VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это соотношение называют законом Фурье — по имени французского математика и физика Ж.Б.Ж. Фурье (17б8-1830). В данном случае для трубопровода достаточно большой длины 1» В в силу осевой симметрии градиент температуры имеет лишь радиальную составляющую йТ/йт, т.е. тепловой поток распространяется только в радиальном направлении. В слое теплоизоляции рассмотрим две цилиндрические поверхности радиусов т и г+ Ьт (Ьт) 0) и одинаковой длины 1. Через эти поверхности в радиальном направлении проходят тепловые потоки соответственно Яг = -2я1Л9(т) и ф,+,,г — — — 2к1Л9(г+ Ьт), (11.17) где 9(г) = т(йТ(йт). При установившемся распределении температуры на основании закона сохранения энергии эти тепловые потоки должны быть равны, т.е. Яг = Яг+а„, или после сокращения на 2я(ЛЬт ф 0 9(т+ Ьт) — 9(т) = О.
(11.18) 292 11. КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ ДЛЯ ОДУ Предполагая, что распределение температуры Т(г) дважды дифференцируемо по г, и переходя в (11.18) к пределу при Ьг — ~ О, в силу определения производной 11Ц получаем а6 дедТ; — = О, или — ~г — ) = О, (11.19) дг йг йг т.е. приходим к линейному однородному ОДУ второго порядка с переменным коэффициентом при первой производной а'Т 1 йТ вЂ” + — — =О. сЬ.г г Й. (11.20) На внутренней поверхности слоя теплоизоляции радиуса Во, прилегающей к стенке трубопровода, примем Т(Вв) = = Тв. На внешней поверхности радиуса В тепловой поток, поступающий из слоя теплоизоляции, равен тепловому потоку, воспринимаемому окружающей средой, т.е.
дт~ — Л вЂ” ~ 2кИ = гх(Т(В) — 'Хс) 2иИ, дг~ =я Т(Во) = Тв' гхТ(В) + Л2о(В) = аТ,. (11.21) Отметим, что в данном случае при г = Вв имеем краевое условие первого рода, а при г =  — третьего рода, т.е. линейнал двухточечная краевая задача (11.20), (11.21) является смешанной. Вместо поиска решения ОДУ (11.20) последовательно проинтегрируем второе равенство в (11.19): ЙТ С~ — — Т(г) = С~ 1пг+Сг. Й дТ г — = См Й. Для нахождения произвольных постоянных С~ и Сг подставим Т(г) в (11.21) и получим систему двух алгебраических или, сокращая на 2яИ, имеем аТ(В) + ЛТ'(В) = аТ,.
Таким образом, краевые условия можно представить в виде П.З. Прикввдиые примеры региеиив краевой залечи 293 уравнений Л Сг1пВе+ Сз = То', аСг1пВ+аСг+ — С1 = аТс. В Отсюда находим В итоге решение краевой задачи имеет вид Т(т) =Те — Л В 1п —. Т -Т, — + 1п— аВ Ве (11.22) График зависимости Т(т) показан на рис. 11.3. Рассеиваемый с внешней поверхности теплоизоляции тепловой поток будет Ял = 2ггВ1а(Т(В) — Тс) = 2я1Л Л ' . (11.23) — +1п— аВ Ве Отметим, что к тому же результату можно прийти более простым путем, не выводя ОДУ (11.20) второго порядка.
Используя закон сохранения энергии, запишем первое равенство (11.17) в виде — 2ггт1ЛЙТ(г1т = Я = сопзФ и после разделения переменных и инпгегрпрованпл получим Т = С вЂ” — 1пт, С = сопвг. Ю (11.24) 2х1Л Подставляя (11.24) в краевые условия (11.21), придем к системе двух алгебраических уравнений С вЂ” — 1пВо = Те, аС вЂ” а — 1п — — = аТ„ Ю 2х1Л ' 2х1Л 2я1В Т вЂ” Т Сг=-аЛ вЂ” +а1п— В Ве Те Тс Се=Те+а Л 1  — +а1п— В Во 294 1Ь КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ из которых после исключения С получим для Я выражение, совпадающее с (11.23). Интересно, что с возрастанием радиуса В при фиксированных значениях остальных парамешрое функция ЯВ(В) в (11.23) может не быть монотонной, хотя, казалось бы, с увеличением толщины слоя теплоизоляции теплопотери должны уменьшаться.
В самом деле, производная й2я т — т, г л — = — 2х1Л вЂ” — +— ,~В У Л В 12 ~,.„В2 В) ~ — +1п — ) ~В В) равна нулю при В = В, = Л/а (В, — это критический радиус слоя теплоизоляции), причем меняет знак с плюса на минус, что в силу теоремы 8.5 (П] является достаточным условием того, что в точке В, функция Ял(В) имеет локальный максимум в интервале (О, +ос). Следовательно, монотонное убывание теплопотерь с возрастанием радиуса В возможно лишь при В > В,.
Если В, > Ве, то выбор толщины кольцевого слоя теплоизоляции, такой, что В = В„является нерациональным, так как теплопотери при этом близки к максимальным. Обеспечить снижение теплопотерь можно либо выбором В » В„т.е. увеличением толщины слоя теплоизоляции, либо применением более эффективной теплоизоляции с меньшим значением коэффициента теплопроводности Л, что приведет х уменьшению значения В . Признаком рационального выбора теплоизоляции является выполнение условия В, ( Ве. Пример 11.3.
При создании конструкций, нагруженных сжимающими усилиями, часто возникает необходимость расчета сжатых прямолинейных стержней. Впервые подобная задача была рассмотрена Л. Эйлером. Пусть стержень длиной 1 с круговым поперечным сечением, имеет неизменную по длине жесткость Ел на изгиб, где Е и,У вЂ” соответственно модуль упругости материала и геометрический момент инерции сечения стержня, и нагружен посто- 11.3. Прикяадиые примеры ретеиие краевой задачи 295 — +ю у=О "у г дхг (11.25) второго порядка с постоянньыяи коэффициентами, где иР = = Р((ЕХ). Шарнирные опоры стержня запрещают поперечное смещение его сечения, так что краевыми условиями будут у(0) = у(1) = О.
(11.26) Краевая задача (11.25), (11.26) является однородной и имеет тривиальное решение у(х) = О, которое соответствует прямолинейному стержню. Выясним, существует ли хотя бы одно явной сжимающей силой Р, направленной вдоль оси Ох, проходящей через концевые шарнирные опоры (рис. 11.4). Будем предполагать, что под действием силы Р возможно искривление первоначально прямолинейной оси стержня, описываемое функцией у(х),имею- у(х) щей смысл зависимо- о х сти от координаты х Х прогиба стержня в по- у перечном направлении Рис. 11.4 вдоль оси Оу.
В любом сечении искривленного стержня сила Р создает изгибающий момент М = — Ру(х), направленный при у > 0 (см. рис. 11.4) против хода часовой стрелки и уравновешиваемый моментом, создаваемым в этом сечении напряжениями, возникающими при изгибе стержня. Из курса сопротивления материалов известно, что уравновешивающий момент равен произведению жесткости ЕЛ на изгиб и кривизны оси стержня. При условиях ~у(х) ~ << 1, (у'(х)1 << 1 чх Е (О, 1] кривизну плоской кривой, задаваемой функцией у(х),приближенно принимают равной уи(х).
Таким образом, в любом сечении стержня условием равновесия является равенство Едуи = -Ру (в случае у(х) > 0 при выбранной на рис. 11.4 системе координат Оху имеем уи(х) < О). Это равенство можно записать в виде линейного однородного ОДУ 296 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ значение силы Р, входящее в параметр ш, при котором возможно искривление стержня. Математически ответ на этот вопрос сводится к определению значения (или значений) ы, при котором (или при которых) краевая задача (11.25), (11.26) имеет решение у(х) ф О. Соответствующее (11.25) характеристическое уравнение Л~+ма = О имеет ко.нплексно сопряженные чисто мнимые корни Л1 г — — хил.
Тогда на основании теоремы 6.2 о структуре общего решения однородного ОДУ для уравнения (11.25) общее решение можно записать в виде (см. 6.4) у(х) = С1 совых+С~япшх, (11.27) где С1 и С~ — произвольные постоянные. Подставляя (11.27) в краевые условия (11.26), находим С' = = О и С~ сйпаЛ = О.
Если в последнем равенстве принять С~ — — О, то придем к тривиальному решению. Но это равенство можно выполнить, если при Сэ ФО положить в1пм1 = О, т.е. мь1= Йк (Й й Е). Тогда каждому значению аа как собственному значению данной краевой задачи будет с учетом (11.27) соответствовать ее собственная функиия Йкх уь(х) = С*в1п —, (11.28) эЕ7 Йг г~~ 1Я (11.29) которую можно задать с точностью до произвольного множителя С~.
В связи с этим считают, что одинаковым по абсолютному значению Й отвечает одна и та же собственная функция, поэтому отрицательные значения Й можно исключить из рассмотрения. Значению Й = О соответствует шв =О, и (11.28) дает уже упомянутое тривиальное решение у(х) = О. Итак, бесконечное .нножество решений данной краевой задачи, отличных от тривиального, можно описать при помощи (11.28), считая, что Й й 1Ч.
Каждому из таких решений соответствует значение сжимающей силы 11.3. Прикладные примеры рыкании кринкой задачи 297 при котором может существовать форма равновесия стержня, отличная от прямолинейной. Из структуры (11.29) видно, что выбор й из множества д. целых чисел не дает новых значений сжимающей силы по сравнению с выбором Й из множества М натуральных чисел, за исключением, естественно, значения Ро = О, соответствующего ненагруженному стержню.
При й =1 из (11.29) получаем наименьшее значение Р' = = я~Е,У/1' сжимающей силы, которое может вызвать искривление прямолинейного стержня, называемое в механике потерей устойчивости стержня, или потерей устойчивости его прямолинейной формы равновесия. Значение Р," называют первой критической силой для данных условий закрепления стержня, но часто это значение именуют эйлеровой силой. Несмотря на соответствие проведенного анализа изложенным в 11.2 теоретическим положениям, его результаты должны вызвать некоторое недоумение. В самом деле, из полученного решения следует, что при Р = Р„" (й Е И) возникает криволинейная форма равновесия стержня, а при Р~,' < Р < Р,'+ стержень снова должен стать прямым, что явно не соответствует действительности.
Причина состоит в том, что в ОДУ (11.25) кривизна оси стержня приближенно заменена второй производной ун(х), что вполне допустимо при малых значениях ~у(х)~, но вносит большие погрешности и искажает механический смысл результатов анализа, когда при искривлении оси стержня значения ~у(х)~ возрастают. Если использовать точное выражение для кривизны плоской кривой, то вместо (11.25) следует рассматривать краевую задачу для нелинейного ОДУ второго порядка (11.30) и краевых условий (11.26). Решение такой задачи не удается выразить через эдемеитпариые фрикции, однако это решение подробно исследовано и установлено, что изменение конфигу- 298 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
