времени 1 2е 4д >1о+ — 1п — > Со, что при б/2 < )уо~ < б для решения у(й) =уое"О "1 будет выполнено неравенство ~у(Ф~)~ > е. В самом деле, ~у(й~) ~ = !Уо е"1" "1~ > !уо/ е'"1 '~ 1 > — — = е.
2 б 239 9.1. Основные определении и понлтил Таким образом, при и) О решение д($) ыО рассматриваемого ОДУ, согласно определению 9.3, будет неустойчивым по Ляпунову. 4" Для исследования устойчивости решения у„($) = д(Ф) системы (9.1), которое имеет координатные функции д1 (Ф), ..., 9„(1), целесообразно преобразовать ОДУ этой системы к новым переменным х|($) = у1(Ф) -д1($), ..., х„(Ф) = у„(Ф) -д„($), являющимся координатными функциями векторной функции х(е) = = (х1(й), ..., х„(й)) . Такое преобразование равносильно замене в (9.1) (9.4) Подставляя (9.4) в (9.1) и учитывая, что у, = д(й) — решение системы (9.1), получаем Обозначая и (Ф, х) = у($, х+д(8)) -у(Ф, д(Ф)), окончательно имеем — = и (й, х).
Их Ий (9.5) Входящие в нормальную систему (9.5) ОДУ называют уравнениями возмущенноео движения. Они имеют очевидное решение х,(1) ив е О. Решение у. (Ф) = д(Ф) системы (9.1), устойчивость которого подлежит анализу, называют иевозмуи4енным движением, а переменные хм ..., х„— возмущениями. Отметим, что устойчивость по Ляпунову решения у,(е) = = д(1) системы (9.1) равносильна устойчивости решения х,(1) ал 0 уравнений возмущенного движения.
Составление уравнений возмущенного движения — первый этап при анализе устойчивости невозмущенного движения. (9.6) имеет Решение у~(2) = вшФ, уг($) = совв. Примем его за невозмущенное движение Сделав в исходной системе замену переменных у~ = х~ + зш уг = хг+ совг, получим, согласно (9.4) и (9.5), систему уравне- ний возмущенного движения дх~ хП й Нх~ — = хгхг. й Пример 9.1. Движение математического маятника длиной в однородном поле сил тяжести при постоянном значении ускорения 9 свободного падения описывает ОДУ второго порядке его 9 — + — вшу=О, йг где ~р — угол отклонения маятника от вертикали.
Запишем уравнение движения в виде системы (9.1), обозначив <р = Уг. ф1 = Уг~ й оуг 9 — = — — зшуь й (9.7) Эта система имеет решения 240 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Пример, Нормальная система второго порядка оу) — = -у, + вшг+ сов $; й пуг — = угуг — у~ созг- угзшг+зш$ созФ вЂ” вш й у,(в) = (у~(Ф), уг($)) = (зшФ, совФ) .
д„(г) = (дд(Ф),92($)) =(О, 0) =0; р(Ф) = ( (Ф), (Ф))т — = (я, 0)т. (9.8) (9.9) 9.2. Устойчивость системы линейных ОДУ 241 Если за невозмущенное движение принять решение (9.8), то уравнениями возмущенного движения являются сами уравнения движения (9.7). Если же за невозмущенное движение принять решение (9.9), то после замены переменных у1 = х1+ к, уг = хз получаем (с учетом равенства втп(хт+ к) = -втпх1) уравнения возмущенного движения дхз у . — = — вшхь ас 1 дх1 х2~ Ж 9.2.
'Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений Рассмотрим нормальную неоднородную систпему — =А(1)у+У И) Иу д1 (9.10) из и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с переменными козффициентпами и соответствующую ей однородную систему ОДУ Их — = А(1) х. й (9.11) Будем предполагать, что элементы матрицы А(1) размера и и вектор-функция ~т($) непрерывны при любом $ > $в.
Определение 9.4. Нормальную неоднородную систпему (9.10) линейных ОДУ с переменными коэффициентами называют устпойчивой (неустпайчивай, если все ее решения у(ь) устпойчивы (неустпойчивы) по Ляпунову. Определение 9.5. Нормальную неоднородную систпему (9.10) линейных ОДУ с переменными коэффициентпами называют асимптпотпически устпойчивой, если все ее решения у(ь) асимптпотичсски устпойчивы.
242 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Замечание 9.1. Поскольку нормальная однородная система (9.11) линейных ОДУ является частным случаем неоднородной системы (9.10), то определения 9.4 и 9.5 применимы и в этом частном случае. Теорема 9.3. Для устойчивости нормальной неоднородной системы (9.10) линейных ОДУ с переменными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение х„= 0 соответствующей ей однородной системы (9.11). м Сначала докажем необходимость. Согласно определению 9.4, если система (9.10) устойчива, то все ее решения устойчивы по Ляпунову. Пусть д„(1) = д(1) — одно из таких решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
