VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем хг — — — х1 — х1 + С, г 1 з г 6 (10.24) где С вЂ” постоянная интегрирования. Отметим, что выражение п(х1, хг) = хг1+ хг г— хз1/6 является первым пптегралоае сисепеаеы (10.23). Фазовые траектории, которые проходят через седло, называют сепаратприсалап. Для нахождения уравнения сепаратрисы подставим в (10.24) координаты х1 = 4, хг = 0 положения равновесия системы (10.23), соответствующие седлу, и вычислим С = 16/3.
Тогда из (10.24) получим уравнение сепаратрисы г г 1 з хг+х1 — — — х1+ —. 6 3 Фазовый портрет системы (10.23) изображен на рис. 10.11. ХХэобразсаюп4ал точка стремится по сепаратрисе 1 к положению х1 = 4, хг = 0 равновесия при 1-+ хоо. х В области, ограниченной 1 сепаратрисой, все траек- о 4 х торин являются замкну- ! тыми и окружают положение равновесия х1 = =хг = О. Рис. 10.11 278 1а ОсОБые тОчки ИА ФАВОВОН плОскОсти Дополнение 10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций Нормальная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида <Ь ау — = -ах+ бху; — = су — Ьху, д1 сМ (10.25) где а, 5, с, 6 — положительные коэффициенты, была использована итальянским математиком В. Вольтерра (1860-1940) в качестве математической модели эволюции двух сосуществующих биологических популяций, особи одной из которых являются кормом для особей другой.
При помощи этой модели, называемой в математической литературе моделью „хищник— жертва", В. Вольтерра объяснил колебания уловов различных видов рыбы в Адриатическом море, имеющих одинаковый период, но сдвинутых по фазе. В (10.25) х — количество рыб-хищников, питающихся рыбами-жертвами, количество которых обозначено через у. Слагаемое бху характеризует зависимость скорости роста количества рыб-хищников от численности рыб-жертв. При отсутствии рыб-жертв эта скорость была бы отрицательной с коэффициентом пропорциональности — а < О, что привело бы в итоге к вымиранию рыб-хищников (см. пример 3.9).
Наоборот, при отсутствии рыб-хищников скорость роста количества рыб-жертв, имеющих достаточно корма в окружающей среде, была бы положительной с коэффициентом пропорциональности с > О, что вызвало бы неограниченный рост их численности. Но слагаемое -Ьху, пропорциональное числу встреч жертвы и хищника, заканчивающихся в пользу последнего, уменьшает эту скорость. Для удобства анализа приведем систему ОДУ (10.25) к безразмерному виду — = о((Ч вЂ” 1)", — = В(1 — С), (10.26) дс' еЬ1 ат ат Д.10.1. Математическая модель сосуществования двух поиуяялий 279 1 с1с й~ + =О 4 а Йт Йт По смыслу рассматриваемой математической модели ( > 0 и и > О.
Разделив первое ОДУ в (10.26) на сл(, второе ОДУ на и и почленно сложив результаты, запишем 1 й~ 1 сЬ1 + ' =О 4. а~ Йт и ат Два последних равенства дают уравнение 1 й~ 1 й~ 1 Щ сЬ) —.— + — — — — — — — =О, а( Йт и Йт а йт Йт после интегрирования которого придем к равенству 1 — 1п~+ 1пп — — — и = сопвФ. о о (10.27) Таким образом, первый интеграл систел4ы (10.26) можно записать в виде и(~ ц) = ~Ч е ч-~~а Из (10.27) следует, что е" и С = сопвФ, где ( =Ьх/с, п=бу/а, а=а/с > О, а переменное т =с1 является безразмерным временем. Из (10.26) следует, что ( = и = = 1 является положением равновесия этой системы. Системе уравнений первого приближения соответствует характеристическое уравнение, имеющее чисто мнимые корни Л1з = Ы (Р = -1), т.е.
это положение равновесия является центром для системы уравнений первого приближения. После деления первого ОДУ в (10.26) на сл и сложения полученного результата со вторым ОДУ находим 280 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОИ ПЛОСКОСТИ причем в силу положительности ц и ( постоянная С > О. На рис. 10.12 для частного случая а = 2 представлены графики функций У(ц) = е"/0 и Х(~) = Яе с11, связанных соя отношением У = СХ. М, Функция У(ц) дости1у1о1~ оо 'М ~ гает минимального зна- 1 ~ Г чения Ут1с=е при 0= — — — — — 4, ~ =1, афункцияХ(~)— у! о максимального значе- Х( ) М.' Х 1/в1/1 4 ния Х,„=е при -1/а ~=1 Рис. 10.12 Пусть в некоторый момент времени 1= 1о численности рыб-хищников и рыбжертв были хв и уе соответственно. Тогда безразмерному значению тв = с1о времени отвечают значения ~(то) = 4о = = йхв/с и п(то) = пв = Ьуе/а.
Эти значения являются координатами точки Ме в фаэовой плоскостпи (Оц и однозначно определяют постоянную С как угловой коэффициента прямой, проходящей через начало координат и точку Мо (см. рис. 10.12). Если точка Мо совпадает с положением равновесия М„то прямая будет проходить через точку М,' и С „=1/е(1+а)1а. При помощи прямой, проходящей через точку Мв, несложно построить фаэовую тпраектпорию, которая, как оказывается, будет эамкнутпоб кривой целиком расположенной в первом квадранте плоскости ~00. Из (10.26) следует, что движение иэображаю1цеб точки по фазовой траектории будет происходить по ходу часовой стрелки.
