VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рассмотрим возможные варианты. а. Пусть Л1 < О, Лг < О. Положим для определенности л,>л. Из (10.7) следует, что ~1 -+ 0 и ~з-+ 0 при й-++оо, т.е. изображающая точка по любой фазовой траектории стремится к началу координат, но начало координат формально принадлежит лишь одной фазовой траектории (при С1 = Сз = 0), которал вырождается в точку и соответствует положению равновесия (10.4).
Если С1 ф О, Сг =О, то, согласно (10.6) и (10.7), в системе координат 0(1~э фазовая траектория — полуось оси 06 (лба~1 = збп С1), а если С1 = О, Сз ~ О, то фазовая траектория полуось оси О~э (ябп(з ябпСз) ° Любой фазовой траектории, задаваемой соотношениями (10.7) в первом квадранте плоскости ~10~э при конкретных значениях С1 > 0 и Сз > О, отвечают еще три фазовые траектории: симметричная относительно оси 0(1 при смене знака постоянной Сз, симметричнал относительно оси 0(з при смене знака С1 и симметричнал относительно начала координат при смене знаков С1 и Сз одновременно. Следовательно, чтобы представить фазовый портрет системы (10.3) в плоскости (10~э, достаточно построить ее фазовые траектории в первом квадранте этой плоскости. 263 10.1. Фазовый портрет системы Исключив при Сд > 0 и Сг > 0 из (10.7) время 1, получим 5 =с(,, где с=сопв1 и а = Л1/Л1>1.
Таким образом, фазовые траектории в плоскости ~~0~1 имеют вид ветвей парабол. Если к ним присоединить начало координат, то в нем они будут иметь общую касательную — ось 0(1. Фазовый портрет в переменных ~1,~з и х1, хз изображен на рис. 10.1 и 10.2 соответственно. Рис.
10.1 Рис. 10.2 При отрицательныхзначениях корней Л1 и Лз в силу теоремы 9.4, определения 9.5 и замечания 9.1 линейная однороднвл система ОДУ (10.3) асимнтотичесни устойчива, так как все решения этой системы, согласно определению 9.2, асимптотически устаойчивы, что позволяет, согласно замечанию 10.1, говорить в данном случае об асимптотической устойчивости положения равновесия системы. На фазовой плоскости оно отвечает началу координат, куда по каждой из фазовых траекторий стремится изображающая точка при 1 -+ +со.
В данном случае положение равновесия называют устойчивым дэлом. 264 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ б. Пусть Л1 > 0 и Лг > О, причем Л1 < Лз. В этом случае, рассуждая аналогично случаю отрицательных корней, придем к выводу, что фвзовые траектории имеют ту же форму. Однако при 1 -+ +со движение изображающей точки по фаэовой траектории происходит от начала координат. Поэтому фазовый портрет совпадает с изображенным на рис. 10.1 и 10.2, но стрелки направлены в обратном направлении. Решение х,($) = = 0 системы (10.3), а значит, и положение равновесия в начале координат при положительных корнях характеристического уравнения будут в соответствии с теоремой 9.4 и определением 9.4 неустойчивыми но Ляпунову. В этом случае говорят, что положение равновесия в начале координат, называемое неустойчивым узлом, не является устойчивым.
в. Корни Л1 и Лг имеют разные знаки. Пусть для определенности Л1 < О, а Лг > О. В случае С1 — — О, Сг ~ 0 получим 6 =О, чэ = Сэе"м и (з — ьсо при Ф-++ос, т.е. фазовая траектория — полуось оси О~э (вйп~з = вяпСг), а движение изображающей точки происходит от начала координат.
Если С1 ф 0 и Сэ = О, то имеем ~г = О, (1 = С|е"'~ и ч1-+ 0 при Ф-++оо (фвзовая траектория — полуось оси 0~1 (айпи = вяпС1), а движение изображающей точки происходит к началу координат). При С| ФО, С2 фО уравнение фазовой траектории, полученное исключением из (10.7) времени Ф, будет (г = с(~", где с = совв1 и а = Лг/Л1 < О, т.е. фаэовые траектории имеют вид гипербол, для которых оси 0~1 и 0(з являются соответственно горизонтальной и вертикальной асимитотами.
