VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если применить (12.25) к решению задачи (12.17) Коши, то при й = 0,1 результаты будут отличаться от приведенного в табл. 12.1 точного решения (12.18) не более чем на 10 з. Рабочие формулы при гп ) 5 используют достаточно редко ввиду их громоздкости. В случае необходимости повысить точность и количественно оценить погрешность получаемого приближенного решения можно при тп < 5 применить мепгод Рунге двойного пересчета.
Аналогичный подход используют при разработке ЭВМ-программ с автоматическим выбором шага для обеспечения заданной точности е. Приведем соотношения так 320 12. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ называемого пятиэтапного метода Рунге — Кутты, которые обычно используют в таких программах: Ь й ха+1 = ха+ — (й1+4й4+йз), х,*,11 — — х„+ — (й1/2 — Зйз/2+2й4); й1 — У/ йз — /(Ф + Ь/3 х + йй1/3) йз = /(Ф~+ и/3, х~+ Ьй1/6+ ййг/6), й4 = У(зп + Ь/2~ хп + Ь й1/8+ Зййз/8), йз = /($а + Ь~ хп+1)' В качестве приближенного решения на шаге берут значение х„4.1, а значение х„*+1 используют для контроля точности. если ь = [х,',+1 — х„41[/5 ) е, то далее шаг уменьшают вдвое, если е/64 < Ь < е, то его оставляют прежним.
При Ь < е/64 шаг увеличивают вдвое. Рабочие формулы метода Рунге — Кутты несложно записать применительно к решению задачи Коши для нормальной системы ОДУ. Для этого систему следует представить в виде (1.3) и использовать выбранную рабочую формулу для каждого из уравнений.
12.5. Метод чаплыгина Приближенное аналитическое решение задачи Коши для нормальной системы обыкновенных ди4ференииальных уравнений (ОДУ) можно получить методом Чапльзеина, предложенным в 1919 году отечественным математиком и механиком С.А. Чаплыгиным (1869 — 1942). Для простоты изложим этот метод применительно к задаче (12.7) Коши для ОДУ первого порядка. Идея метода состоит в построении двух аппроксимирующих точное решение х(1) последовательностей функций (и„(Ф)), (ив(4)) (ин(4) < х(1) < ив(4) 111 Е [ьо, Т]) с начальными УсловиЯ- ми и„(зв) = ив(йв) = х(4в) = хв.
Эти последовательности таковы, что последовательность (и„(4) — и„(4)) равномерно сходип1ся по Ф на отрезке [ьв, Т] к нулевому пределу при и -4 ос [1Х]. 321 12.5. Метод Чаплыгина Геометрически этот метод можно интерпретировать следующим образом: инщеградьная кривая х(8) ограничена евер- х отру ху и снизу графиками функций о„(1) и и„(1) (рис. 12.3). Он хд/ основан на теореме Чаплыги- % 3 ее~ на о дифференциальных неравенствзх.
Введем обозначение о Т С .У(ию) = сйо/сИ вЂ” у(1, и). Если х(1) — решение ОДУ в (12.7), то,7(х) = О. Рис. 12.3 Теорема 12.2 (теорема хХаплыгина). Если функции и(Ф), о(е) (ео <1 <Т) удовлетворяют неравенствам .7(и) <О, ,7(о) > О, то для любого Ф Е [Фо, Т~) имеют место неравенства и(~) ( х(~) ( о(~) (и(~о) т Фо) = х(~о) = хо) ,7(ио) = — сев(~) < О, Х(оо) = до(й) > О (12 20) В качестве исходных примем функции ио(е), оо(е). Положим и1(е) =ио(г)+ро(е), о1(е) =во(е) — ио(е), причемфункции раЯ, ио(1) (ро(1о) = ио(йо) = 0) удовлетворяют динейныи ОДУ пер- вого порядка — =ро(1) но+ сев(~); — = до(1) оо+ ОоЯ, (1227) 44о Йо й й где дУ(1 ио) У(~ оо) — У(1, ио) Ро(1) = Чо(г) = дх оо-ио Алгоритм построения аппроксимирующих последовательностей (и„(е)) и (о„(е)) состоит в следующем.
