VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пример 11.1. Так, для линейного однородного ОДУ второго порядка — +у=О д'у дхз (11.4) общее решение имеет вид у(х) = С1 сов х+ Сза1пх. Если в точке хс = 0 задать начальные условия у(0) = уе и у'(0) = уш то по этим условиям единственным образом находим значения произвольных постоянных С1 =ус и Сз = ус, так что соответствующая этим условиям задача Коши имеет единственное решение у(х) = уе соя х+ ус ьйпх.
Теперь зададим краевые условия в точках х= О и х= 6: у(0) =0 и у(Ь) = ум Подставив общее решение ОДУ в первое краевое условие, найдем С1 = О, а из второго краевого условия следует, что Сз = уа/ ьйпЬ. Казалось бы, удалось получить единственное решение у(х) = (уаашх)/гйпЬ краевой задачи. Но при уа ~ 0 и Ь = я решения не существует, а при уа = 0 и Ь=я этим краевым условиям и ОДУ (11.4) удовлетворяют бесконечное множество решений у(х) = Сашх, где С вЂ” произвольная постоянная. Из этого примера должна быть понятна необходимость выяснения вопроса о существовании и единственности решения краевой задачи прежде, чем искать методы нахождения этого решения. и. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ 286 Для ОДУ и-го порядка Р(х,у,—,...,— „) О ду д"у краевую задачу (не обязательно двухточечную) формулируют следующим образом: найти решение у(х) этого ОДУ, такое, что значения функции у(х) и ее производных ду/дх, ..., й~")у(дх<") (р(п — 1) в точках х (у =1,т, т> 2) удовлетворяют п независимым краевым условиям Ф; = 0 (( = = 1, и), причем аргументами каждой из функций Ф; могут бытьзначения у(х) иеепроизводныхвлюбыхточках х .
Аналогично можно сформулировать краевую задачу и для системы ОДУ. Например, краевая задача определения траектории материальной точки массой т, находящейся в момент времени Ь = 1о в точке с радиус-вектором г(1е) = 1 о и попадающей в момент времени $1 > 1в в точку с радиус-вектором г(г1) = гм имеет вид дгг л бтра т — = р ~~ 1 — ] г(гв) =го г(г1) ='1. (116) йз ' 'й 11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши Рассмотрим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка — +р(х) — + д(х) у = у(х), х Е (а, Ь].
(11.6) дгу ду дхз дх Функции р(х), д(х), Дх) предполагаем непрерывными на отрезке [а, Ь]. Требуется найти на этом отрезке решение у(х) ОДУ (11.6), удовлетворяющее краевым условилм ооу(а)+ ач у'(а) = А; шоу(Ь) + р1 у'(Ь) = В. (11.7) 11.2.Линейвае крвевае задача 287 Здесь ов, ам А, Д>, Д,  — постоянные, причем )ав(+ ~а~! ф О, узо!+ !Д! ~ О. Этот вариант краевых условий является линейной комбинацией краевых условий первого и второго рода, и его принято называть краевыми условилми третьего рода. В частном случае ав = Вв =1 и сп = Д =О соотношения (11.7) переходят в краевые условия (11.2) первого рода, а при ав = ~3в = О и а~ = Д = 1 — в краевые условия (11.3) второго рода.
Т1остановка двухточечной краевой задачи в виде (11.6), (11.7) включает линейное ОДУ второго порядка и линейные относительно значений искомой функции и ее производных краевые условия. В таком случае говорят о линейной двухточечной краевой задаче. Ее называют однородной, если Дх) = О и А = В = О, и неоднородной — в противном случае. Однороднвя краевая задача всегда имеет тривиальное решение у(х) е— в О. Однако в прикладных исследованиях часто для однородной задачи представляют интерес решения у(х) ф О. В этом случае в ОДУ или краевые условия (11.7) вводят параметр, изменяя который можно добиться, чтобы при некоторых его значениях однороднвл краевая задача помимо тривиального имела решение, отличное от тождественно нулевого.
В некоторых случаях такой параметр уже присутствует в исходной формулировке краевой задачи и имеет вполне определенный физический, механический или геометрический смысл (см. 11.3). Эти исключительные значения параметра, при которых однородная краеввл задача имеет решение, отличное от тривиального, называют собственными значениями, а отвечающие им решения — собственными функциями этой задачи. Нахождение собственных значений и собственных функций составляет содержание так называемой задачи на собственные значения, или задачи Штурма — Лиувиллл.
Краевую задачу (11.6), (11.7) можно свести к задачам Коши для того же ОДУ (11.6) второго порядка и соответствующего 288 П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ ему однородного ОДУ ази аи — + р(х) — + д(х) и = О. Нхз дх (11.8) Для этого решение краевой задачи будем искать в виде у(х) = ри(х) + о(х), р = сопоФ, (11.9) где и = и(х) — нетривиальное решение однородного ОДУ (11.8), а е(х) — решение неоднородного ОДУ (11.6). Ясно, что (11.9) как линейная комбинация решений неоднородного ОДУ и соответствующего ему однородного уравнения также является решением ОДУ (11.6).
Потребуем, чтобы первое из краевых условий (11.7) было выполнено для у(х) при любом значении р. Подставив (11.9) в это краевое условие, запишем рао и(а) + ао о(а) + ро1и'(а) + а1 о'(а) = А. пои(а)+а1и'(а) =0; аоо(а)+а1и'(а) =А, для выполнения которых достаточно, например, положить и(а) = аы и'(а) = — ао' (11.10) о(а) = А/ао, о'(а) = О, ао Ф О. (11.11) В случае ао = 0 вместо (11.11) положим и(а) = О, о'(а) = А/аы а1 ф О. (11.12) Таким образом, и(х) есть решение задачи Коши для однородного ОДУ (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.10), а е(х) — решение задачи Коши для неоднородного Это равенство будет выполнено при любом значении р, если приравнять нулю коэффициент при р, что приведет к двум равенствам 289 11.2.
Лияейяаа краеааа задача ОДУ (11.6), удовлетворяющее начальным условиям (11.11) или (11.12). При этом для любого д функция у(х) = ии(х)+и(х) удовлетворяет первому из краевых условий (11.7) (при х = а). Постоянную р выбирают так, чтобы функция у(х) удовлетворяла второму из краевых условий (11.7) (при х = Ь), т.е. р(р и(Ь)+р '(Ь))+р и(Ь)+р цЬ) =В. (11.13) Если выполнено неравенство )7еи(Ь) + р1 и'(Ь) Ф О, (11.14) то иэ (11.13) находим  — Вес(Ь) — В1 и'(Ь) Р (11.15) ,Веи(Ь) + )31 и (Ь) В у=я'(х)~ Р= 3 (Ь) 9,(ь)1 (1116) где и(х) — решение ОДУ (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.10). 1Π— 9306 Итак, краевая задача (11.6), (11.7) сведена к двум задачам Коши относительно функций и(х) и е(х) для однородного (11.8) и неоднородного (11.6) ОДУ соответственно. Эти ОДУ удовлетворяют всем условиям теоремы 4.3 Коши о существовании и единственности решения задачи Коши, т.е.
существует единственное решение и(х) ОДУ (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.10), и единственное решение и(х) ОДУ (11.6), удовлетворяющее начальным условиям (11.11) или (11.12). Поэтому при выполнении неравенства (11.14) существует решение рассматриваемой линейной краевой задачи (11.7), (11.8). Отметим, что если исходное ОДУ (11.6) будет однородным, т.е. Дх) = О, и в (11.7) А = О, то в силу начальных условий (11.11) или (11.12) имеем и(а) = 0 и е'(а) = О, и поэтому и(х) = О. Тогда при выполнении неравенства (11.14) получим 290 11.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ В примере 11.1 была рассмотрена краевая задача для однородного ОДУ (11.4) с краевыми условиями первого рода, т.е. ов =,Во = 1 и о1 = Д1 = О. Этому ОДУ и заданному в точке х = 0 условию и(0) = 0 удовлетворяет решение и(х) = япх. Так как и(6) = япЬ ~ 0 при Ь у~ ая (а Е У), то в этом случае неравенство (11.14) будет выполнено и, согласно (11.16), при В = рв имеем у(х) = рвяпх/вгпЬ, что совпадает с полученным в примере 11.1 результатом. Но два других варианта краевых условий, рассмотренных в этом примере, для которых принято Ь = я, обращают левую часть (11.14) в нуль. Решение краевых задач с этими краевыми условиями изложенным методом найти нельзя.
Отметим, что в одном случае решение не существует, а в другом существует, но не единственно. 11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи Необходимость в рассмотрении и поиске решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) часто возникает при проведении прикладных исследований в различных областях науки и техники. В большинстве встречающихся на практике случаев удается ограничиться постановкой и решением нраевоб задачи для ОДУ второго порядка на некотором отрезке изменения независимого переменного.
Пример 11.2. Рассмотрим металлический трубопровод тепловой магистрали, покрытый кольцевым слоем теплоизоляции, имеющим внутрений радиус Во и внешний радиус В (рис. 11.3). Стенка трубопровода нагрета до постоянного значения температуры То, а на внешней поверхности теплоизоляции происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру Т,. Интенсивность теплообмена характеризует коэффициент а = сопв1. При таких условиях в слое теплоизоляции возникнет постоянное во времени, но меняющееся вдоль отсчитываемой от оси трубопровода радиальной )1.3.
Прикладные примеры решеиил краской задачи 291 координаты г распределение темпе- Т ратуры Т(т). Нахождение этого распределения важно для оценки рассеиваемого в окружающую среду коли- ! чества теплоты и суждения об эффективности применяемой теплоизо- о 1~~ ляции, для выбора внешнего радиуса г В, обеспечивающего допустимые теплопотери. Из курса физики известно, что вектор и плотности теплового по- Рис. 11.3 тока, передаваемого путем теплопроводности в веществе при неравномерном распределении температуры Т, пропорционален ее градиенту уайТ: д=-Лбг йт, где Л вЂ” коэффициент теплопроводности вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
