VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 40
Текст из файла (страница 40)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ рации оси стержня непрерывно зависит от изменения значения сжимающей силы. Пример 11.4. Покажем, что на собственные значения и собственные функции краевой задачи существенно влияют краевые условия, т.е. в случае рассмотренного в примере 11.3 сжатого стержня — условия закрепления его концов. При х = 0 заменим шарнирную опору жесткой заделкой (рис. 11.5), запрещающей не только поперечное смещение стержня, но и поворот его сечения, т.е. касательная к искривленной оси стержня в точке х = 0 горизонтальна. Следовательно, О А у(х) при х=О у(0)=0 и у'(0) = О, т.е. вме- У сто (11.26) краевые Рис.
11.5 условия примут вид у(0) =у'(0) =0; у(1) =О. (11.31) Для того чтобы удовлетворить этим трем краевым условиям, общее решение ОДУ должно содержать три произвольные постоянные. Принципиальное отличие рассматриваемого случая закрепления стержня от описываемого краевой задачей (11.25), (11.2б) состоит в том, что теперь искривленная ось стержня, описываемая функцией у(х), будет иметь хотя бы одну тиочку В перегиба, не лежащую на оси Ох (см. рис.
11.5), так как в силу необходимого условия существования точки перегиба дважды дифференцируемой функции для этой точки искривленной оси у"(х) = О, т.е. равен нулю изгибающий момент. Но это возможно, если в точке А на стержень помимо сжимающей силы Р действует еще и поперечнал реакция Н шарнирной опоры, такая, что равнодействующая этих сил направлена по прямой АВ.
Тогда условием равновесия сечения стержня с координатой х будет равенство Ез у" = — Ру+ В(1 — х), которое 11.3. прикладные примеры решение краевой задачи 299 приведет к линейному неоднородному ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами — +ш у= — (1 — х). д у г дхг ЕЛ (11.32) Таким образом, имеем линейную неоднородную краевую задачу для ОДУ (11.32) с краевыми условиями (11.31). Несложно проверить, что функция * ОРЕЛ В является частным решением ОДУ (11.32). На основании теоремы 6.3 о структуре общего решения неоднородного ОДУ, учитывая (11.27), запишем общее решение уравнения (11.32) в виде у(х) = — (1 — х) + С1 совшх+ Сгв1пшх.
(11.33) шгЕЛ Это решение содержит три постоянные В, С1 и Сг, которые следует подобрать так, чтобы удовлетворить краевым условиям (11.31), т.е. (11.34) Ясно, что зта однородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет относительно искомых постоянных нулевое решение В = С1 = Сг —— О, которое соответствует тривиальному решению у(х) = 0 (стержень остается прямолинейным). Чтобы зта СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя (111), т.е.
1/(шгЕЛ) 1 О 1/(шгЕЛ) О ш 0 совш1 в1пш1 у(о) =о: у'(о) = о: у(1) =О: В1 гЕЛ+Сг — — 0; — +Сгш=О; С1совш1+Сгвшш1 =О. 300 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ Раскрывая определитель, получаем Р 1я и = и, и = ш1 = 1~/ — > О. '1' ЕЛ (11.35) Уравнение (11.35) служит для нахождения р и имеет бесконечное множестпео корней и„, и = О, 1,2,... (рис. 11.6), которому принадлежит и корень ро = О, соответствующий значению Ро = О, т.е. тривиальному и решению у(т) = О, при котором стержень прямолинеен.
Остальным корням соответствуют зна- чения гЕЛ Рн=Є—,, пЕУ4, (11.36) Рис. 11.6 сжимающей силы. ° Наименьший положительный корень уравнения (11.35) р1- 4,493 соответствует наименьшему значению о>1 = р1/1 параметра ю, при котором краевая задача (11.32), (11.31) имеет решение, отличное от тривиального. Тогда Р1 = ДЕЛ/Р— наименьшее значение сжимающей стержень силы, вызывающее искривление его оси при рассматриваемых условиях его закрепления.
Сравнивая Р1 с зйлеровой силой Р', видим, что для того же стержня первая критическая сила благодаря более жесткому закреплению стержня возросла в (р1/я)~ = - 2,045 раза. Каждому значению корня р„(п е )ч) отвечает значение параметра м„ = р„/1, которое будет входить в бесконечное множество собственных значений краевой задачи. В свою очередь, каждому собственному значению ы„соответствует собственнал функция, содержащая одну произвольно выбираемую постоянную и определяющая форму искривленной оси стержня при значении сжимающей силы Р„= и~ ЕЛ.