Эмпирически выберем две функции иа = иа(1) и оо = оа($) (ио < оо) так, чтобы ио(1о) = со(1о) = хо, ио(~) < оо(1), 1Е [1о Т) и 322 П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ Решениллси ОДУ (12.27) при начальных условиях ссо($о) = = ро(Со) = О являются функции с 4 с ,ыо(1) = ссо(Ч) ехр — ро(с,) с1с, сК ехр ро(4') сК, со сь с, с с с о(1) = ~Зо(4) ехр — до(С) с1С д( ехр до(4) б~. со со св Так как на основании (12.26) ссо(С) > О и до(С) > О, то в силу не- отрицательности определенного интеграла от неотрицательной подынтпегральноб усунниии [Ч1] имеем для решений ОДУ (12.27) ро(с) ) О и ро(с) ) О ~Й е [со, Т[.
Если предположить, что до~/дх~ сохраняет постоянный знак в области существования решения задачи Коши, то можно показать, что .7(ис) < О, 7(ес) > О 'й Е [Со, Т~) (зто утверждение оставляем без доказательства). Следовательно, используя метод математической индукции, для произвольного и й М имеем .с(и ) = — сс„(с) < О,,У(ил) = дв(с) ~ )О. Положим теперь и„+с(С) = и„(С) + 1с„($), о„+с(с) = ив(С)— — с„(с). Функции сс„(с) и с„(с), определяемые из ОДУ вЂ” = р„(с) сс„+ сс„(С), — = д„(С) и„+ дв(С) (12.28) ссС " " " ' сй при начальных условиях 1с„(1о) = с;,(Со) = О, неотрицательны Чс Е [со, Т).
В (12.28) обозначено: дс (с, и„) дх Описанная процедура в принципе позволяет построить неубывающую (и„(с)) и невоэраспсающую (ив(С)) последовасаельноспси, причем можно показать, что искомое решение х(С) 323 12.5. Метод Чаалыгива и„(Ф) ~ (х(1) (~ и„($) Чя Е М.
Анализ метода Чаплыгина показал, что 1пп [и„(1) — и„(й)) =0 тйЕ [1о, Т~. Если для заданной допустимой погрешности е ) 0 приближенного решении найдено такое н, что и„(Ф) — и„(Ф) ( 2е И Е [Фо, Т[, то полагают х(Ф) [и„(Ф) + и„(Ф))/2. Пример. Построим методом Чаплыгина первое приближение к решению задачи Коши — =1+х, х(0) =О. ах г й В данном случае у(Ф, х) = Ф+ хг,,7(ш) = дш(й — 1 — шг. Положим ио(1) = 0 и иоф = й. Тогда .У(ио) = -Ф, .7(ио) = = 1 — й — Ф~ и, следовательно, ао(Ф) = Ф,,Во(й) = 1 — е — е~. Так как,У(ио) = 0 при Т = (Я вЂ” 1)/2 - 0,618, то искомое первое приближение будет иметь смысл лишь на отрезке [О, Т).
Вычислим Н(1,ио) О (,) 1Ь,ио)-Ы,ио) и запишем ОДУ вида (12.27) дро — =й, Ш Й'о г — =г~'о+1-е-~. ~й Их решение с учетом начальных условий ро(0) = ио(0) = 0 таково: ~г о(Ф) =-', .0(ф) = + -"". задачи Коши (12.7) расположено между любыми злеменшами этих последоеагпельностей: 324 12. пРиБлиженные метОДы РешениЯ ОДУ Тогда ид(г) = по(г) + Ио Я = г~/2, и(г) = оо(г) — ив Я = е' ~г — 1.
