VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Покажем, что любое решение я(4) ОДУ (7.7) имеет 'При этом 4($) ж 1/(41~) ни на каком интервале в промежутке [го, +оо). м Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что при д(г) < 1/(44г) 'ог Е [ге, +со) решение я(4) ОДУ (7.7) имеет больше чем один нуль, т.е. существуют точки 41, ггпу [ге, +со), в которых я(41) =«(гг) =О.
Наряду с ОДУ (7.7) рассмотрим уравнение (б.50) Эйлера при п =2, а„1 = а1 = О, аг =сопнС у40, 4 > 0 7.3, Теорема о чередоааняя нулей. Теоремы сраанвянл я Клевера 221 бесконечное множество нулей. Заменой а = ет (см. 6.) при- ведем (7.10) к линейному однородному ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами агх ах . — — — +агх = О. дтг Ьт (7.11) Его характеристическое уравнение Л вЂ” Л+аг = 0 имеет при 2 аг > 1/4 комплексно сопряженные корни 1 . 1 .2 Лиг= — ~г~/аг — —, 1 =-1. 2 у' 4' Это означает, что любое решение х(т) ОДУ (7.11) является колеблющимся, имеющим на числовой прямой бесконечное множество нулей. При этом бесконечное множество нулей этого решения будет и в промежутке 1 = (тв, +оо), где тв = 1пгв, а в соответствующий 1 промежуток [$в, +оо) попадет бесконечное множество нулей решения х(Ф) ОДУ (7.10), если аг > 1/4. Выбрав аг так, чтобы 1/4 < аг < (1+ е)/4, получим — «д(1).
аг 1+в сг 4ег (7.12) Заметим, что при аг < 1/4 уравнение Эйлера (7.10) не имеет колеблющихся решений, так как все решения этого уравнения являются линейными комбинациями решений х~(г) =$2 и г г+ 1~ о г-о х (г) — е2 чг Теорема 7.4 была доказана немецким математиком А. Кнезером (1862-1930) и носит его имя, При выполнении условия (7.12) между каждой парой соседних нулей решения х(Ф) уравнения (7.10), а таких пар бесконечное множество, будет лежать, согласно теореме сравнения, нуль любого решения х(1) ОДУ (7.7). Это доказывает вторую часть утверждения теоремы.
в 222 Ч. НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Дополнение 7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений Исследование расположения нулей решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) является составной частью качественного анализа этих уравнений.
Изложенные в 7.3 результаты о нулях решений линейного однородного ОДУ вшорого порядка стали к настоящему времени классическими и вошли во многие учебники по дифференциальным уравнениям. Однако не следует думать, что анализ расположения нулей решений ограничен рамками линейных ОДУ. В качестве примера рассмотрим нелинейное ОДУ второго порядка — + — =О, $>0.
дгх д(х) дг2 12 (7.13) Предположим, что функция д(х) удовлетворяет условию Лившица и неравенству хд(х) > 0 при х ф О. Заметим, что при д(х) = а2 х (а2 = сопг1) получаем частный случай (7.10) уравнекцл (6.50) Эйлера. В 7.3 было показано, что любое решение ОДУ (7.10) является при а2 > 1/4 колеблющимся, а при а2 < 1/4 — неколеблющимсл. В случае а2 = 1/4 у этого ОДУ наряду с неколеблющимся решением х1($) = ~6 существует еще решение х2(Ф) = ~Д 1пг, которое является также неколеблющимся.
Поскольку х1(1) и хг($) образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.10) Эйлера, то любое решение х($) = (Сь+ С21п1)~Д этого ОДУ будет неколеблющимся при аг = 1/4. Таким образом, значение а2 = 1/4 является в определенном смысле критическим. Приведем формулировки теорем, относящихся к нетривиальным решениям ОДУ (7.13). Теорема 7.5. Все нетривиальные решения ОДУ (7.13) являются колеблющимися, если при г > 0 неравенство д(х) 1 г — > — +— х 4 1п(х~ 223 Вопросы и задачи выполнено для всех ф ) .М, где М вЂ” достаточно большое положительное число.
Теорема 7.6. Все нетривиальные решения ОДУ (7.13) являются неколеблющимися, если при О < е < 1/4 неравенство выполнено для всех ~х~ > М, где М вЂ” достаточно большое положительное число. В частности, ив теоремы 7.5 следует, что все решения ОДУ хЗ= + 2 =О (В(х)=х )~ отличные от тпривиадьного решения х(с) = О, являются колеблющимися, поскольку неравенство х2 ) 1/4+ е/1п ~ х ~ выполнено для всех ~х ~ > М, где М > Π— достаточно большое число.
Вопросы и задачи 7.1. Описать качественное поведение решений следующих ОДУ с(2х ~ 2 Ь| а) — +~а + — )х=О, $)Хо>О; ,ц2 ~ ~2) ~Рх б) — + ~Ах = О, Ф >~ О; <Рх 1 в) — + — х=О, ~>О. ЫВ Для уравнения а) рассмотреть случаи Ь > О и Ь< О. 8. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 8.1. Основные понятия и определения Запишем нормальную автпономную систпему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в векторной форме: дх — = У(х) ~й (8.1) где х(Ф) = (хт($), ..., х„(т)) — вектор-функция скалярного аргумента Ф с координатными функциями хт(Ф), определенными в некотором промежутке Т С К числовой прямой К, а у(х) = (Ях), ..., Ях)) — векторная функция векторного аргументна х с координатными функциями ~;(х), т = 1, ть, определенными и непрерывно дифференцируемыми в некоторой области Р С К" п-мерного фазового простпранстпва К".
