VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для нормальной однородной системы (9.12) линейных ОДУ с постпоянными коэффициентами функцию Ляпунова следует искать в классе квадратичных форм: У(х) = хтВх, где матрица В является искомой. Полная производная в силу системы (9.12) в таком случае будет дУ вЂ” = хт(АтВ+ ВА)х й Потребуем теперь, чтобы квадратичная форма У(х) удовлетворяла уравнению дУ/4й = тУ, где тУ(х) = х Сх — заданная квадратичная форма.
Для нахождения матрицы В запишем матричное уравнение (9.29) А'В+ВА=С. Исследование уравнения (9.29) представляет большой интерес, поскольку оно позволяет по заданной полной производной функции У(х) в силу системы (9.12) найти эту функцию в виде квадратичной формы.
Справедливо следующее утверждение: если корни характеристического уравнения системы (9.12) таковы, что Л +Ль-4 О ни при каких у, к = 1, и, то, какова бы ни была наперед заданная квадратичная форма тУ(х) = хтСх, существует единственная квадратичнвл форма У(х) = х Вх, Д.9Л. Библиографический комментарий 257 удовлетворяющая уравнению Л'/~й = Иг. Заметим, что если все КеЛ ( О, 9 = 1, и, то условие Л + Ла 9йО будет заведомо выполнено. Дополнение 9.1.
Библиографический комментарий В этой главе даны лишь основные сведения о теории устойчивости: приведены основные определения, понятия и формулировки основных теорем. Поэтому ее можно рассматривать как вводную. Читателю, который хотел бы более углубленно ознакомиться с этой теорией, рекомендуем следующие книги. В качестве учебного пособия для первоначального знакомства хороша книга Д.Р. Меркина. В этой книге акцент сделан на прикладной характер теории устойчивости: разобрано большое количество прикладных задач из различных областей естествознания.
В ней читатель найдет доказательства теорем 9.8 — 9.11. В книге Б.П. Демидовича систематически изложены основы теории устойчивости решений ОДУ. Упор сделан на математическую сторону вопроса, следствием чего являются точность формулировок и строгость доказательств. Приложения теории затронуты весьма незначительно. В этой книге читатель найдет доказательства теорем 9.5 — 9.7. Наряду с указанной учебной литературой имеется ряд прекрасных книг монографического характера. В первую очередь сюда можно отнести книгу Н.Г. Четаева. Однако чтение этой книги требует от читателя определенной подготовки.
В ней, в частности, изложены основные критические случаи, исследованные А.М. Ляпуновым: пара чисто мнимых корней и один нулевой корень у характеристического уравнения. Детальный анализ ряда других критических случаев читатель найдет в книге И.Г. Малкина. И та, и другая книги содержат решения многих прикладных задач. Обобщению классических теорем Ляпунова и Четаева, а также проблеме существования функций Ляпунова посвящена книга В.В.
Румянцева и А.С. Озиранера. В ней также излага- 258 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ется материал по применению дифференциальных неравенств в теории устойчивости. Теория иллюстрируется примерами из механики и примерами математического характера. Вопросы и задачи 9.1. Используя теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, исследовать на устойчивость невозмущенное движение Х1(с) = хг(с) аз О, соответствующее следующим системам уравнений возмущенного движения: а) б) Зх1хг — 31П (х1 + хг); 2 ° 2 + 1п(1+ хгхг) — бх4 + хзг в) 9.2. Построением функций Ляпунова показать, что асимптотически устойчиво невозмущенное движение х1(с) = хг(с) = = О, соответствующее следующим системам уравнений возмущенного движения: зс — = -Х1-х,/3-х1 31пхг' сй 1, с1хг з — — ~з; сй 9.3.
Построением функций Ляпунова показать, что невозмущенное движение х1(с) = хг(с) = О, соответствующее системе уравнений возмущенного движения ох1 2 с'хг 2 3 — = — бх,хг., — = — Зхг+ 6Х1, сй сй устойчиво (в данном случае функцию Ляпунова следует искать в виде многочлена от фазовых переменных Х1 и хг). — = 1п(хг+е *'); ЫХ1 гас сй 13Х2 — = хг-1+~/1 — Зх1 ,' сй сЬ1 — =хг-х1+ сй 11Х2 — = 2х1 — Зхг сй ОХ1 2 2 2Х1+хг Х1+хг' сй с1хг — = — 38хг+ е*' — 1; сй с1х1 2 3 — = х1хг — Х1/2; б) ОХ2 3 2 — = — хг(2+хгх1/5. сй 1о.
Осовые точки НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 10.1. Фазовый портрет системы Рассмотрим нормальную автпономпую систему, состоящую из двух обыкновенных диффереппаальнмх уравнений (ОДУ) дх1 Р(хм хг)~ ас дхг — = аахм хг). дг (10.1) Здесь Р, Я вЂ” функции, непрерывно дифференцируемые в некоторой области Х1 изменения фазовых переменных х1 и хг; 8 — время. Системе (10.1) присущи три типа фазовых траекторий на фазовой плоскостпи х10хг: точка, эамкнупгая кривая и незамкнутая кривая.
Точкам соответствуют положения равновесия систпемы, т.е. такие решепал систпемы, при которых фазовые переменные хмхг не изменяются во времени $, т.е. х1(ь) ьз = хе» хг(ь) = хег, хв» хг о—— сопвФ. Замкнутые кривые на фазовой плоскости изображают решения, описываемые пермодическами фупкпаями х1(ь) =х~(С+Т1), хг(й) =хг(й+Тг) с периодами Т1 и Тг соответственно, удовлетворяющими условию тТ1 = пТг, т, п Е Я. Такие решения называют периодическими.
Незамкнутые кривые на фазовой плоскости изображают решения системы (10.1), которые не являются периодическими. Основная задача при качественном исследовании системы (10.1) — установление структуры разбиения фазовой плоскости на траектории. Картина, которую образуют фазовые 2б0 пь ОсОБые тОчки ИА ФАЗОВОЙ плОскОсти траектории на плоскости х10хз, носит название фазовоео портрета системы (10.1). Каждая из фазовых траекторий является годографом вектора х($) = (х1($), хз(Ф)) (10.2) решения системы (10.1), если начало этого вектора зафиксировать в начале системы координат Ох1хз на фвзовой плоскости, т.е. считать (10.2) радиус-вектором.
При таком условии х(ь) называют филовым вектором. Обратимся к случаю, когда (10.1) является однородной системой линейных ОДУ с постоянными коэффициентами: Ых~ — = аых1+ ашхз,. сМ (10,3) ах2 — = амх1+ аззхз. й Если аыазз — ашаю ф О, то система (10.3) имеет единственное положение равновесия в начале координат, т.е. (10.4) х1=хз =О. Этой точке фазовой плоскости отвечает тривиальное рещение системы (10.3) х,(Ф) ив а О, которое можно рассматривать как невоэмущенное движение. Замечание 10.1. Часто понятия устойчивости и асимптотической устойчивости системы, введенные определениями 9.4 и 9.5, переносят на невозмущенное движение и непосредственно на соответствующее ему положение равновесия системы и говорят об устойчивости или асимптотической устойчивости положения равновесия.
Характер поведения фазовых траекторий системы (10.3) на фазовой плоскости х10хз определяют корни Л1 и Лз харак- 261 10.1. Фазовый портрет системы теристическозо уравнения = Л вЂ” (ам+агг)Л+аыагг — агга21=0. (10.6) ! ап — Л а 12 г а21 а22 — Л Эти корни могут быть либо действительными (Л1,Л2 Е К), причем простыми (Л1 ф Лг) или кратными (Л1 = Лг), либо комплексно сопряженными (Л1, Лг Е С, Лг = Лд). Рассмотрим каждый из этих случаев. 1.
Корни действительные простые. В этом случае общее рещение системы (10.3) в векторной форме имеет вид х(1) = (х1($), хг(1)) =С1е""а1+Сге""аг, (10.6) где С1 и Сг — постоянные; а1 и аг — собственные векторы матрицы системы ОДУ. Векторы а1 и аг линейно независимы, поскольку отвечают различным собственным значениям Л1 и Лг этой матрицы и, следовательно, образуют базис на фазовой плоскости. Тогда 6(с) = С1е~'~, 42(с) = Сге~'~ (10.7) являются координатными функциями вектор-функции х(1) в этом базисе. В общем случае направления векторов а1 и аг не совпадают с направлениями координатных осей Ох1 и Охг и система координат 0~142, вообще говоря, не является прямоугольной.
Однако для наглядности удобно использовать переменные С1, Сг как прямоугольные координаты другой плоскости и изображать поведение системы на этой плоскости в прямоугольной системе координат О(1(2. В такой системе координат фазовую траекторию в параметрической форме задают соотношения (10.7), причем роль параметра играет время 1. Если положение точки на фазовой траектории характеризовать значением с, то 262 10. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ при помощи (10.7) можно проследить за ее движением по фазовой траектории, так что именно в этом смысле оправдано использование термина „траектория" (от латинского Фга1есФпв— передвижение). В этом случае движущуюся гпочку называют пзображшощей.
Ясно, что координаты х1, хз и ~1, ~з одной и той же точки фазовой траектории связаны линейным преобразованием, которое несколько видоизменяет фазовый портрет при переходе от одной системы координат к другой, но сохраняет его основные особенности. Эти особенности существенно зависят от знаков корней Л1 и Лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
