Главная » Просмотр файлов » VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения

VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404), страница 25

Файл №1081404 VIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 25 страницаVIII Агафонов и др. Дифференциальные уравнения (1081404) страница 252018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, 'Чебьннева Если среди корней характперистпического уравнения ЦЛ) = = О есть крапзные, то рассмотренное выше построение фундаленпзальной системы решений ОДУ (6.28) не годится, так 191 б.б. Формула сдвига как при атом в (6.30) Щб) =0 ~й ЕК. Это указывает на то, что решения уь(~) (й = Т, п) линейно зависимы. Прежде чем построить в случае кратных корней фундаментальную систему решений, докажем справедливость форяауяы сденеа Цр) ~У(~)е"'1 = е"'Цр+ Л) [у($)].

(6.37) Эта запись означает, что многочлен Цр) степени н от оператпора дифференцирования р = Ы/й действует на выражение, заключенное в квадратные скобки. Доказательство проведем методом математической индукции по степени многочлена п для случая Цр) = р". При и = 1 имеем р1[У(й)е~'~ = — ела+ Лу(й)ем = ем(р+ Л) [у(Ф)] Пусть (6.37) справедливо при и = а — 1, т.е. р' '[у(й)е '1 =е '(р+Л)' '[у(в)]. Тогда при в =а имеем р'[Дф)еаза] =рр' 1[Я)ем] р[ем(р+Л)' 1[Дй)Ц= ~в(р+Л)(р+ Л)'-д[)(~)[ елс(р+ Л)~[Дф)] (6 38) Итак, формула (6.37) сдвига доказана для Цр) = р". Поскольку многочлен Цр) = р" + а1р" 1 +...

+ а;р" ' +... + а„(6.39) является линейной комбинацией степеней р' (а = О,н), то, умножая левую и правую части (6.38) на а„; и полагая, что ае = 1 при 1=о и р'[у(8)е"'] = е"'у(Ф) при 1=0, после сложения полученных выражений придем к (6.37) для общего случал Цр) в виде (6.39). 192 б. ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть Л1 — действительный корень крапзноспзи яз характеристического уравнения Цл) = О, т.е. ЦЛ ) = Ь'(Л ) =...

= Ь~~' О(Л ) = О. Докажем, что ему соответствует ровно Й1 решений: у1 = =е"" уз =йе"" уьз =1~' зелзв. Подставим у„=2ве~" (г= = О, Й1 — 1) в (6.28) и применим формулу (6.37) сдвига: ~(р)~~веззв ~ езз17,(р+ Л ) [вв1 (6.40) где Цр+ Л ) = ~о;(р+ Л )' = " Ь;р'. (6.4Ц в=е в=е Полагая в (6.41) р = О, получим Ье = Ь(Л1) = О. Последовательно дифференцируя по р (6.41), находим ь, =ь'(р+лз)! =ь'(л1) =о; ~р=е ~в Ь, = — — цр+ Л1)! = — ЬОО(Л1) = О, я = 2, Ь1 — 1. В! Нрв р=о я! Теперь можно записать Цр+лз) =ь„,р' +ь„,.„р'+'+...+ь„р".

Так как г < я1, то отсюда следует, что Цр+ Л1)Ф' = О, а согласно (6.40) делаем вывод, что Ь(р)[1'е"") = О. Таким образом, у1 = е~", ..., уь, = Ф~' зе~" — решения однородного ОДУ (6.28). Рассмотрим теперь общий случай: пусть характеристическое уравнение в (Л) = 0 имеет т < и различных действительных корней Л1,..., Л . Кратности этих корней обозначим через я1, ..., й .

Тогда функции У1(3) = е ", у2(Ф) = Фе '~, ..., Уь, (Ф) = Ф ' зе '~; УЙ~+1(в) Е У/с~+2(в) вс Уй~+я~(в) в Е ~ (6 42) Лвв Авв Ьг-1 Авв. 193 б.Б. Формула сдвига будут решениями однородного ОДУ (6.28). Поскольку 701 +... + +й,в =73, то имеем Ровно 73 фУнкций Уь(1), 70 =1,73. Остается показать, что они образуют фундаментальную систему решений этого ОДУ. Допустим, что эти решения линейно зависимы, т.е., согласно определению 6.1, между ними существует тождественное по 1 соотношение а( ~+а~ )1+ +а~ ~ $0' ) е " = лае а1 ... аь т=1 Яел„с О (6 43) с=1 где а = сопзВ, причем хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля. Без ограничения общности предположим, что хотя бы один не равный нулю коэффициент является коэффициентом многочлена Р (0), т.е.

Р (1) ф О. Разделив (6.43) на е"'1~ О, запишем р1(9)+ ~ 'р р)е<л.-лО1 =г (6.44) Поскольку степень в1 многочлена Р1($) не превьппает й1 — 1, после л1-кратного дифференцирования тождества (6.44) по 1 получим новое тождество О7 Я„(0) е1 " '7' = О, г=л (6.45) (9) е(л, -л„,-711 — О 7 — 9306 где Я,(с) — многочлены тех же степеней, что и Р„(1). Поскольку Р,„(1) ф О, то и Я„,(1) ф О. Сумма в (6.45) в отличие от (6.43) содержит на одно слагаемое меньше. Повторяя описанную процедуру, придем в итоге к тождеству 194 б.

ЛИНЕЙХЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ что невозможно, так как ер' " -Ов ф О, а многочлен о',з(Ф) 61 ф О, поскольку он имеет хотя бы один отличный от нуля коэффициент. Следовательно, в силу определения 6.1 система решений (6.42) линейно независима и, согласно определению 6.2, представляет собой фундаментальную систему решений ОДУ (6.28). Тогда на основании теоремы 6.2 общим решением этого ОДУ будет у(~) =~~ Сьуь(~), ь=.1 (6.46) где Сь (Й = 1, п) — постоянные. Пусть характеристическое уравнение Ь(Л) = 0 имеет комплексный корень Л = а+1~3 кратности й. Тогда комплексно сопряженный корень Л имеет ту же кратность и.

Комплекснозначные функции у1(1) = е~~, уз(Ф) = Фем, ..., уь(Ф) = в~ ~е~~, (6.47) удовлетворяют ОДУ (6.27). Действительные и1(Ф), ..., иь($) и мнимые о1(3), ..., ол(1) части этих функций также удовлетворяют этому ОДУ в силу их представления, анвлогичного (6.32). В Итак, комплексному корню Л кратности й и его комплексно сопряженному Л соответствует 2л линейно независимых ре- шений и1(Ф) = В,еу1(Ф) = е 'соврв; о1 ($) =?шу1(Ф) = е'"~вшЩ (6.48) иь(Ф) = Кеуь(в) = 1~ ~е~~ совЯ; оь(1) = Веуь($) =Ь 'е"1вшрв.

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение ЦЛ) = О имеет только пары комплексных корней Л = ау+ Щ и Л кратностей й, 1'=1,ти, 2Й1+...+2йв,=п. Для каждой пары корней Л, Л мыимеем 2л решений а~ У о,с ° 6, 1~-1 щ~ ~У ~-1 щь 195 6.5. Формула сдвига ОДУ (6.27), что в совокупности дает нам и решений этого ОДУ. Можно показать что выбранная система функций образует фундаментальную систему решений ОДУ (6.27).

Пример. Найдем общее решение ОДУ ~чъ 4~ч + 8уп' 8уо~ + 4уо 0 Корни характеристического уравнения Лз — 4Лз+8Л4— — 8Л +4Л =0 этого ОДУ равны Л| 3 =01 Л34 — 1+3, Лзз = = 1 — 3. Поэтому фундаментальную систему решений образуют функции 1, з, е'созс, е 31пз, зе~созз, се'31пь Общее решение уравнения имеет вид у(з) = Сз+ Сгз+ е'(Сзсозз+ Сазшз+ Сззсозз+ С3331пз).

Пример. а. Для однородного ОДУ третьего порядка уса+ у" — у'+у = О характеристическое уравнение Л вЂ” Л вЂ” Л+1=0 имеет корни 3 г Л1= Лг = 1 и Лз= — 1. Общее решение у(з) =е'(С1+Сгз)+Сзе '. б. Линейное однородное ОДУ атарово порядка с постоянными коэффициентами — +2п — +ы у=О, п>0, ы>0, (649) дгу ,цг дз описывает изменение во времени 3 отсчитываемого от положения равновесия у = 0 перемещения у материальной точки массой т = 1 под действием пропорциональной у упругой силы и пропорциональной скорости Ыу/аз точки силы трения (2п является коэффициентом трения, а м имеет смысл частоты собственных колебаний точки в частном случае отсутствия 196 6.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ трения, когда и = 0). Для этого ОДУ характеристическое уравнение Л~+ 2пЛ+ иР = 0 имеет корни Л1 з = -и ~ ~/пз — шз . Если и > ы, то они действительные и различные, причем оба отрицательные. Тогда общее решение ОДУ (6.49) имеет вид у(1) = С,в~1~+ С,ел~~ При и =и корни кратные: Л1 — — Лз =-и, что приводит к видоизменению общего решения: у(8) = (С1+ Сз$)е "~. В рассмотренных случаях (и > ы и и = ю) движение точки носит апериодический характер (рис. 6.1, в): в зависимости от мочальных условий при Ф = 0 материальная точка приближается к положению равновесия (у = 0) из начального положения либо монотонно, либо немонотонно с изменением или без изменения знака перемещения. Рис.

6.1 При 0 < и < ы корни будут комплексно сопряженные: Л1 = = — п+ ы~ и Лз = -и — 1ым где ш1 = ~/юз — пз, а общее решение в виде действительной функции аргумента 1 у(1) = е "~(С1 совю11+ Сзв1пы11) описывает затуиающие колебания точки около положения равновесия (рис. 6.1, б), называемые так потому, что их амплитуда (наибольшее отклонение точки от положения равновесия) стремится к нулю при 1 — ~ +со. 197 6.Б. Формула сдвига Если трение отсутствует (п = 0), то общее решение является периодической функцией у(Ф) = С1 совий+ Сзв1пм1 с периодом Т = 2я/ю.

Описываемые такой функцией колебания точки относительно положения равновесия происходят с постоянной амплитудой (рис. 6.1, в), и их называют гармоническими. Систему (не обязательно механическую), процесс в которой описывает однородное ОДУ вида (6.49) при условии О < и < ы, принято называть линейным осв4илллгпором (от латинского слова овс111о — качаюсь). В случае и = 0 осннлллвпор является гармоннческнм. Изложенные результаты позволяют заключить, что линейные однородные ОДУ с постоянными коэффициентами можно всегда проинтегрировать и получить общее решение в элементарных функциях. Такал возможность делает заманчивыми попытки так преобразовать ОДУ других типов, чтобы свести их к уравнениям с постоянными коэффициентами.

Однако эти попытки оказываются удачными лишь для некоторых линейных однородных ОДУ с переменными коэффициентами. Один из приемов состоит в подборе соответствующей замены независимого переменного 1. Рассмотрим некоторые характерные случаи. 1. Уравнение Эйлера имеет вид в" — + а11" — +... + а„1с — + а„у = О, (6.50) иа у и-1 а у ау ами амп-1 ' ' ' ам где а; = сопв1, в'=1,п.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,33 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее