Главная » Просмотр файлов » VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения

VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 43

Файл №1081404 VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 43 страницаVIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404) страница 432018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Если применить (12.25) к решению задачи (12.17) Коши, то при й = 0,1 результаты будут отличаться от приведенного в табл. 12.1 точного решения (12.18) не более чем на 10 з. Рабочие формулы при гп ) 5 используют достаточно редко ввиду их громоздкости. В случае необходимости повысить точность и количественно оценить погрешность получаемого приближенного решения можно при тп < 5 применить мепгод Рунге двойного пересчета.

Аналогичный подход используют при разработке ЭВМ-программ с автоматическим выбором шага для обеспечения заданной точности е. Приведем соотношения так 320 12. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ называемого пятиэтапного метода Рунге — Кутты, которые обычно используют в таких программах: Ь й ха+1 = ха+ — (й1+4й4+йз), х,*,11 — — х„+ — (й1/2 — Зйз/2+2й4); й1 — У/ йз — /(Ф + Ь/3 х + йй1/3) йз = /(Ф~+ и/3, х~+ Ьй1/6+ ййг/6), й4 = У(зп + Ь/2~ хп + Ь й1/8+ Зййз/8), йз = /($а + Ь~ хп+1)' В качестве приближенного решения на шаге берут значение х„4.1, а значение х„*+1 используют для контроля точности. если ь = [х,',+1 — х„41[/5 ) е, то далее шаг уменьшают вдвое, если е/64 < Ь < е, то его оставляют прежним.

При Ь < е/64 шаг увеличивают вдвое. Рабочие формулы метода Рунге — Кутты несложно записать применительно к решению задачи Коши для нормальной системы ОДУ. Для этого систему следует представить в виде (1.3) и использовать выбранную рабочую формулу для каждого из уравнений.

12.5. Метод чаплыгина Приближенное аналитическое решение задачи Коши для нормальной системы обыкновенных ди4ференииальных уравнений (ОДУ) можно получить методом Чапльзеина, предложенным в 1919 году отечественным математиком и механиком С.А. Чаплыгиным (1869 — 1942). Для простоты изложим этот метод применительно к задаче (12.7) Коши для ОДУ первого порядка. Идея метода состоит в построении двух аппроксимирующих точное решение х(1) последовательностей функций (и„(Ф)), (ив(4)) (ин(4) < х(1) < ив(4) 111 Е [ьо, Т]) с начальными УсловиЯ- ми и„(зв) = ив(йв) = х(4в) = хв.

Эти последовательности таковы, что последовательность (и„(4) — и„(4)) равномерно сходип1ся по Ф на отрезке [ьв, Т] к нулевому пределу при и -4 ос [1Х]. 321 12.5. Метод Чаплыгина Геометрически этот метод можно интерпретировать следующим образом: инщеградьная кривая х(8) ограничена евер- х отру ху и снизу графиками функций о„(1) и и„(1) (рис. 12.3). Он хд/ основан на теореме Чаплыги- % 3 ее~ на о дифференциальных неравенствзх.

Введем обозначение о Т С .У(ию) = сйо/сИ вЂ” у(1, и). Если х(1) — решение ОДУ в (12.7), то,7(х) = О. Рис. 12.3 Теорема 12.2 (теорема хХаплыгина). Если функции и(Ф), о(е) (ео <1 <Т) удовлетворяют неравенствам .7(и) <О, ,7(о) > О, то для любого Ф Е [Фо, Т~) имеют место неравенства и(~) ( х(~) ( о(~) (и(~о) т Фо) = х(~о) = хо) ,7(ио) = — сев(~) < О, Х(оо) = до(й) > О (12 20) В качестве исходных примем функции ио(е), оо(е). Положим и1(е) =ио(г)+ро(е), о1(е) =во(е) — ио(е), причемфункции раЯ, ио(1) (ро(1о) = ио(йо) = 0) удовлетворяют динейныи ОДУ пер- вого порядка — =ро(1) но+ сев(~); — = до(1) оо+ ОоЯ, (1227) 44о Йо й й где дУ(1 ио) У(~ оо) — У(1, ио) Ро(1) = Чо(г) = дх оо-ио Алгоритм построения аппроксимирующих последовательностей (и„(е)) и (о„(е)) состоит в следующем.

Эмпирически выберем две функции иа = иа(1) и оо = оа($) (ио < оо) так, чтобы ио(1о) = со(1о) = хо, ио(~) < оо(1), 1Е [1о Т) и 322 П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ Решениллси ОДУ (12.27) при начальных условиях ссо($о) = = ро(Со) = О являются функции с 4 с ,ыо(1) = ссо(Ч) ехр — ро(с,) с1с, сК ехр ро(4') сК, со сь с, с с с о(1) = ~Зо(4) ехр — до(С) с1С д( ехр до(4) б~. со со св Так как на основании (12.26) ссо(С) > О и до(С) > О, то в силу не- отрицательности определенного интеграла от неотрицательной подынтпегральноб усунниии [Ч1] имеем для решений ОДУ (12.27) ро(с) ) О и ро(с) ) О ~Й е [со, Т[.

Если предположить, что до~/дх~ сохраняет постоянный знак в области существования решения задачи Коши, то можно показать, что .7(ис) < О, 7(ес) > О 'й Е [Со, Т~) (зто утверждение оставляем без доказательства). Следовательно, используя метод математической индукции, для произвольного и й М имеем .с(и ) = — сс„(с) < О,,У(ил) = дв(с) ~ )О. Положим теперь и„+с(С) = и„(С) + 1с„($), о„+с(с) = ив(С)— — с„(с). Функции сс„(с) и с„(с), определяемые из ОДУ вЂ” = р„(с) сс„+ сс„(С), — = д„(С) и„+ дв(С) (12.28) ссС " " " ' сй при начальных условиях 1с„(1о) = с;,(Со) = О, неотрицательны Чс Е [со, Т).

В (12.28) обозначено: дс (с, и„) дх Описанная процедура в принципе позволяет построить неубывающую (и„(с)) и невоэраспсающую (ив(С)) последовасаельноспси, причем можно показать, что искомое решение х(С) 323 12.5. Метод Чаалыгива и„(Ф) ~ (х(1) (~ и„($) Чя Е М.

Анализ метода Чаплыгина показал, что 1пп [и„(1) — и„(й)) =0 тйЕ [1о, Т~. Если для заданной допустимой погрешности е ) 0 приближенного решении найдено такое н, что и„(Ф) — и„(Ф) ( 2е И Е [Фо, Т[, то полагают х(Ф) [и„(Ф) + и„(Ф))/2. Пример. Построим методом Чаплыгина первое приближение к решению задачи Коши — =1+х, х(0) =О. ах г й В данном случае у(Ф, х) = Ф+ хг,,7(ш) = дш(й — 1 — шг. Положим ио(1) = 0 и иоф = й. Тогда .У(ио) = -Ф, .7(ио) = = 1 — й — Ф~ и, следовательно, ао(Ф) = Ф,,Во(й) = 1 — е — е~. Так как,У(ио) = 0 при Т = (Я вЂ” 1)/2 - 0,618, то искомое первое приближение будет иметь смысл лишь на отрезке [О, Т).

Вычислим Н(1,ио) О (,) 1Ь,ио)-Ы,ио) и запишем ОДУ вида (12.27) дро — =й, Ш Й'о г — =г~'о+1-е-~. ~й Их решение с учетом начальных условий ро(0) = ио(0) = 0 таково: ~г о(Ф) =-', .0(ф) = + -"". задачи Коши (12.7) расположено между любыми злеменшами этих последоеагпельностей: 324 12. пРиБлиженные метОДы РешениЯ ОДУ Тогда ид(г) = по(г) + Ио Я = г~/2, и(г) = оо(г) — ив Я = е' ~г — 1.