Итак, численности рыбхищников и рыб-жертв являются периодическими функцилми времени. Характер зависимостей ( и ц от т показан на рис. 10.13. При кот лебаниях численности попу- ляций рост количества рыб- Рис. 10.13 281 Вопросы и задачи хищников запаздывает по фазе относительно роста количества рыб-жертв. Из-за ограниченности корма численность рыб-хищников достигает некоторого максимума и затем идет на убыль, что спустя некоторое время приводит к очередному росту численности рыб-жертв, и цикл вновь повторяется. Чем далее от положения равновесия М, находится точка Ме (см. рис.
10.12), тем больше размах колебаний численности обеих популяций рыб. Вопросы и задачи 10.1. Исследовать поведение фазовых траекторий систем обыкновенных дифференциальных уравнений и сделать эскизы фазовых портретов: д~~ — =х1, сй ссхг — = х1+ 2хг', й с1Х1 — = -х1 — 5хг, й СсХ2 — = хг+хг," й б) сЬ1 — =2х1-хг; й ссхг — = Зх1 — 2хг', сй сЬ~ — = 2Х1-хг; г) й сЬ'2 — = 2Х1 + 5хг', сй в) сЬ1 — =х1-хг; сй ссХ2 — = Х1+хг' сй ссх1 — = — 2Х1+ 2хг, сй сСхг — = — х1. сй д) е) 10.2.
Определить типы положения равновесия для следующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений: ~Ь~ — = хг — Зх1+ х1, сй «~~2 2 З„ — = бх| - 2хг - Х1хг,. й ссх1 — = — Хг+ Хг, й ССХ2 г. Х) +Х2 Хг~ сй б) 282 пь ОсОБые тОчки ИА ФАЗОВОи плОскОсти в) 10.3. Изобразить в плоскости ~гО~г фазовый портрет системы (10.3) для случаев, когда корни характеристического уравнения этой системы: а) Лг = О, Лг > 0; б) Лг = Лг = О, аг~ ~0; в) Лг =Лг =О, агг =агг =О. 10.4. Построить эскизы фазовых портретов для обыкновенного дифференциального уравнения (6.49), сведя его к системе второго порядка, и указать типы положений равновесия для следующих сочетаний параметров: а) аг>п~>0; б) п>ю>0; в) п>ы>0; г) п=ш Ихг — = (хг — 2ИЗхг + хг — 5); аг г) ~1хг г г — =хг+хг — 13; й Нхг — = — хг+х ' а гФ ахз — = 4хг — хг <Й 11.
КРАЕВЫЕ ЗАДА'ЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ,у'РАВНЕНИЯ 11.1. Постановка краевой задачи Напомним, что постановка задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и-го порядка (и > 2) или для нормальной системы ОДУ, имеющей тот же порядок, включает и начальных условий, заданных для некоторого одного значения го независимого переменного ь'. Если для этих ОДУ или системы известно обшее решение, содержащее и произвольных постоянных Сь (и = 1, и), то начальные условия позволяют найти значения постоянных.
Но и условий для нахождения значений постоянных можно задать не обязательно при одном значении $ = $в. В этом случае из общего решения необходимо выделить такое частное решение, которое будет удовлетворять в сумме и дополнительным условиям, но заданным при нескольких значениях независимого переменного Задачу отыскания такого частного решения принято называть краевой задачей для ОДУ п-го порядка или для нормальной сиспьемы ОДУ соответственно.
Более подробно рассмотрим постановку краевой задачи для ОДУ в~ворога порядка (11.1) где у — искомая функция; х — независимое переменное; у— функция, определенная и непрерывнгл в некоторой замкнутой области Р изменения своих аргументов. Общеерешениетакого ОДУ содержит две произвольные постоянные. Если для их 284 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ нахождения задать при х = хе значения у(хе) искомой функции у(х) и ее производной у'(хе), то придем к постановке задачи Коши для ОДУ (11.1) с двумя начальными условиями.
Если же потребовать, чтобы искомое решение у(х) удовлетворяло также двум условиям (11.2) у(а) = у, у(Ь) = уь, нов двух различных точках х= а и х=Ь, то получим одну из возможных постановок краевой задачи, называемую двухьпочечной. Соотношения вида (11.2) называют краевыми услови,ями данной задачи. Геометрически постановка задачи с краевыми условиями (11.2) означает, что требуется найти такую интпегральную кривую у(х) ОДУ (11.1), которая проходит через точки А(а, у ) и В(Ь,уь) (рис. 11.1).
Возможно видоизменение постановки краевой задачи: найти такое решение у=у(х) ОДУ (11.1), чтобы в точках х= а и х = 6 были выполнены краевые условия для производной функции у(х): у(а) =уа у(6) =уь (11.3) где у'(а) = ду/ах~ и у'(6) = ау/ах~ . Такая постановка краевой задачи с геометрической точки зрения соответствует поиску интегральной кривой у(х) ОДУ (11.1), пересекающей прямые х = а и х = 6 под заданными углами я/2 — о и я/2 — )3 (рис. 11.2), где, согласно геометрическому смыслу , пРоизводной фУнкции У(х), а = агсьбр' и ~3 = агс18рь. У "ь 0 а ь х О а Рис.
11.1 Рис. 11.2 П.Ь Поетаиоака краевой задачи 285 Условия (11.2) и (11.3) принято называть нраевымн условнлмн неравно и вгнорого рода соответственно. Очевидно, имеет смысл и постановка смешанной двухгпочечной нраевой задачн, когда в точках х = в и х = Ь заданы краевые условия разного рода. Необходимо отметить, что в отличие от задачи Коши, для которой теорема 4.2 Коши гарантирует при выполнении определенных условий существование и единственность решения ОДУ, краевая задача для того же ОДУ может не иметь решения или иметь несколько решений (в том числе и бесконечное множество решений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