Действительно, исключая из (11.33) при помощи (11.34) и (11.35) две из трех 11.3. Првкладвые примеры решеппа краевой задача 301 постоянных, получим для собственных функций выражение В у„(х) = (ш„(1 — х) — >о„1 сова>„х+ япы„х). (11.37) а~3 Яд К тем же результатам можно прийти и более формальным путем, рассматривая однородную краевую задачу. Предполагая, что искомая функция у(х) имеет на отрезке [О, 1] непрерывные производные до четвертого порядка включительно, дважды продифференцируем ОДУ (11.32) и получим линейное однородное ОДУ четвертого порядка с постояннььни ноэффи- ииенталеи ау гну — +ш~ — =О, е(х4 сиз (11.38) которому соответствует характеристическое уравнение Л4 + +шзЛз = О, имеющее дезЪстеительньье кратньье корни Ль = Л2 = = 0 и комплексно сопряженные чисто мнимые корни Лз 4 = = Ым.
Общее решение ОДУ (11.38) имеет вид (см. 6.4, 6.5) у(х) = Сь+Сях+Сзсоеых+С4вщых> (11.39) у(0) = у'(О) = 0; у(1) = уп(1) = О. (11.40) Итак, имеем однородную краевую задачу (11.38), (11.40), для которой у(х) а— в 0 является тривиальным решением, соответствующим прямолинейному стержню. Подстановка (11.39) в где С;, 1 = 1, 4, — произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо дополнить краевые условия (11.31). Отметим, что шарнирная опора стержня при х =1 (см. рис.
11.5), запрещая поперечное смещение стержня, т.е. У(1) = О, допускает поворот его сечения. Так как сжимающая сила Р и реакция В опоры не создают момента относительно сечения стержня в точке х = 1, то кривизна оси стержня в этой точке равна нулю и у"(1) =О. В итоге краевые условия для ОДУ (11.38) с учетом (11.31) примут вид 302 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ ОДУ первое соотношение (11.40) приводит к уравнениям С1 + Сз = О, Св + ыС4 = О, с учетом которых вместо (11.39) получим 1 у(х) = С1(1 — сов ых) + Сз-(ых — в1пюх). (11.41) Подстановка этого выражения во второе соотношение (11.40) дает еще два уравнения для определения постоянных: С1ы (1 — совЫ) + Св(оЛ вЂ” е1пЫ) = 0; С1ы соеоА+ Сге1п<А = О. (11.42) Эта СЛАУ имеет ненулевые решения при условии ш(1 — сов ~А) ш1 — вшоЛ =О.
шсоеаА е1пвл Раскрыв этот определитель, получим уравнение (11.35) для определения собственных значений краевой задачи (11.38), (11.40), совпадающих с собственными значениями ы„краевой задачи (11.32), (11.31). Выразив при помощи (11.35) из второго уравнения (11.42) Сз через С1 (Сз = -С1/1) и подставив в (11.41), запишем выражение для собственной функции краевой задачи (11.38), (11.40) С1 у„(х) = — (ы„(1 — х) — ы„1 совы„х+ е1пм„х), юд1 которое с точностью до постоянного сомножителя совпадает с (11.37).
Общий вывод таков: существует бесконечный набор конфигураций стержня, каждая из которых возможна лишь при вполне конкретном значении силы Р, получаемом путем решения уравнения (11.35). При других значениях сжимающей силы краевая задача (11.38), (11.40) имеет только тривиальное решение у(х) = О. Если использовать точное выражение для кривизны плоской кривой, то и в данном случае придем к нелинейной краевой задаче, решение которой устанавливает непрерывную зависимость изменения конфигурации оси стержня от изменения значения сжимающей силы (см. пример 11.3). Вопросы и задачи Вопросы и задачи 11.1.
Дать геометрическую интерпретацию решения линейной краевой задачи (11.6), (11.7). 11.2. Для однородной краевой задачи 4 — — а у — О, у(0) — у(0) — О, у (1) — у (1) — 0 найти наименьшее положительное значение параметра а, при котором существует решение, отличное от тривиального. 11.3. Для однородной краевой задачи ~4 ~2 4+ 2 — /У У=О, У(0) =у(0) =О, У (Е) =У ()) =0 найти уравнение для определения таких значений параметра,В, при которых существует ненулевое решение.
11.4. Найти все значения силы Р (рис. 11.7), при которых имеет решение неоднородная краевая задача ЕЯ вЂ” =РЦ-у)+В(Š— х), у(0) =у'(0) =О, у(8) =у з2У Пхз где 1 — длина стержня; ЕЛ— его жесткость на изгиб; у— заданное смещение линии действия силы Р относительно оси Ох;  — реакция опоры, определяемая из дополнительного граничного условия.
Рис. 11.7 12. ПРИБЛИ'~КЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 'УРАВНЕНИЙ 12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов В общем случае нахождение точного решения обыкновенного ди4ференциаяьного уравнения (ОДУ) первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более зто неосуществимо для системы ОДУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