Отметим, что любую нормальную систему ОДУ вида (1.3) можно свести к автономной вида (8.1), если обозначить = х„+ы т.е. увеличить число неизвестных функций на единицу. Естественно, такой прием приведет к увеличению на единицу и порядка системы ОДУ. Рассмотрим некоторое реитение х(ь) = д($) системы ОДУ (8.1) и непрерывно дифференцируемую в расширенном фазовом простпранстпве скалярную функцию и(Ф,х). В точках (Ф, хы ..., х„) Е К"+', принадлежащих интпегральной кривой, соответствующей решению х = д($), значения функции и(1, х) будут зависеть только от значений аргумента 8, т.е. и(т, д(ь)) = о(т). Продифференцируем это тождество по 1, учитывая, что х = д(й) — решение системы (8.1), и запишем 225 В.1.
Основные оояятия и определения или в скалярном виде — = ( — +~ — Яхь, ...,х„)) ди ди " ди ь=ь (8.2) Выражение йь ди " ди дх; ь=ь (8.3) называют полной производной по ь' функции и(ь', х) в силу системы (8.1). Если и = и(х), то ди/д1 = О и (8.3) принимает вид — — ~ь(хь, ..., х„) = (8гас1и(х), у(х)), (8.4) аи ди д1 дх; ;=1 где (а,Ь) обозначает сгпандартпное скалярное произведение а и Ь К" (1Ч]. Теорема 8.1, Для того чтобы функция и(х) была первым интегралом системы (8.1), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в области Р соотношению — Яхь,..., х„) = (8гаь1и(х), у(х)) = О.
(8.5) ди ь=ь 8 — 9306 Определение 8.1. Функцию и(х) = и(хь, ...,х„), определенную и непрерывную вместе со своими частными производными в некоторой области Р изменения фазовых переменных хь, ...,х„, называют первььм инпьеералом системы (8.1) в области Р, если при подстановке в и(х) произвольного решения х = д($) этой системы, траектория которого целиком расположена в Р, получим постоянную относительно ь' величину. Иными словами, функция и(д(ь)) зависит только от выбора решения д(ь), но не от независимого переменного ь'.
226 В. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ < Пусть и(х) — первый интеграл системы (8.1). Рассмотрим произвольную точку хе Е Х1. Ксан х(1) = д(Ф) — решение системы (8.1), удовлетворяющее начальному условию д($е) = = хе Е 11, то, согласно определению 8.1, е($) = и(д(1)) = сопяФ и сЬ/ИФ: — О. В соответствии с (8.2) производная Ие/Иг совпадает с полной производной по 1 функции и(х) в силу системы (8.1) на решении д(Ф). Поэтому в точке хе йь~ й~~ т.е. в области Р выполнено равенство (8.5). Докажем обратное утверждение.
Пусть выполнено (8.5) и х(Ф) = д(1) — решение системы (8.1), фазовая траектория которого лежит в Р. Тогда с учетом (8.5) имеем —,~да>) - (~ — "у;< )) / = о, т.е. и(д(Ф)) не зависит от $ и, следовательно, в соответствии с определением 8.1 и(х) — первый интеграл системы (8.1).
> Условие (8.5) имеет простой геометрический смысл. В любой точке х, Е Р вектор 8гайи(х,) градиента скалярной функции и(х) ортогонален к ее поверхности уровня Я, задаваемой уравнением и(х) =и(х,) [Ч]. Из (8.5) следует, что в каждой точке х, Е Я вектор у(х,) касается этой поверхности. Поэтому фазовая траектория у, проходящая через точку х, Е Е Я, лежит на поверхности Я Рис. 8.1 (рис.
8.1). Пример. а. Покажем, что система уравнений ах1 г . ахг — = — хг + я1пх1, .— = — хг соя х~ аг аг ВЛ. Основные понятия и определения 227 имеет первый интеграл и(хы хз) = Зхз яшх1 — х~з. Используя (8.4), вычислим оо ох2 дх1 зс1хз — = 3 — яшх1+Зхзсоях1 — — Зхз — —— й й сМ ссс 3 = -Зхзяшх1 сов х1 — Зхз созх1+ Зхз яшх1. соя х1+ Зхз соя х1 = О, 3 что отвечает определению 8.1 первого интеграла системы. Равенство с1н/ссс = О означает, что вдоль любой фазовой траектории для данной системы функция и(х1, хз) сохраняет постоянное значение.
б. Известно, что движение материальной точки массой пс в потенциальном поле можно описать, согласно второму закону Ньютона, уравнением ссох сП пс — = - —. с1сз сЬ Здесь Ф вЂ” время; П(х) — потенциал поля, зависящий в данном случае только от положения материальной точки, определяемой ее координатой х. Сила, действующая на точку, равна -дП/Ых и при отрицательном значении производной направлена в сторону возрастания координаты х. Вводя скорость с = дх/сй материальной точки, исходное ОДУ можно свести к нормальной автономной системе сЬ Й~ ЙП вЂ” =с, "ш — = — —.
(8.6) сМ ссс с1х Первый интеграл этой системы имеет вид Ю и(х, е) = пс — +П(х) = сопзФ 2 и отражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки в потенциальном поле постоянна. В самом деле, с учетом системы (8.6) получаем йи с1п дП Мх у сЬ сП~ — =ше — + — — = е~пс — + — ) =О, с1с И с1~ с1с ~ с1с ссх ) т.е. в силу определения 8.1 функция и(х,и) является первым интегралом системы (8.6). и 228 а пеРВые интеГРАлы 8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов Пусть правая часть у(х) нормальной автиономной системы (8.1) обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) определена в некоторой области Р С К" изменения фазовых переменных хь, ..., х ь. Определение 8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
