VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1. Предположим, что известно насосное решение р = ср(«) ОДУ (6.6) в промежутке Т. Выполним в этом ОДУ подстановку р = ~р(с)«(«) и вычислим в преобразованном ОДУ коэффициент при «(с). Так как дй ~й «+л дей,цй где т — выражение, содержащее только производные от «(с), то искомый коэффициент будет — + ас(с) — +... + а„(с)ср, с Е Т.
д" р д"-'ф сйо део-) Учитывая, что ср(с) — решение ОДУ (6.6), заключаем, что этот коэффициент в промежутке Т равен нулю. Поэтому ОДУ для «(«) можно записать в виде р(с) — „„+ь,(г) „„, +...+Ьс(г) „„,. +...+ь„,(г) — =о, дп«аи « д" '« д« где функции 61(Ф) (,с = 1, н — 1) можно выразить через функции а;(1) (с =1, н) в (6.6) и известное решение ср(Ф). Порядок этого ОДУ можно понизить подстановкой и = д«/ас. Если и = 2, то при этом получим ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Для ОДУ второго порядка (и = 2) найти второе решение, линейно независимое с ср(Ф), можно с помощью формулы Остроградского — Лиувилля,которая в данном случае имеет вид с р(г) Р(~) /=с е( ) есс)е), с=и'е,с се 184 б.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ После раскрытия определителя и преобразований получаем линейное неоднородное ОДУ первого порядка для неизвестного решения у($): 2. Линейное однородное ОДУ (6.6) можно свести подстановкой ы = у'/у к ОДУ (и — 1)-го порядка, но уже нелинейному. Последовательно вычислим ду .
дзу — =аду. — = ' — +ю 'у. щ,ц2 (,,ц т.е. все производные от у(1) имеют вид д" у дн! д Ф вЂ” = Рл (и, —, ...,, /'у, к = 1, п, где г), — известные функции указанных аргумеювов. Если подставить зти выражения для производных в ОДУ (6.6), то придем, вообще говоря, к нелинейному ОДУ (и- 1)-го порядка не разрешенному относительно старшей производной. ю = у'/у линейное однородное Пример. Подстановкой ОДУ второго порядка — + а1($) — + а2 И)У = 0 д'у ду Щ2 д1 6.4.
Линшвые ОДУ с постоеввыни коэффициентами 185 можно привести к уравнению Риккатаи (3.26) ( — + тог) у + а1Ятоу + аг(т) у = О, или — +ат($)то+то +аг(т) =О дто г Нй которое можно проинтегрировать, если известно какое-либо его частное решение. 6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Случай различных корней характеристического уравнения Если в линейном неоднородном обыкновенном дифференциальном уравнении (ОДУ) (6.1) и-го порядка все функции ат($) = сопвФ (т' = 1, и), то ОДУ де ~п-1 дть-т — + ат — +... + а; —. +...
+ а„у = д(т), а; Е К, (6 26) атп атл-1 т атп-т называют линейным неоднородным ОДУ и-го порядка с постпо*нными коэффициентпами. Ему соответствует однородное ОДУ с постпоянными коэффициентпами — „+а1 +...+а; „, +...+а„у=О. (6.27) Заметим, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения соответствующей задачи Коши для ОДУ (6.27) заведомо выполнены на всей числовой прямой.
В 6.2 было показано, что, зная общее рещение однородного ОДУ вида (6.27), путем иннтегрирования можно найти общее 186 б. ЛИИЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ реитение неоднородного ОДУ вида (6.26). Поэтому сосредоточим внимание на методе нахождения решений для однородного уравнения (6.27). Введем символический оператпор р = Н/Ж дифференцирована*по Ф и представим производные у(О(т) (т=б,п) как символические произведения р'у степеней оператора р и дифференцируемой функции у(т), считая, что при т = О такое произведение равно этой функции.
Тогда левую часть (6.27) можно записать в виде ( —;д д" ' дтпл-т — + а1, +... + а; т +... + а„) у = Цр)у, где Цр) = р" + а1р" 1 + ., „+ а;р" ' + ... + а„— многочлен степени и от оператора р. При таком обозначении вместо ОДУ (6.27) будем иметь уравнение Ь(р)у = О. (6.28) Частпное ретаение этого уравнения будем искать в виде у(1) =е '. (6.29) Подставляя (6.29) в (6.28), получаем ~~)лт (р+, -1+ + -т+ + ) лт = (Ло+атйп — 1+ +а.Ло-т+ +ад)елт 1( ~)елт О Если Л вЂ” корень алгебраического уравнения Ь(Л) = О, где ЦЛ) = Л" + а1 Л" +... + а;Л" '+... + а„, то у(1) = елт — решение ОДУ (6.28). Уравнение Ь(Л) = О называют характперистпическим уравнением ОДУ п-го порядка.
Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения ЦЛ) =О действительны и различны: Ль ф Л., и ~у, 6.4. Линейные ОДУ с ностеннныын ноэффнннентаын 187 ел!с Л1е"" ЕЛп1 Лес~~1 1 ... 1 Л ... лп = ехр(1~ Л;) Лп-1 лм Лп-1ел„е и Лп-1 Лп-1 1 " и =ехрЯ Л;) П (Ль — Лй) фО, (6.30) 1=1 1<1<ь<п где в средней части равенства стоит оиреде атель Ваидермоида, равный произведению всевозможных разностей Ль — Л при условии 1 < у < Й < и (в данном случае все эти разности отличны от нуля).
Так как вронскиан отличен от нуля, то эти решения образуют фундаментальную систему решений (см. 6.1). Общее рещение ОДУ (6.28) в этом случае имеет вид у($) = ~~ ' Сьуьф = ~ Сье"". (6.31) Если характеристическое уравнение имеет простые комплексные корни, то они входят парами комплексно солрлзсеиньсс чисел Л = а+1,8, Л = а — 1)3, так как коэффициенты характеристического уравнения действительны (1]. Для комплексного корня Л = а + ер' характеристического уравнения рассмотрим комплекснозначную функцию у(1) = = е"~. Эта функция дифференцируется по обычным правилам: (ем) = Лем (см. 5.6). Продолжая последовательно дифференцировать, находим, что (еы) = Л"е"1, и = 1, и. Иепосредственной проверкой убеждаемся, что функция у(Ф) = ем удовлетворяет ОДУ (6.27).
Функция у(1) = е"1, соответствующал комплексно сопряженному корню Л характеристического у, и = Т, и. Им соответствуют и решений уь($) = е~е'. Докажем, что эти решения образуют Яундаментальную систему решений ОДУ (6.28). Вычислим вронскиан (6.9): 188 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ уравнения, также удовлетворяет этому ОДУ. В силу свойств линейности функции и($) = 0,5(у(2) + у(Ф)), п(Ф) = 0,5ь(уЯ вЂ” у(Ф)), (6.32) представляющие собой соответственно действительную и мнимую части у(2), также удовлетворяют ОДУ (6.27), т.е. являются его решениями. Так как и(2)/е($) =сааб,йфО, решения и(Ф) и е(Ф) линейно ( .6.1). Рассмотрим более общую ситуацию.
Пусть характеристическое уравнение среди и корней имеет т пар различных комплексно сопРЯженных Лм Лм ..., Л„„Л, Л =об+21325 у = 1, т, а остальные и — 2т корней Л2 +ы ..., Л„действительные и тоже различные. Каждой паре простых комплексно сопряженных корней Л, Л соответствует пара решений ОДУ (6.28) и (2) = Вее"~' = е ~'соя1322, е (1) = 1те222 = е'"з'е1пЯ1, у' = 1, т, (6.33) а каждому простому действительному корню Л; — одно реше- ние этого ОДУ () ли ° 2 +1 (6.34) В итоге имеем и решений вида (6.33) и (6.34) для однородного ОДУ (6.28).
Докажем, что они линейно независимы на всей числовой прямой К, т.е., согласно определению 6.2, образуют фундаментальную систему решений этого ОДУ. Составим их линейную комбинацию у(2) = ~ (А1соя1122+В я1пЯ2)е"~+ ,') С<ела (6.35) 1=2т+1 и покажем, что она не равна тождественно нулю в К, если хотя бы один из коэффициентов А, В.
(2 = 1, т) или С, 6.4. Линейные ОДУ с настениными коэффяяиеятеыи 189 (с' = 2пд+1, сд) отличен от нуля, т.е. в силу определения 6.1 является линейно независимой системой функций. Согласно формуле Эйлера сое13,1=0,5(есдс'+е ссдсс); ядп,в с=0,5с(е сссс' — ессдсс).
Подставив эти выражения в (6.35), после преобразований запишем у(с) = ~~д Сьех" с, (6.36) к=д где Сс,=0,5(А1 — сВ ), Ль=Лу при Й=2у — 1 и Се=0,5(А1+сВ ), Ль = Лу при я = 2у', у = 1,т. Если в (6.35) отличен от нуля хотя бы один коэффициент, то в (6.36) будет отличен от нуля хотя бы один коэффициент Сю Поскольку нумерация корней произвольна, примем без ограничения общности, что С„ф О. Предположим, что правая часть (6.36) тождественно равна нулю, т.е.
рассматриваемая система решений линейно зависима. Поскольку е""' ф 0 'й е К (и в случае, когда показатель экспоненццаиьной функциц является комплексным числом), то после деления правой части (6.36), по предположению тождественно равной нулю, на е"'с получим (хе-лд)с Дифференцируя это тождество по с, снова получаем тождество Сс,(Лс, — Лд)едок ~с)~ = О, сс=2 поделив которое на ехр ((Лэ — Лд)с) Ф О, запишем новое тождество Сэ(Лэ — Лд) + ~ Се(Ль — Лд)есдк ~с)' = 0 к=э 18О 6.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ и после его дифференцирования по з придем к тождеству ~~~,Сь(Ль — Л1)(Ль — Лз)е1~' 1'И = О. ь=з Повторив описанную процедуру еще н — 2 раза, на последнем этапе получим тождество С„(˄— Л1)(˄— Лз)" (˄— Л„1)е~"" "" Оз = О, которое невыполнимо, так как в его левой части все сомножители отличны от нуля. Полученное противоречие доказывает, что рассматриваемая система решений линейно независима, т.е.
является фундаментальной системой решений, а (6.35), согласно теореме 6.2, дает общее решение однородного ОДУ (6.28) с постоянными коэффициентами, выраженное через элеаенпзарные действительные функции. Пример, Найдем общее решение ОДУ у"' — 8у = О. В данном, случае характеристическое уравнение Лз — 8 = О имеет корни Л1 = 2 и Лзз = 1~з~/3. Принимал во внимание (6.33) и (6.34), имеем фундаментальную систему решений этого ОДУ, состоящую из функций уз(8) = ез~, уз(з) = е~сов~Г38 и уз(з) = е' з1п ьГЗЗ, так что общее решение можно записать в виде у(з) = Сзе~'+е'(Сзсоз~ГЗз+Сзз1п~ГЗз). 6.5. Формула сдвига.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
