VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Приведем формулировку теоремы, устанавливающей структуру общего решения однородного ДУ (13.2). Теорема 13.2. Любое решение однородного ДУ (13.2) в области Р имеет вид (13.5) и = Ф(~р1, ..., у„1), где у (х1, ...,х„), 1 = 1,п — 1, — первые интегралы системы (13.3) в области Р, а Ф вЂ” функция, непрерывно дифференцируемвя в этой области. Иными словами, формула (13.5) описывает все множество решений ДУ (13.2) в области Р. Эадача Коши для ДУ (13.2) ставится так: найти такое решение этого ДУ, которое на заданной поверхности Я совпадает с заданной функцией.
Пример. Найдем решение и(х1, хг) задачи Коши для однородного уравнения ди ди 2~(х1 — — хг — = О, дх1 дхг удовлетворяющее условию и(1, хг) = хгг. Это условие означает, что искомое решение уравнения в точках прямой х1 = 1 должно совпадать с функцией ~р(х1, хг) = хгг. Соответствующая этому ДУ система уравнений характеристик в симметричной форме записи имеет вид 2~/х1 хг Отсюда ииигегрироваиием находим первый интеграл этой системы ч/х1 + 1п (хг! = С = сопве, 328 13 ду с чДС7НЬ1МО ПРО11З~ОДНЫМО и(х1, хг) = хне~~*' Перейдем теперь к рассмотрению неоднородного ДУ (13.1).
Его решение будем искать в неявном виде И'(х1, ..., х„, и) = О. (13.6) В силу правила дифференцирования неявно заданной функ- ции [У[ имеем ди дИ'/дх1 дх, дИ'/ди ' (13.7) Подставляя (13.7) в неоднородное ДУ (13.1), получаем дИ' дИ' а1(х, ...,х„) — +аг(х1 ". х ) — +" + Х1 дИ" дИ~ + а„(х1, ..., х„) — + Ь(х1, ..., хп) — = О (13 8) " дх„ Уравнение (13.8) явлаетсЯ линейным одноРодным ДУ относительно искомой функции И' и включает частные производные этой функции по (и+ 1)-му независимому переменному х1, ..., х„, и. Этому ДУ соответствует система уравнений характеристик Их Иж <1х1 Ых„ йю 1 г (13.9) а1 аг а1 ая Ь который на каждой из характеристик сохраняет постоянное значение. Общее решение, согласно теореме 13.2, имеет вид и = Ф(я), где я = /х1 +)п[хг[.
Выделим из общего решения частное решение, удовлетворяющее условию и(1, хг) = х . г Из первого интеграла при х1 = 1 получаем 1п[хг[ = С вЂ” 1 и и(1, хг) = хг = ег1с 11. Выражая в последнем равенстве постоянную С через первый интеграл, находим решение исходного ДУ в виде 13.1. Линейное дифференииаеьное ураннеиие. Задача Коши 329 Пусть функции ~р;(х1, ..., х„, и), 1= 1, и, являются в области Р1 = ((х1 "°, хп, и): (х1, ..., х„) Е .Р) С К"~~ независимыми первыми интегралами системы (13.9).
Тогда общее решение однородного ДУ (13.8) в силу теоремы 13.2 имеет вид И"=Ф(Ю1,...,Ч ), где Ф вЂ” произвольная непрерывно дифференцируемал в области Р1 функция, такая, что дФ/ди 2~ 0 в области Р1. Из (13.6) следует, что равенство (13.10) Ф(921 " 92 )=0 задает искомое решение и ДУ (13.1) как неявную функцию независимых переменных х1,..., х„. Задача Коши для неоднородного ДУ (13.1) ставится так же, как и для однородного ДУ (13.2).
Пример. Найдем решение задачи Коши для неоднородного линейного ДУ г ди ди хг + х1хг — = х1, дх1 дх2 удовлетворяющее условию и(0, хг) = хгг. Запишем в симметричной форме систему уравнений характеристик вида (13.9): 11х1 е1хг 11и (13.11) хгг х1хг х1 Из равенства левой и средней частей (13.11) после интегрирования получаем хг — х, = С1, а из равенства средней и правой 2 2 частей находим 1п~хг~ — и = Сг. Таким образом, первые интегралы системы (13.11) таковы: ~р1 =хг — х1, ~рг =1п~хг~ — и. г г Тогда, согласно (13.10), равенство Ф(хг — х1, 1п ( хг ~ — и) = 0 2 2 ззо НЬ ДУ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ задает искомое решение и исходного ДУ как неявную функцию независимых переменных хь, х2.
Если удастся разрешить это равенство относительно и, то будем иметь и(хы х2) = = 1п~х2~ + Ф(х2 ~— х21), где Ф вЂ” произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Так как в силу заданного условия и = х2 при Х1 О~ 'го Ф(х2) = Х2 1п~х2~) или 1 Ф(х2) = х2 1п~х2~ ° 2 В итоге искомое решение принимает вид и(х1, х2) = 1п(х2~ + х2 — х1 — — 1п(х2 — х1). 2 2 1 2 2 2 13.2.
