VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, 'Чебьннева Если среди корней характперистпического уравнения ЦЛ) = = О есть крапзные, то рассмотренное выше построение фундаленпзальной системы решений ОДУ (6.28) не годится, так 191 б.б. Формула сдвига как при атом в (6.30) Щб) =0 ~й ЕК. Это указывает на то, что решения уь(~) (й = Т, п) линейно зависимы. Прежде чем построить в случае кратных корней фундаментальную систему решений, докажем справедливость форяауяы сденеа Цр) ~У(~)е"'1 = е"'Цр+ Л) [у($)].
(6.37) Эта запись означает, что многочлен Цр) степени н от оператпора дифференцирования р = Ы/й действует на выражение, заключенное в квадратные скобки. Доказательство проведем методом математической индукции по степени многочлена п для случая Цр) = р". При и = 1 имеем р1[У(й)е~'~ = — ела+ Лу(й)ем = ем(р+ Л) [у(Ф)] Пусть (6.37) справедливо при и = а — 1, т.е. р' '[у(й)е '1 =е '(р+Л)' '[у(в)]. Тогда при в =а имеем р'[Дф)еаза] =рр' 1[Я)ем] р[ем(р+Л)' 1[Дй)Ц= ~в(р+Л)(р+ Л)'-д[)(~)[ елс(р+ Л)~[Дф)] (6 38) Итак, формула (6.37) сдвига доказана для Цр) = р". Поскольку многочлен Цр) = р" + а1р" 1 +...
+ а;р" ' +... + а„(6.39) является линейной комбинацией степеней р' (а = О,н), то, умножая левую и правую части (6.38) на а„; и полагая, что ае = 1 при 1=о и р'[у(8)е"'] = е"'у(Ф) при 1=0, после сложения полученных выражений придем к (6.37) для общего случал Цр) в виде (6.39). 192 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть Л1 — действительный корень крапзноспзи яз характеристического уравнения Цл) = О, т.е. ЦЛ ) = Ь'(Л ) =...
= Ь~~' О(Л ) = О. Докажем, что ему соответствует ровно Й1 решений: у1 = =е"" уз =йе"" уьз =1~' зелзв. Подставим у„=2ве~" (г= = О, Й1 — 1) в (6.28) и применим формулу (6.37) сдвига: ~(р)~~веззв ~ езз17,(р+ Л ) [вв1 (6.40) где Цр+ Л ) = ~о;(р+ Л )' = " Ь;р'. (6.4Ц в=е в=е Полагая в (6.41) р = О, получим Ье = Ь(Л1) = О. Последовательно дифференцируя по р (6.41), находим ь, =ь'(р+лз)! =ь'(л1) =о; ~р=е ~в Ь, = — — цр+ Л1)! = — ЬОО(Л1) = О, я = 2, Ь1 — 1. В! Нрв р=о я! Теперь можно записать Цр+лз) =ь„,р' +ь„,.„р'+'+...+ь„р".
Так как г < я1, то отсюда следует, что Цр+ Л1)Ф' = О, а согласно (6.40) делаем вывод, что Ь(р)[1'е"") = О. Таким образом, у1 = е~", ..., уь, = Ф~' зе~" — решения однородного ОДУ (6.28). Рассмотрим теперь общий случай: пусть характеристическое уравнение в (Л) = 0 имеет т < и различных действительных корней Л1,..., Л . Кратности этих корней обозначим через я1, ..., й .
Тогда функции У1(3) = е ", у2(Ф) = Фе '~, ..., Уь, (Ф) = Ф ' зе '~; УЙ~+1(в) Е У/с~+2(в) вс Уй~+я~(в) в Е ~ (6 42) Лвв Авв Ьг-1 Авв. 193 б.Б. Формула сдвига будут решениями однородного ОДУ (6.28). Поскольку 701 +... + +й,в =73, то имеем Ровно 73 фУнкций Уь(1), 70 =1,73. Остается показать, что они образуют фундаментальную систему решений этого ОДУ. Допустим, что эти решения линейно зависимы, т.е., согласно определению 6.1, между ними существует тождественное по 1 соотношение а( ~+а~ )1+ +а~ ~ $0' ) е " = лае а1 ... аь т=1 Яел„с О (6 43) с=1 где а = сопзВ, причем хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля. Без ограничения общности предположим, что хотя бы один не равный нулю коэффициент является коэффициентом многочлена Р (0), т.е.
Р (1) ф О. Разделив (6.43) на е"'1~ О, запишем р1(9)+ ~ 'р р)е<л.-лО1 =г (6.44) Поскольку степень в1 многочлена Р1($) не превьппает й1 — 1, после л1-кратного дифференцирования тождества (6.44) по 1 получим новое тождество О7 Я„(0) е1 " '7' = О, г=л (6.45) (9) е(л, -л„,-711 — О 7 — 9306 где Я,(с) — многочлены тех же степеней, что и Р„(1). Поскольку Р,„(1) ф О, то и Я„,(1) ф О. Сумма в (6.45) в отличие от (6.43) содержит на одно слагаемое меньше. Повторяя описанную процедуру, придем в итоге к тождеству 194 б.
ЛИНЕЙХЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ что невозможно, так как ер' " -Ов ф О, а многочлен о',з(Ф) 61 ф О, поскольку он имеет хотя бы один отличный от нуля коэффициент. Следовательно, в силу определения 6.1 система решений (6.42) линейно независима и, согласно определению 6.2, представляет собой фундаментальную систему решений ОДУ (6.28). Тогда на основании теоремы 6.2 общим решением этого ОДУ будет у(~) =~~ Сьуь(~), ь=.1 (6.46) где Сь (Й = 1, п) — постоянные. Пусть характеристическое уравнение Ь(Л) = 0 имеет комплексный корень Л = а+1~3 кратности й. Тогда комплексно сопряженный корень Л имеет ту же кратность и.
