VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения. Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. В изложении метода использованы некоторые сведения из теории рядов [?Х). Ограничимся для простоты рассмотрением линейного однородного ОДУ второго порядка с переменнь1ми коэф4ициентами — + а(г) — + о(х) у = О.
дгр др ,ф~2 (12.1) Замечание 12.1. Достаточно широкий класс функций у (1) можно представить в виде и) =~ь( -.)", я=о 12Л. Иятегрирование ОДУ при помощи степенных рлдов 305 (12.3) 'Доказательство теоремы см. в книге Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Мл Изд-во иностр. лиг., 195В.
где уы 89 — некоторые постоянные. Это выражение называют отененным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции у(Ф) для любого $ из интервала (19 — Т,19+Т), то такой рлд называют сходлииьисл в этом иншервале [1Х]. Предположим, что функции а(ь), Ь(х) можно разложить в сходящиеся в интервале (Фо — Т,Фо+Т), Т) О, ряды: а(~) = ~~) 'аа(1 — ~о)л, Ь(~) = у 'Ьа(1 — хо)". (12 2) а=о а=о Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку)*.
Теорема 12.1. Если функции а(1), Ь(1) имеют вид (12.2), то любое решение у(8) ОДУ (12.1) представимо в виде сходящегося при ~~ — Фо~ < Т степенного ряда: уЯ = Я,уа(С - М" Ф В=о Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (12.3). Для простоты положим в (12.2) и (12.3) Фо = 0 и будем искать решение ОДУ (12.1) в виде у(с) = у'у,~".
(12.4) а=о Подставив (12.4) в (12.1), получим равенство )сф — 1)уев + ,'> аах" ~ Ьуа1 1+ а=2 а=о + ~~> Ь|й" ~~ уев = О. (12.5) л=о л=о 306 12. пРиБлиженные метОДы РешениЯ ОДУ Для выполнения (12.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени 1 был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений Ьоуо+ аоу1 + 2уг = 0' Ь1 ус + (Ьо + а1) у1 + 2аоуг + буз = 0; (Ьь —,„у~о+ (т+1) аь ту,„+1) + (й+ 1)(й+ 2) уь+г = 0; Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд р(~) =",~ (й-1)!г".
я=1 Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом Ь ф О. Решение ОД У в виде расходящегося степенного ряда называют форльальным. Пример. Решение уравнения Эбри дгр — +~р=О ,нг (12.6) из которой можно последовательно найти уг, уз, ..., если задать значения уо и у1 (в случае задачи Коши длл ОДУ (12.1) они входят в начальные условна у(0) = уо, у~(0) = у1). Если функции а(1), Ь(1) являются рациональными, т.е. аф = аЩ/ась, Ь(~) = Ь1($)/Ьо(8), где а1(й), ао(ь), Ь1(й), Ьо(1) — многочлены, то в окрестностях точек, в которых ао(Ф) = 0 или Ьо($) = О, решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки Ф = О. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка 12.1. Иитегрироиииие ОДУ при помощи степеииьп рядов 307 будем искать в форме степенного ряда (12.4).
Тогда равенство (12.5) принимает вид ~ уьЦй-1)З +', уье -О. й=2 й=е Приравняем нулю коэффициент при каждой степени 1. Коэффициент при нулевой степени Ф равен 2уз. Следовательно, уз = О. Из равенства нулю коэффициента буз+уе при Ф находим уз =- — уе/б.
Коэффициент при $ь з равен уьй(й — 1)+ + УЬ-З Отсюда Уь-3 й(к — 1) Из этой формулы получаем УЗр-З УЗр-6 Зр(Зр — 1) Зр(Зр — 1)(Зр- 3)(Зр — 4) ( — 1)" Зр(Зр — 1)" 3 2 Аналогично находим (-1)Р УЗр+1= (3 +1)3 4 ЗУ1~ (-1)Р (Зр+2)(Зр+1)" 5 4 Коэффициенты уе и у1 остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале уе =1, уз = О, а затем наоборот. В первом случае имеем (-1)" ~Зр(Зр-1) "3.2 а во втором (-1)Р ~ (Зр+1)Зр".4 3 На основании теоремы 12.1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой К.
308 12. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ Функции у1(1), уг(1) называют функциялви Эбри. При больших значениях 1 асил4птотическое поведение этих функций описывают формулы У Графики этих функций изобра- 0,8 "01 "Р1 жены на рис. 12.1. В примере 7.1 при помощи теоремы 7.3 сравнения 0 было показано что при неограни8 ~ ченном увеличении $ нули всякого решения уравнения Эйри нео- "0,8 граниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения ОДУ при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.
0,4 ис. 12.1 12.2. Метод последовательных приближений Этот метод, имеющий в основном теоретическое значение, изложим сначала применительно к задаче Коши дх й — = Д1, х), х(10) = хо (12.7) для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Предполагаем, что функция 7'(1, х) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2 Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Идея метода последовательных приближений изложена, по существу, в самом доказательстве этой теоремы. Пусть х($)— 12.2. Метод последояахелъяых приелиженюв 309 решение ОДУ в (12.7).
Подставив зто решение в (12.7), после интегрирования с учетом начального условия получим равенство (12.8) Са Далее, заменив в подынтпегральном выражении неизвестную функцию х($) на хо, найдем первое приближение с х1(е) =хо+ И,хо)~К Аналогично находим второе приближение и т.д. Для и-го приближения будем иметь (12.9) В ходе доказательства теоремы 2.2 Коши установлено, что при каждом Ф Е (Фе — Ь,|о+ 6) последовательность (х„($)) имеет пределом решение х,(Ф) задачи Коши (12.7), т.е.
Бш х„(1) =х,(1). Метод последовательных приближений можно также применить и к задаче Коши — = э (1, х), х($о) = хо дх й1 (12.10) длл нормальной системы ОДУвида (1.4). Нулевое приближение соответствует хо, а последующие приближения (н = 1, 2,...) 310 12. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ находят по формуле со При этом под интегралом от векторной функции у[с,х(с)) понимают матрицу-столбец вида (4.14). Этот метод применйм и к задаче Коши длл ОДУ п-го порядка, если это уравнение предварительно представить в виде нормальной системы ОДУ. 12.3.
Метод ломаных Эйлера П усть дана задача (12.7) Коши длл обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка, причем с Е Е [се, Т). Разобьем отрезок [се, Т) на Ф одинаковых отрезков, концы которых обозначим через с„= се + тй (п = О, Ф), где Ь = (Т вЂ” Со)/Ф, а значение х($„) функции х(с) в каждой из этих точек — через х„.
Кроме того, обозначим С ($„, х„) = ~„. Конечное множество, содержащее ДС+1 точек с„(и=О, Ф), называют обычно сенькой, эти точки — узлами сеспки, а одинаковую для всех отрезков [с„, с„+с] (и = О, ДС вЂ” 1) длину Й вЂ” шагом сетки. Искомую интегральную кривую х($) ОДУ в (12.7), проходящую через точку Ав($е,хв) (рис. 12.2), приближенно заменим ломаной АеАсА2...
Асс с пока еще неизвестными вершинами в точках А„(с„, х„) (и = 1, ДС). Наклон каждого звена А„А„+с этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, приль хс р Г [ мем равным угловому нозффил, ~ ~ л-с ~ циенту у„касательной к инл тегральнои кривои,проходящеи ~-~ — >- — р * у А„с~„, „с н сс сс си-с сл ' звена АвАс известен благода- Рис. 12.2 ря заданию начальных условий в 12.3. Метод ломаных Эйлера задаче Коши (12.7) и равен Ь = Яо,хв).
Это позволяет из уравнения прямой х — хо = Ь(Ф вЂ” Фо), имеющей угловой коэффициент Д и проходящей через точку Ав($о, хв), найти в узле Ф1 значение х1= хо+ Уо(~1 — 1о) = хо+УоЬ, т.е. вычислить ординатпу ближайшей к Ао вершины А| ломаной Эйлера. Далее, повторяя описанную процедуру, можно последовательно вычислить значения хе.ы =х„+~'„Ь, и=1,Ф вЂ” 1, (12.11) и найти ординаты всех остальных вершин этой ломаной.
Изложенный способ приближенного построения интегральной кривой для задачи Коши вида (12.7), называемый леетподоле лолеаных Эй,аера, предложен Л. Эйлером в 1768 году. Помимо представленной геометрической интерпретации этому методу можно дать и другую трактовку. Записав (12.11) в виде = О, Ф вЂ” 1, (12.12) нетрудно установить, что это выражение соответствует приближенной замене в ОДУ, входящем в (12.7), значения производной ах/Ж в узле Ф„правой конечной разностпью, иногда называемой конечной разносптью вперед.
Возникаюшую при такой замене погрешность можно уменьшить, если уменьшить шаг сетки п,т.е. для заданного отрезка [$о, Т) увеличить число М частпичных отпрезнов [1„,1„+1) (и = О, Ф вЂ” 1) разбиения заданного отрезка [$в, Т]. Но при этом возрастет необходимый объем вычислений, что приведет к накоплению большей вычислительной погрешности, возникающей, например, за счет округления чисел при их представлении в ЭВМ хотя и с большйм, но конечным числом разрядов Прн этом создается ситуация, аналогичная влиянию ошибок округления при численном дифференцировании.
312 12. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДУ Существует несколько модификаций метода ломаных Эйлера, позволяющих уменьшить погрешность вычислений. Основная идея модификации состоит в более точном вычислении интеграла на каждом частичном отрезке (Ф„, 1„~.1). По аналогии с (12.8) запишем /м (ом (12.13) Если для вычисления интеграла использовать квадратурную 1~ормулу левых прямоугольников, то придем к (12.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