Фазовый портрет в переменных 5, (г и хм хг изображен на рис. 10.3 и 10.4 соответственно. Положение равновесия в начале координат, соответствующее невозмущенному движению х,(1) г— я О, в этом случае называют седлом. Седлу соответствует невозмущенное движение х($) гн О, которое в силу определения 9.2 не будет асимптотически устойчивым решением системы (10.3).
Поэтому, согласно замечанию 10.1, седло не является асимптотически устойчивым положением равновесия. 2бб 10.1. Фаэовый портрет системы Рис. 10.4 Рис. 10.3 г. Один из корней равен нулю (пусть для определенности Л1 ~ О, а Ло = 0). В этом случае из (10.7) имеем 5(1) ее Сг = = сопяС. Это тождество задает в плоскости ~10(з семейство прямолинейных фазовых траекторий, параллельных оси 0(1.
Направление движения по ним изображающей точки зависит от знака корня Л1. Если Л1 < О, то С1-+0 при 1 — ~+ос и ее движение происходит в направлении к оси Осз. Если же Л1 ) О, то С1 -+ оо при $ -+ +ос, и ее движение происходит в противоположном направлении. Из характеристического уравнения (10.5) следует, что один из корней будет равен нулю при условии амазз — агяаз1 = О, т.е.
когда матнрнца А системы ОДУ (10.3), записанной в виде ос ' ~аз1 ая1 1 ' является вырожденной. В этом случае однородная система Аж = 0 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет бесконечное иножестпео решений, которым в силу определения 8.2 положения равновесия системы ОДУ соответствует бесконечное множество ее положений равновесия. Действительно, всякал точка оси ОСо, т.е. прямой С1 = О, является в 266 10. ОсОБые тОчки ИА ФАЗОВОи плОскОсти данном случае положением равновесия системы (10.8).
Соответствующие положениям равновесия решения системы (10.8) и отвечающие им невозмущенные движения, согласно определениям 9.1 и 9.2, при Л1 < 0 являются устойчивыми по Ляпунову, но не будут асимптотически устойчивыми, а при Л~ > 0 — неустойчивыми по Ляпунову. 2. Корни действительные кратные. Обозначим Л1= = Лг = Л. В этом случае могут возникнуть два существенно различных варианта в зависимости от значений коэффициентов аш и аз~ в правой части (10.3).
а. При аш = аг1 = 0 система (10.3) является, по существу, совокупностью двух независимых линейных однородных ОДУ первого порядка с решениями х1(1) = С~с~и~, хг($) = Сэев"1 (10.9) причем аы = аэг = Л. Тогда, исключив из (10.9) время 1, получим уравнение Сгх1 — С1хг = 0 пучка прямых в плоскости х10хэ, проходящих через начало координат, которое следует рассматривать как положение равновесия (10.4) такой системы. Каждая полупрямая, не содержащая начало координат, будет фазовой траекторией, а изображающая точка будет приближаться по ней к началу координат, если Л < О, и удаляться от него, если Л > 0 (случай Л = 0 рассмотрим особо). Фазовый портрет для случая Л < 0 изображен на рис.
10.5. Положение равновесия в начале координат называют динрип1ичесннм узлом. Такое положение равновесия в соответствии с замечанием 10.1 яв- ляется асимптотически устойчивым Рис. 10.5 при Л < 0 и не будет устойчивым при Л > О. Частный случай Л = 0 возможен, если все коэффициенты в правой части системы (10.3) равны нулю. Тогда любал точка (хо1, хог) фазовой плоскости является положением равновесия 10.1.
Фвоовый яортрет системы 267 такой системы, а соответствующее ему невозмущенное движение х(с) = хв = (хв1, хго), согласно определениям 9.1 и 9.2, устойчиво по Ляпунову, но не является асимптотически устойчивым. б. Пусть хотя бы один из коэффициентов агг и а21 в правой части (10.3) не равен нулю.