Комплекснозначные функции у1(1) = е~~, уз(Ф) = Фем, ..., уь(Ф) = в~ ~е~~, (6.47) удовлетворяют ОДУ (6.27). Действительные и1(Ф), ..., иь($) и мнимые о1(3), ..., ол(1) части этих функций также удовлетворяют этому ОДУ в силу их представления, анвлогичного (6.32). В Итак, комплексному корню Л кратности й и его комплексно сопряженному Л соответствует 2л линейно независимых ре- шений и1(Ф) = В,еу1(Ф) = е 'соврв; о1 ($) =?шу1(Ф) = е'"~вшЩ (6.48) иь(Ф) = Кеуь(в) = 1~ ~е~~ совЯ; оь(1) = Веуь($) =Ь 'е"1вшрв.
Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение ЦЛ) = О имеет только пары комплексных корней Л = ау+ Щ и Л кратностей й, 1'=1,ти, 2Й1+...+2йв,=п. Для каждой пары корней Л, Л мыимеем 2л решений а~ У о,с ° 6, 1~-1 щ~ ~У ~-1 щь 195 6.5. Формула сдвига ОДУ (6.27), что в совокупности дает нам и решений этого ОДУ. Можно показать что выбранная система функций образует фундаментальную систему решений ОДУ (6.27).
Пример. Найдем общее решение ОДУ ~чъ 4~ч + 8уп' 8уо~ + 4уо 0 Корни характеристического уравнения Лз — 4Лз+8Л4— — 8Л +4Л =0 этого ОДУ равны Л| 3 =01 Л34 — 1+3, Лзз = = 1 — 3. Поэтому фундаментальную систему решений образуют функции 1, з, е'созс, е 31пз, зе~созз, се'31пь Общее решение уравнения имеет вид у(з) = Сз+ Сгз+ е'(Сзсозз+ Сазшз+ Сззсозз+ С3331пз).
Пример. а. Для однородного ОДУ третьего порядка уса+ у" — у'+у = О характеристическое уравнение Л вЂ” Л вЂ” Л+1=0 имеет корни 3 г Л1= Лг = 1 и Лз= — 1. Общее решение у(з) =е'(С1+Сгз)+Сзе '. б. Линейное однородное ОДУ атарово порядка с постоянными коэффициентами — +2п — +ы у=О, п>0, ы>0, (649) дгу ,цг дз описывает изменение во времени 3 отсчитываемого от положения равновесия у = 0 перемещения у материальной точки массой т = 1 под действием пропорциональной у упругой силы и пропорциональной скорости Ыу/аз точки силы трения (2п является коэффициентом трения, а м имеет смысл частоты собственных колебаний точки в частном случае отсутствия 196 6.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ трения, когда и = 0). Для этого ОДУ характеристическое уравнение Л~+ 2пЛ+ иР = 0 имеет корни Л1 з = -и ~ ~/пз — шз . Если и > ы, то они действительные и различные, причем оба отрицательные. Тогда общее решение ОДУ (6.49) имеет вид у(1) = С,в~1~+ С,ел~~ При и =и корни кратные: Л1 — — Лз =-и, что приводит к видоизменению общего решения: у(8) = (С1+ Сз$)е "~. В рассмотренных случаях (и > ы и и = ю) движение точки носит апериодический характер (рис. 6.1, в): в зависимости от мочальных условий при Ф = 0 материальная точка приближается к положению равновесия (у = 0) из начального положения либо монотонно, либо немонотонно с изменением или без изменения знака перемещения. Рис.
6.1 При 0 < и < ы корни будут комплексно сопряженные: Л1 = = — п+ ы~ и Лз = -и — 1ым где ш1 = ~/юз — пз, а общее решение в виде действительной функции аргумента 1 у(1) = е "~(С1 совю11+ Сзв1пы11) описывает затуиающие колебания точки около положения равновесия (рис. 6.1, б), называемые так потому, что их амплитуда (наибольшее отклонение точки от положения равновесия) стремится к нулю при 1 — ~ +со. 197 6.Б. Формула сдвига Если трение отсутствует (п = 0), то общее решение является периодической функцией у(Ф) = С1 совий+ Сзв1пм1 с периодом Т = 2я/ю.
Описываемые такой функцией колебания точки относительно положения равновесия происходят с постоянной амплитудой (рис. 6.1, в), и их называют гармоническими. Систему (не обязательно механическую), процесс в которой описывает однородное ОДУ вида (6.49) при условии О < и < ы, принято называть линейным осв4илллгпором (от латинского слова овс111о — качаюсь). В случае и = 0 осннлллвпор является гармоннческнм. Изложенные результаты позволяют заключить, что линейные однородные ОДУ с постоянными коэффициентами можно всегда проинтегрировать и получить общее решение в элементарных функциях. Такал возможность делает заманчивыми попытки так преобразовать ОДУ других типов, чтобы свести их к уравнениям с постоянными коэффициентами.
Однако эти попытки оказываются удачными лишь для некоторых линейных однородных ОДУ с переменными коэффициентами. Один из приемов состоит в подборе соответствующей замены независимого переменного 1. Рассмотрим некоторые характерные случаи. 1. Уравнение Эйлера имеет вид в" — + а11" — +... + а„1с — + а„у = О, (6.50) иа у и-1 а у ау ами амп-1 ' ' ' ам где а; = сопв1, в'=1,п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
