VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если является внутренней шочной промежутка Т, то существует окрестность этой точки, в которой решение «(Ф) меняет знак. Будем считать, что заменой (7.5) линейное однородное ОДу (7.1) второго порядка с переменными коэффициентами уже приведено к двучленному виду (7.7). Если в промежутке Т, 7.2. Нуля решений.
Теорема о конечности числа нулей на отрезке 215 где определена и непрерывна функция д(с), решение ОДУ (7.7) имеет не более одного нуля, то его называют ненолеблючцимсл в этом промежутке, а в противном случае — нолеблюи4илесл. Функция у(с) (7.4) отлична от нуля при любых 2 Е К. Поэтому в промежутке Т С К в силу (7.5) нули решения «($) ОДУ (7.7) и решения у(8) ОДУ (7.1) совпадают.
Для любого ненулевого решения ОДУ (7.7) справедлива следующая теорема. Теорема 7.1. Всякое нетривиальное на отрезке [а, Ь] решение ОДУ (7.7) может иметь на этом отрезке не более конечного числа нулей. м Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что нетривиальное решение «(2) имеет на [а, 6] бесконечное леножестпво нулей Ф„, т.е. «(2„) = О, п Е д1. Так как последовательность (с„) ограничена, то, согласно теореме Вольцано — Вейерштрасса [1], из нее можно извлечь подпоследоватпельностпь (2ь„), сходящуюся к конечному пределу, т.е. на отрезке [а, Ь] существует предельное точна 8' последоватпельностпи (1„), или 3 1пп «ь„=2 Е [а, Ь]. Не ограничивая общности, можно считать, что $о -+ $' при и — ь оо.
Так как «(со) = О, то вследствие непрерывности функции «(8) как решения ОДУ (7.7) имеем «(2*) = О. Из равенства «(2„) = «(1„+~) = О на основании теоремы Рояля [П] следует, что в интервале (1„,2„+~) найдется точка е'„,такая, что для дифференцируемой в этом интервале функции «(2) будет выполнено равенство д«/Ж~ = О.
Поскольку 2'„ -+ $' и=~'„ при и-+со, то сЬ/й! =«'(2') =О. п=н 216 7. НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Таким образом, в некоторой точке 1* Е [а, Ь1 отрезка имеем г($,) = О, г'(Ф') = О. Но таким начальным условиям в силу теоремы 4.2 Коши о существовании и единственности решения ОДУ и-го порядка, условия которой выполнены для уравнения (7.7), соответствует только тривиальное решение г(Ф) = О этого ОДУ. Полученное противоречие и доказывает теорему. ° 7.3.
Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера Пусть г1(ь) и гг(ь) — линейно независимые в некотором промежутке Т С К, а значит, и нетривиальные в этом промежутке (см. замечание 6.1 и определение 6.1) решения линебного однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) (7.7) и пусть хотя бы одно из этих решений, например г1(1), является в Т колеблющимся, т.е. имеет в нем не менее двух нулей.
Эти решения не могут иметь в Т общих нулей. В самом деле, если в некоторой точке 1, е Т г1 (ь',) = гг(ь'„) = О, то вронсниан (6.9) этих решений в ней равен нулю и, согласно формуле (6.14) Остпроградсного — Диувилля, он равен нулю во всем промежутке Т, что противоречит линейной независимости решений г1(Ф) и гг(Ф) в Т (см. 6.1).
Теорема 7.2 (о чередовании нулей). Если г1(Ф) и гг(8) — линейно независимые решения ОДУ (7.7) в промежутке Т и одно из них колеблющееся, то их нули чередуются, т.е. между двумя нулями одного решения лежит нуль другого решения. ч Пусть г1(й1) = я|(йг) =О и г1(1) фО при 1й (йд, йг) С Т, т.е.
Ф1 и Фг — соседние нули решения г1(ь). Покажем, что решение гг(Ф) имеет нуль Ф, Е (ьы Фг). Предположим противное, т.е. гг(й) ~ О при й Е (ьд, йг), и рассмотрим непрерывно дифференцируемую в интервале Ч.З. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнение и Клевера 217 (с1> Фг) функцию и(Ф) = 21(с)/лг(Ф). Вычислим с учетом (6.9) ~ 21(с) 22(Ф) ~~4-~~22 )4(~) 4() Н'(~) ~ „( ) г г г ~О 'йЕ(11 22)) 22 лг лг (с) так как вронскиан для двух линейно независимых решений линейного однородного ОДУ второго порядка отличен от нуля. В то же время и(с1) = и(лг) = О, и, согласно теореме Ролла [1Ц, найдется точка 4 Е (с1, $2), такая, что и'(Ч) = О. Полученное противоречие означает, что решение яг(с) обращается в нуль в интервале (11, сг).
При этом в (21, Фг) может быть только один нуль этого решения. Действительно, если се1 и слг — соседние нули лг(с), причем с1 < сл1 < аг < Ф, то, повторив проведенные рассуждения для интервала (а1, аг), но поменяв ролями решения 21($) и лг($), придем к противоречию.
1в Например, функции 21(1) = соас, лг(с) = а)пс линейно независимы на всей числовой прямой (см. пример 6.2) и являются решениями ОДУ сР2/йг + л + л = О. Нули этих ре- 1 г 1 шений чередуются: между соседними нулями 21(с) лежит один нуль 22(с), и наоборот (рис. 7.1). Рнс. 7.1 Теорема 7.3 (сравнення). Пусть даны два ОДУ вида (7.7) СРЛ1 и Лг — +91(г)21 = О, — +92(с)лг = 0 (7 8) осг сйг с непрерывными в некотором промежутке Т С Ж функциями 91(г), дг($)) такими) что 91(Ф) (дг($)* И Е (г1) гг) СТ. Тогда между любыми двумя соседними нулями нетривиального в Т *Мы предполагаем, что функции д~(1) н ое(1) могут совпадать в отдельных точках промежутка Т, но не равны тождественно ни на каком интервале в промежутке Т.
218 7. НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА решения хд(х) первого ОДУ лежит по крайней мере один нуль любого нетривиального в Т решения хх($) второго ОДУ. < Пусть хд < 3х — соседние нули решения хд(х), т.е. «д($д) = = «д (дх) = О. Подставим в оба ОДУ (7.8) решения соответственно «д(д) и хх(1), умножим первое из полученных тождеств на хх($), а второе — на -«д(1) и после сложения результатов запишем дд г, хд (д) хх (д) — ххл(д) хд (х) д— н — ~хд (х) хх (д) — хх (д) «д (й)) = Ж - =(чг(д) — 9д(д)) «д(1)«х(д), ~ Е (хд, ~г).
Учитывая, что хд(дд) = «д(дх) = О, проинтегрируем среднюю и правую части этого тождества от 1д до Фх . ',(Ф ) (1 ) — к(О )* (1 ) — = 1 (д (~) — дф) Я~фй. (7.9) Примем для определенности, что «д(Ф) > О П Е (Дд, Фх). Тогда, так как хд($д) = хд($г) = О, будем иметь х~д($д) > О и х~(1«) < О.
Последующие рассуждения проведем от противного. Предположим, что решение хх(х) не имеет нулей на интервале (хд,$х). В этом случае, считая, что хх(й) > О Чй Е (хд,хх), заключаем, что левая часть (7.9) неположительна («х(йд) > О и хх(дх) > О в силу непрерывности хх(Ф) ), тогда как интеграл в правой части (7.9) в силу сделанного предположения положителен. Возникшее противоречие неустранимо и в случае, когда «х($) < О И Е (хд, дх). Это противоречие доказывает, что при «д(д) > О дйб (дд, $х) решение хх(х) должно менять знак в интервале (Дд, Дх), т.е.
иметь в этом интервале хотя бы один нуль. Аналогично можно убедиться, что, приняв хд(Ф) < О при Ф Е (дд, $х), снова придем к противоречию в тождестве (7.9), если предположить отсутствие в интервале (хд, 1«) нулей решения хх(д). ~ 7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнение н Кнеаера 219 Понятие о колеблющемся решении было введено французским математиком Ж. Штурмом (1803-1855), а теоремы 7.2 и 7.3, доказанные им, носят названия соответственно первой и второй теорем Штурма.
Следствие 7.1. Если в ОДУ (7.7) функция д(Ф) непрерывна и неположительна при 1 Е К', то любое решение этого ОДУ может иметь не более одного нуля, т.е. является иеколеблющимся. м Применим теорему 7.3 сравнения. Пусть в (7.8) 91(Ф) = д(1) < < 0 и дг($) =0 'Й Е К. Допустим, что решение л1($) первого ОДУ (7.8) имеет два нуля в точках Ф1 и Фг. "л1($1) =л1(Фг) =О. Но тогда в интервале (с1, сг) обязано обратиться в нуль любое решение уравнения оглг/да~ = О, а это неверно, например, для решения нг(Ф) = 1. 1 Пример 7.1. Применим теорему 7.3 сравнения для качественного описания поведения решения уравнения Зйри дглг — +глг = О.
сйг Это ОДУ находит применение в различных приложениях, например в квантовой механике. Возьмем произвольное достаточно малое число а ) О. Сравним уравнение Эйри с ОДУ дгл, г — + — лг =О, дгг „г одно из частных решений которого нг л1($) =вш св является периодической функцией с периодом 2а. Нули этого решения расположены равномерно на числовой прямой К, *Но не равна нулю тождественно ни на каком интервале, см, предыдущее примечание. 220 7.
НУЛИ РЕШЕНИЙ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА причем расстояние между соседними нулями равно се. Если Ф > (я/а)г, то в силу теоремы сравнения между соседними нулями решения я1(8) должен лежать хотя бы один нуль любого решения я(Ф) уравнения Эйри, т.е. расстояние между соседними нулями решения уравнения Эйри не превышает 2се. При возрастании т в неравенстве 4 > (я/а)г можно выбирать все меньшие значения а, так что при 1-1 +со соседние нули любого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются.
Теорема 7.4 (теорема Кнезера). Пусть для непрерывной в промежутке [Фо, +со), ге > О, функции д(Ф) выполнено условие 0 < д(8) < 1/(4тг)'. Тогда любое решение я(Ф) ОДУ (7.7) имеет в этом промежутке не больше одного нуля, т.е. является неколеблющимся. если же й(г) > (1+ с)/(44г) 'й т. [Фе, +оо) при е > О, то я(4) имеет бесконечное ниозсесптво нулей, т.е. является колеблющимся. агх аг — + — х= О йгг гг (7.10) и применим теорему 7.3 сравнения, в силу которой любое решение х(4) этого уравнения при аг = 1/4 должно иметь нуль в интервале ($1, 1г). Однако функция х($) = ~/г, являясь решением уравнения Эйлера при аг = 1/4, не имеет нулей на (41, Фг). Это противоречие доказывает первую часть утверждения теоремы. Пусть теперь д(Ф) > (1+ е)/(44г) (е > 0) в промежутке [го, +со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