На основании найденного первого приближения примем 1 1 Ггг х(й) - — (и~+о~) = — ~ — +е ' — 1). 2 2~2 Оценим погрешность полученного приближения по значе- нию "1(1) -п1(г) 1 ~ Р(г шах = — шах (е ' — 1 — — !. к(с„т] 2 2 ~еу~,т) 2 Значение Ь = 0,019 отвечает правому концу отрезка (О, Т). Вопросы и задачи 12.1. Для следующих задач Коши найти решение в виде степенного ряда: х(0) =О; 12.2.
Методом Чаплыгина построить первое приближение к решению задачи Коши, взяв за начальное приближение ие(Ф) = = О и ое(г) = г: а) — =х+3$, х(0) =О, 0<1<1/4; Ых й б) — =х +г~, х(0) =О, 0<1<1/Л. й Их ° ° г а) — + х яшФ = яш Ф+ соя г, й огх ох б) — + — яшФ+ х = я1п21, ЫР сй <Рх 1х в) — — — + е ~х = 1, х(О) ,Нг,о х(0) =2, — ~ =0; пх~ — =1. Ж Им 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ,у РАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнении характеристик. Задача Коши Линейным неоднородным диЯЯеренииаяьным уравнением (ДУ) первого порядка с частными производными называют уравнение ди ди аг(хг,..., х„) — +аз(хь ..., х„) — +... + " дх~ дхг ди + а„(хд, ..., х„) — = Ь(хь..., х„), (13.1) хв где а;(хг, ..., х„) (1 = 1, и) и 6(хь ..., х„) — заданные функции п независимых переменных хь..., х„, непрерывно дифференцируемые в некоторой области Р С К"; и(хг, ..., х„)— искомая функция.
Если в (13.1) 6(хь...,х„) =О во всех точках (хь...,х„) области Р, то будем иметь линейное однородное ДХ первого порядка с частными производными ди ди аг (хг, ..., х„) — + аг(хь ..., х„) — +... + дх ~ " дхг ди + а„(хг,..., х„) — = О, (13.2) хп соответствующее (13.1). Решением ДУ (13.1) и (13.2) в области Р будем называть непрерывно дифференцируемую в Р функцию, которая обращает эти уравнения в тождества в любой точке (хг, ..., х„) Е .Р.
326 1З. ДУ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Рассмотрим сначала однородное ДУ (13.2) и поставим ему в соответствие систему обыкновенных дифференииальных уравнений (ОДУ) дх; д1 — '=о (х1 °,хо), 1=1>п. (13.3) Поскольку й =дх;/а;, 1=1,п, то систему (13.3) можно пред- ставить в симметричной форме записи 0~1 ахз Ыхв ахо а~ аг а; а„ Систему (13.3) называют системой уравнений характпери- стик для однородного ДУ (13.2), а ее фазовые траектории— характеристиками. Теорема 13.1.
Функция и(хм ..., х„) является решением ДУ (13.2) в области Р тогда и только тогда, когда она есть первый интеграл системы (13.3) уравнений характеристик в этой области. ди ди дхя ди — — — = ~~> аь — = О. й1 „,а „д1 „, ах, (13.4) Это означает, что функция и(хы ..., х„) вдоль каждой из характеристик сохраняет постоянное значение, т.е. является первым интегралом системы (13.3) в Р. Если, наоборот, функция и(хы ...,х„) является первым интегралом системы (13,3) в Р, то ее полная производная в силу системы (13.3) равна нулю, т.е.
справедливо равенство (13.4). А это означает, что функция и(хы ..., х„) являетсл решением ДУ (13.2) в области Р. > < Действительно, если функция и(хы ..., х„) является реше- нием ДУ (13.2) в области Р, то ее полнел производная в силу системы (13.3) 13.1. линейное лнфференннаеьное уравнение. задача коши 327 Пусть ~рй(х1, ..., х„), 1 = 1, и — 1, — первые интегралы системы (13.3), и при этом они являются независимыми в обласиги Р (см. определение 8.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