На основании найденного первого приближения примем 1 1 Ггг х(й) - — (и~+о~) = — ~ — +е ' — 1). 2 2~2 Оценим погрешность полученного приближения по значе- нию "1(1) -п1(г) 1 ~ Р(г шах = — шах (е ' — 1 — — !. к(с„т] 2 2 ~еу~,т) 2 Значение Ь = 0,019 отвечает правому концу отрезка (О, Т). Вопросы и задачи 12.1. Для следующих задач Коши найти решение в виде степенного ряда: х(0) =О; 12.2.

Методом Чаплыгина построить первое приближение к решению задачи Коши, взяв за начальное приближение ие(Ф) = = О и ое(г) = г: а) — =х+3$, х(0) =О, 0<1<1/4; Ых й б) — =х +г~, х(0) =О, 0<1<1/Л. й Их ° ° г а) — + х яшФ = яш Ф+ соя г, й огх ох б) — + — яшФ+ х = я1п21, ЫР сй <Рх 1х в) — — — + е ~х = 1, х(О) ,Нг,о х(0) =2, — ~ =0; пх~ — =1. Ж Им 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ,у РАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнении характеристик. Задача Коши Линейным неоднородным диЯЯеренииаяьным уравнением (ДУ) первого порядка с частными производными называют уравнение ди ди аг(хг,..., х„) — +аз(хь ..., х„) — +... + " дх~ дхг ди + а„(хд, ..., х„) — = Ь(хь..., х„), (13.1) хв где а;(хг, ..., х„) (1 = 1, и) и 6(хь ..., х„) — заданные функции п независимых переменных хь..., х„, непрерывно дифференцируемые в некоторой области Р С К"; и(хг, ..., х„)— искомая функция.

Если в (13.1) 6(хь...,х„) =О во всех точках (хь...,х„) области Р, то будем иметь линейное однородное ДХ первого порядка с частными производными ди ди аг (хг, ..., х„) — + аг(хь ..., х„) — +... + дх ~ " дхг ди + а„(хг,..., х„) — = О, (13.2) хп соответствующее (13.1). Решением ДУ (13.1) и (13.2) в области Р будем называть непрерывно дифференцируемую в Р функцию, которая обращает эти уравнения в тождества в любой точке (хг, ..., х„) Е .Р.

326 1З. ДУ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Рассмотрим сначала однородное ДУ (13.2) и поставим ему в соответствие систему обыкновенных дифференииальных уравнений (ОДУ) дх; д1 — '=о (х1 °,хо), 1=1>п. (13.3) Поскольку й =дх;/а;, 1=1,п, то систему (13.3) можно пред- ставить в симметричной форме записи 0~1 ахз Ыхв ахо а~ аг а; а„ Систему (13.3) называют системой уравнений характпери- стик для однородного ДУ (13.2), а ее фазовые траектории— характеристиками. Теорема 13.1.

Функция и(хм ..., х„) является решением ДУ (13.2) в области Р тогда и только тогда, когда она есть первый интеграл системы (13.3) уравнений характеристик в этой области. ди ди дхя ди — — — = ~~> аь — = О. й1 „,а „д1 „, ах, (13.4) Это означает, что функция и(хы ..., х„) вдоль каждой из характеристик сохраняет постоянное значение, т.е. является первым интегралом системы (13.3) в Р. Если, наоборот, функция и(хы ...,х„) является первым интегралом системы (13,3) в Р, то ее полная производная в силу системы (13.3) равна нулю, т.е.

справедливо равенство (13.4). А это означает, что функция и(хы ..., х„) являетсл решением ДУ (13.2) в области Р. > < Действительно, если функция и(хы ..., х„) является реше- нием ДУ (13.2) в области Р, то ее полнел производная в силу системы (13.3) 13.1. линейное лнфференннаеьное уравнение. задача коши 327 Пусть ~рй(х1, ..., х„), 1 = 1, и — 1, — первые интегралы системы (13.3), и при этом они являются независимыми в обласиги Р (см. определение 8.3).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,33 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее