VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ВеЛ (О, у = 1,2,3. В силу теоремы 9.5 невозмущенное движение х1(Ф) = х2($) = хз(4) = О асимптотически устойчиво. Рис. 9.2 Пример 9.2. Три электрических заряда А, В и С величиной 49, 49 и — д соответственно расположены как показано на рис. 9.2. Заряды А и В занимают фиксированное положение на оси Ох, а заряд С может перемещаться вдоль этой те "е оси, и его положение характери- 44 -о 4о зует координата х. Найти поло- А О С В н жение х, равновесия заряда С и исследовать зто положение на устойчивость. Полная энергия взаимодействия зарядов, определяемая на основе закона Кулона, 250 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения заряда С, масса которого принята равной единице, запишем в виде дгх дУ дгх г х — — — или — = 169~то гг дх ' йг (тг — хг)г' Обозначим х1 = х, хг = дх/й и приведем ОДУ второго порядка к нормальной системе: пх1 пхг г — = хг, — = 169 то (9 22) й ' й (тг — хг)г Эта система имеет тривиальное решение х1(г) = хг(1) = О, соответствующее ее положению Раоповеспя, которое, в свою очередь, отвечает положению равновесия заряда С в начале координат (см.
рис. 9.2) на одинаковом расстоянии от зарядов А и В. Отметим, что хг(Ф) =0 означает, что в положении равновесия (х1 = О) скорость хг = дх/й заряда С равна нулю. Исследуем устойчивость положения равновесия системы, приняв указанное тривиальное решение за невозмущенное движение. Тогда система (9.22) будет состоять из уравнений возмущенного движения, а система уравнений первого приближения примет вид ох1 пхг я — =хг, — =16 — х1 — тз Характеристическое уравнение этой системы ! — Л 1 г Я г =О, или Л вЂ” 16 — г — — О, 169 /то — Л 'о имеет положительный корень Л = 49/ Я.
На основании теоремы 9.6 Ляпунова об устойчивости по первому приближению невозмущенное движение неустойчиво, т.е. неустойчиво найденное положение х, = 0 равновесия заряда С. 251 а4. Фуякави Ляпунова 9.4. <Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости Для исследования устойчивости А.М. Ляпунов разработал два метода. Первый метод Ляпунова основан на интегрировании системы уравнений возмущенного движения.
Второй, или прямой, метод Ляпунова не связан с возможностью интегрирования этой системы, а приводит к отысканию функций, обладающих определенными свойствами, и его часто называют также методом функций Л*пунова. Изложим основные понятия этого метода. Пусть система нз и уравнений возмущенного движения имеет вид (9.16). Рассмотрим некоторую скалярную функцию ъ'(х) векторного аргумента х = (х1,..., х„) при условии х1 <Н=сопвФ>О, 1=1 (9.23) считал в (9.16) время ~ >О. Будем полагать функцию К(х) непрерывной вместе со своими частными производными д$'/дх; (1 = 1, и) в области У, определяемой условием (9.23) и представляющей собой замкнутый шар радиуса 1/Й в фазовом пространстве й" (центр шара находится в точке (0,0,..., 0) ). При х=О функция У(х) обращается в нуль: Ъ'(0) =О.
Наряду с функцией Ъ'(х) будем рассматривать ее полную производную по 8 в силу системы (9.16) уравнений возмущен- Полученный в этой несложной задаче результат справедлив для любой системы электрических зарядов, в которой не действуют никакие силы, кроме сил электрического взаимодействия. Неустойчивыми являются все статические модели атомов, в которых ядра и электроны неподвижны. В связи с этим для построения устойчивой модели атома была предложена „планетарная модель", в которой электроны движутся вокруг ядер.
252 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ного движения." — — г";(х) = (8гаоу'(х), Р(х)), х е 11. (9.24) Л' дУ пз . дх; Введем ряд определений. Функцию $'(х) называют знаиоопределенноб (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она во всей области 0 за исключением точки х = О принимает значения одного знака (положительные или отрицательные), Чх Е 0 '1 (0). Функцию К(х) называют знакопостпоянной (постоянно-положительной или постоянно-отрицательной), если она принимает в области 0 значения одного знака, но может обращаться в нуль и при х ф О, т.е. 1'(х) > О (К(х) < О) 'ч'х е 0 '1 (0).
НапРимеР, фУнкциЯ К(хы хз) = хз1 + 2х~~ опРеделенно-положительная, а у = (х1 — хз)з постоянно-положительная, так как она обращается в нуль на всей прямой хз = хз. Функцию У(х) называют зиаиоперемеииой, если она в области 0 может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пример. Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения — = — х1 — хз+ х,хз, (9.25) ах 2 з з й дх1 2 2 з, — = хе+ Зх1хз — 4х|,' ~й Теорема 9.8 (теорема Ляпунова об устойчивости).
Если для системы уравнений возмущенного движения (9.16) возможно найти знакоопределенную функцию р (х), полная производная которой Ж~/й в силу этой системы есть знакопостояннал функция противоположного с К знака или тождественно равная нулю, то невозмущенное движение х,($) = О устойчиво. ф 253 9.4. Функннн Ляпунова считал, что невозмущенное движение х1(1) = хз(5) = О. В качестве функции У(х) примем определенно-положительную функцию У(х1, хз) = (хз~ + хзз)/2. Вычислим полную производную в силу системы (9.25): оУ Их1 ох2 2 2 5 — = х1 — + хз — = х1(хз + ЗХ1хз — 4х1)+ ~Й й й +х2( х1 хз+х1х2) = — (2х1 — хз) ~ (О. Функция 51У/й является постоянно-отрицательной.