Квазилинейное дифференциальное уравнение Ьвазилинебным диЯЯеренциальным уравнением (ДУ) первого порядка называют ДУ с частными производными ди ди а1(хы ...,х„, и) — +а2(хы ...,х„,и) — + ... + дх1 дх2 ди + а„(хы ..., х„, и) — = Ь(хы..., х„, и), (13.12) дх„ где а;(хы..., х„,и) (1 = 1, и) и Ь(хь, ..., х„, и) — заданные функции, непрерывно дифференцируемые в некоторой области В1 С К"+1 изменения и переменных х; (1 = 1, и) и искомой функции и. Подчеркнем, что, в отличие от ДУ (13.1), коэффициенты а; (1= 1, и) и правал часть Ь в (13.12) зависят от искомой функции и.
Процесс нахождения общего решения ДУ (13.12) аналогичен нахождению общего решения неоднородного ДУ (13.1). Приведем основные этапы этого процесса. Система уравнений характеристик для кввзилинейного ДУ по форме полностью совпадает с системой (13.9) для неоднородного ДУ (13.1). Интегральные кривые этой системы называют характпериспзиками квазилинебного ДУ (13.12). Если 13.2. Каааиаяяейяое даффереаавааьаое ураааеаие 331 в области Р1 найдены и первых независимых интегралов ~р1(х1, ..., х„, и) (1 = 1, и) системы уравнений характеристик, то все решения ДУ (13.12) можно получить из равенства (13.10), в котором Ф вЂ” произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Постановка задачи Коши для квазилинейного ДУ аналогична постановке этой задачи для однородного линейного уравнения (13.2). При практическом решении этой задачи необходимо руководствоваться следующими правилами. Пусть решение и(х), х = (х1, ..., х„)е, ДУ (13.12) должно удовлетворять условию и(х) = Ф(х) на поверхности Я, которая задана уравнением у(х1, ..., х„) = О. После нахождения первых интегралов <р1(х, и) (1 = 1, и) системы уравнений характеристик вида (13.9), исключив из системы уравнений 1ее(х,п) =с1, 1=1,п; Дх) =О; и =Ф(х), переменные х1, ..., х„, и, получим равенство Г(с1, с2, ...,с„) = = О, в которое следует подставить с; = <р;(х, и), 1 = 1, и. Тогда получим Р(~р1(х, и), ~р2(х, и),..., ~р„(х, и)) = О.
Одно из решений и(х) этого уравнения и будет искомым. Пример. Решим задачу Коши дм ди х1 — + и — = х2; и(х1,х2) = х1+ 2х2 на Я: 2х1+ Зхз = О. дх1 дх2 Постановка задачи допускает геометрическую интерпретацию: найти уравнение поверхности и = и(х1, х2), проходящей через кривую, заданную уравнениями х2 = 2п, х1+ 2х2 = и. Составим систему уравнений характеристик дх1 вх2 дп (13.13) Х1 М Х2 332 13.
ДУ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Интегрируя равенство средней и правой частей (13.13), нахо- дим иг — хг г— — с1. далее, используя свойство равных дробей запишем равенство д(хг + и) дх1 хг+ и х1 и после его инп1егрирования получим хг+и = сгх1.
Таким образом, имеем два первых интеграла системы (13.13): хг+и 'Рг Х1 ~Р1 и х2~ 2 2, Составим систему уравнений хг+и= сгх1, и — хг — — с1, и = х1+2хг; 2х1+Зхг = О. 2 2 Из этой системы уравнений необходимо исключить переменные х1, хг, и и найти зависимость между параметрами с1 и сг. Исключая и, получим систему из трех уравнений (х1+ 2хг) — хгг —— с1, Зхг = (сг — 1)х1, 2х1+ Зхг = О. 2 2 Из последних двух уравнений имеем (сг+1)х1 = О. Так как х1 ф 0 (в противном случае и хг = 0), то сг = -1.
Таким образом, решением задачи Коши является функция и(х1,хг) = = — Х1 — Х2. (13.15) Пример 13.1. Кввзилинейное ДУ вида — +о(р) — = 0 ОР ар дг дх (13.14) описывает изменение плотности р(х, 2) газа при его изотермическом (т.е. при постоянной температуре) одномерном течении в канале. Здесь о(р) — скорость течения газа в направлении оси Ох, заданная известной функцией от плотности р.
Построим решение задачи Коши для ДУ (13.14) с начальным условием р(х, 0) = рв(х), заданным в момент времени 2 = О. Запишем уравнение характеристик для этого ДУ: дг дх дх — — или — = о(р). 1 о(р) де 13.2. Кваэияинейное дифференциальное уравнение 333 С учетом (13.15) полная производная 1~дикции р(х, 1) равна с~р др др дх др др — = — + — — = — + — ().
сИ д1 дх й дФ дх Вытекающее нз (13.14) равенство этой производной нулю означает, что плотность р(х, 1) остается постоянной на характеристиках, каждая из которых имеет в плоскости 10х постоянный угловой коэффициент Й = Нх/о1 = = о(р) = сопя1, т.е. представляет собой прямую. Это позволяет для произвольных зна- М(вес,) чений х~ и Ф~ следующим образом найти плотность газа. Через точку М(хм 8~) "е (рис. 13.1) проходит прямолинейная характеристика Рис. 13.1 х = х~+и(р)(1 — 1~). Эта прямая пересекает коордииашиую ось Ох в некоторой точке хо = х~ — и(р)1~. В этой точке, согласно начальному условию, известно значение плотности р(хо, 0) = ро(хе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