Положим для определенности, что агг ф О. Исключим из системы (10.3) переменное хг. Для этого продифференцируем первое уравнение этой системы: дгх1 дх1 Ыхр — = ап — +а1 —. гд~,ц,ц~ Подставляя в это соотношение вместо дхг/дг правую часть второго уравнения системы (10.3), находим дгх1 дх1 — = ОП вЂ” + О12О21Х1 + О12О22Х2. ,~~2,ц~ Выразив аггхг через переменное Х1 при помощи первого уравнения системы (10.3), подставляем в последнее соотношение.
Получим линейное однородное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Огх1 дх1 дсг — — (ап + агг) — + (опагг — а12О21) х1 = О, (10.10) й характеристическое уравнение которого, естественно, совпадает с (10.5) и имеет в рассматриваемом случае кратные корни Л1 = Лг = Л. Общее решение ОДУ (10.10), согласно (6.46), будет х1(1) = (С1 + Сге) еА', С1, Сг = сопвС. (10.11) Подставив (10.11) в первое ОДУ системы (10.3), найдем хг(1) = (С1 + Сгс) е"с + — Сге" .
(10.12) а1г аш Используя (10.11) и (10.12), общее решение системы (10.3) в случае корня Л кратности 9 = 2 запишем на основании теоремы 5.11 в виде х(1) = х(1) = (Х1($), хг(1)) = с1(1)а1+сг($)аг, (10.13) 268 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ где (1(1) = (С1 + С11)е~~ и (з(1) = Сзем — координатные функции вектор-функции ж(1) в базисе, образованном линейно независимыми векторами а1 = (1, (Л вЂ” ам)/а11) и аз = (О, 1/ад)'.
При С1 = Сз = 0 имеем положение равновесия системы в начале координат. Если С~ ф О, а Сз = О, то фззовые траектории являются полуосями оси О~~ (в8п~1 = в8пС~). При Сз ФО имеем 1= (1/Л)1п(~з/Сг~ и в системе координат 06(г получаем уравнение фазовой траектории в виде 1 6 = (С+ — 1п!~з!) ~з, С =соп81. Л В случае Л (0 при 1-++ос как (~ -~ О, так и ~з -+ О, т.е. изображающая точка по каждой из фазовых траекторий неограниченно приближается к положению равновесия (10.4) в начале координат, но не достигает его.
Фазовый портрет для этого случая в переменных Сп (з и х1, тз (при произвольной ориентации линейно независимых векторов а1 и аз) показан на рис. 10.6. Рис. 10.6 В случае Л > 0 фазовый портрет аналогичен, но направление движения изображающей точки противоположно. Положение равновесия в обоих случаях называют вырожденным узлом. В соответствии с замечанием 10.1 оно асимптотически устойчиво при Л < 0 и не является устойчивым при Л > О. 269 10.1. Фееоеый портрет системы В случае А = 0 координатные функции принимают вид 6(1) = С + С 1, 6(1) = Сг. Прямолинейные фазовые траектории параллельны оси 0(1, все точки которой являются положениями равновесия. Направление движения изображающей точки по фазовой траектории зависит от знака постоянной Сг.
3. Корни комплексно сопряженные. Условием возникновения комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (10.5) является выполнение неравенства (ап + агг) ( 4(амагг — а1гаг1), — 13 = (аы — агг) +4а1гаг1(0. г г Отсюда следует, что коэффициенты а1г и аг1 должны быть отличны от нуля и иметь разные знаки.
Тогда Лиг = р х т13 (Р = — 1), причем и = (ап + агг) /2. Действительное решение ОДУ (10.10), соответствующего системе (10.3), можно записать в виде (см. 6.4) х1(1) = (С1 сое/й+ Сгв1п,Ж)е"', С1, Сг = сопвС. (10.14) Подставив (10.14) в первое ОДУ системы (10.3), получим хг(1) = (С1 соярс+ Сгв1прс) е" + аш + — (Сг сов Я вЂ” С1 ьйп131)е" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