На основании теоремы 9.8 Ляпунова об устойчивости невозмущенное движение Х1(1) = хз(1) к— л О устойчиво. Теорема 9.9 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы уравнений возмущенного движения (9.16) возможно найти знакоопределенную функцию У(х), полная производная которой дУ/й в силу этой системы есть знакоопределеннзя функция со знаком, противоположным знаку У, то невозмущенное движение х„(б) = О асимптотически устойчиво.
Пример. Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения ПХ1 3 5. 11Х3 3 — =2хз-х1, — =-х1-хз, (9.26) <Й ' <И имея в виду, что невозмущенное движение х1(5) = хз(1) = О. В качестве функции У (х) примем определенно-положительную функцию У(х1) хз) = (х, +хз)/2 и Вычислим полную производную в силу системы (9.26): оУ 11Х1 3 нх2 — =х1 — +2хз — —— й й сМ = х1(2хз — х1) + 2хз(-х1 — хз) = — х1 — 2хз ( О.
3 5 3 3 б б Таким образом, функция 11У/й является определенно-отрицательной, т.е. ее знак противоположен знаку функции У(х1, хз). 254 а элементы теОРии устОЙчиВОсти Поэтому на основании теоремы 9.9 Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущенное движение х~(Ф) = хз(у) = 0 является асимптотически устойчивым. ф Удовлетворяющие условиям теорем 9.8 и 9.9 функции У(х) называют функция нн Ляпунова. 9.5. Теоремы летаева и Ляпунова о неустойчивости Пусть дана функция У(х), х Е П, где Б — область, определяемая условием (9.23). Совокупность значений переменных х = (хм..., х„) из области П, удовлетворяющая неравенству У(х) >О, называют областью У> О, а поверхность У(х) =0— границей области У > О. Функцию УУ(х) называют определенно-положительной в области У > О, если во всех точках этой области она положительна и в нуль может обратиться только на границе этой области или вне ее.
Теорема 9.10 (теорема летаева). Если систпеиа уравнений возмущенного двнхеення (9.16) такова, что возможно найти функцию У(х), для которой существует область У > О, и если полная производная дУ/й в силу этой системы является определенно-положительной в области У > О, то невозмущенное движение х = О неустойчиво.
Функции, удовлетворяющие условию теоремы 9.10, называют функциями Чепьаева — по имени отечественного математика и механика Н.Г. Четаева (1902-1959). Пример. Покажем, что невозмущенное движение х~($) = = хг(1) = О, соответствующее системе уравнений возмущенного движения дх1 3 2 дхг — = х, + 2х~хг, — — — х~хз, ~И й (9.27) неустойчиво. аБ. теоремы четаева и ляпунова о неустойчивости 255 Рассмотрим функцию У(Х1, хг) = Х1 — хгг.
Полная произ- водная в силу системы (9.27) будет равна с1'у'/с11 = х31. Область У > 0 можно задать неравенством х1 > > хг (рис. 9.3). В этой области функция 11'т'/~й определенно-положительна. Таким образом, выполнены условия теоре- О мы 9.10 Четаева, т.е. выбранная функция х, У(х1, хг) является функцией Четаева, невозмущенное движение х1($) = хг(2) = = 0 неустойчиво. Рис.
9.3 Теорема Четаева о неустойчивости является обобщением двух теорем о неустойчивости движения, доказанных А.М. Ляпуновым. Приведем формулировку одной из них. Теорема 9.11 (первая теорема Ляпунова о неустойчивости). Если система (9.16) уравнений возмущенного движения такова, что существует функция У(х), полная производная которой ИУ/112 в силу этой системы является знакоопределенной, а сама функция У(х) в окрестности точки и = О может принимать значения одного знака с функцией о'у'/Ж, то невозмущенное движение х(Ф) = 0 неустойчиво.
Пример. Покажем, что невозмущенное движение х1($) = = хг(с) = О, соответствующее системе уравнений возмущенного движения с1Х1 2 г 3, — = Х1Х2 + Х1Х2 + Х1', ~й "Х2 3 3 Х2 Х1) (9.28) неустойчиво. Обобщение Н.Г. Четаева заключается в том, что он ослабил условия, налагаемые на функцию ИЪ'/сО: требуется только определенная положительность в области У > О, в то время как в теореме 9.11 требуется знакоопределенность во всей окрестности точки х = О.
256 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Рассмотрим функцию У = (х4~ + х~~)/2. Ее полная производная в силу системы (9.28) будет ду/Ж = хэ1х~~+х41+х4~ > О. Следовательно, выполнены все условия теоремы 9.11 и невозмущенное движение х1($) = хэ($) = О неустойчиво. ф В заключение отметим, что применение прямого метода Ляпунова основано на использовании функции У(х), однако к настоящему времени не известен общий способ построения функции Ляпунова, удовлетворяющей соответствующим теоремам. Поэтому не следует пренебрегать имеющейся информацией об исследуемой системе. Особенно полезны первые интегралы систпемы, так как нх можно использовать для отыскания функций Ляпунова или для исключения части переменных и уменьшения порядка системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
