VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Найдем объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси кривой р(у) = ав1п2у. Эта кривая определена при ~р Е [О, л/2~ 0 [л, Зл/21 (рис. 9.29), и в силу симметрии полный объем равен удвоенному объему тела вращения Рис. 9.26 Рис. 9.29 409 9.4. Объем тела одного лепестка кривой. Используя (9.38), находим У„=2 — р ~~р)81п~р(Ьр= -7га 27г з . 4 з Р— 3 81П 2~~81пф~Щ~= о ~г/2 = — 7Га 81п ~Рсоа ~Риф= — 7Га (81п ф-81п ~Р)а(81п~Р) = 32 з 4 з 32 з 4 8 3 3 о о 32 3 18'1П8 ~Р 81я'Г~р~ Ю 64 з = — 7га ~ — — — ~ = — 7Га .
ф 3 ~ 5 7 ~ о 105 Как и в случае площади неограниченной плоской области (см. 9.3), можно исследовать вопрос о кубируемости неограниченной области в пространстве. Для этого следует выразить в виде определенного интеграла объем такого кубируемого конечного тела, включенного в рассматриваемую неограниченную область, которое заполняет ее при стремлении к пределу одного из размеров этого тела, а затем исследовать сходимость получающегося при предельном переходе несооственного интеграла.
1Ь 1+ х2 — х2 7г 6 У' (6) = 7г .. = 7Г .. 0х = — агс~дЬ+ — 1, (1+ х2)2 (1+ х2)2 2 1+ Ь2/ ' а если вращать вокруг оси Оу, то объем тела будет равен ~1,(6) =27г =7Г1П(1+х2)~ =7Г1п(1+62) 2 1о о Пример 9.16. Рассмотрим непрерывную на всей числовой прямой Е функцию Дх) = 1/(1+х2). В примере 7.2 вычислена площадь неограниченной области между графиком этой функции и осью Ох. Если криволинейную трапецию, имеющую основанием отрезок ~0, 61 и ограниченную графиком данной функции, вращать вокруг этой оси, то получим тело с объемом 410 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (У' (6) вычислено с использованием (9.34) и интегрирования по частям, а У„(6) — с применением (9.36)).
При 6-++оо имеем У' (6) -+ У = (тг/2)з (+со, т.е. полученное таким образом неограниченное тело кубируемо. При вращении всего локона Аньези вокруг оси Ох получим тело, напоминающее по форме веретено и имеющее (в силу симметрии) конечный объем тт~/2. Наоборот, объем Уд(6) дискообразного тела, похожего на „летающую тарелку", при 6-++со неограниченно возрастает, а получающееся при этом тело не является кубируемым. 9.$. Площадь поверхности В отличие от понятия площади плоской фигуры понятие площади произвольноЙ поверхности является существенно более сложным. Здесь ограничимся рассмотрением лишь двух, но достаточно распространенных классов таких поверхностей: поверхносшей вращения и цилиндрических.
Пусть гладкая плоская кривая Г лежит в координатпной плоскосши хОу прямоугольной системы координат Охух и задана параметрическими уравнениями х=х($), у=у($), $Е [а, Ц. (9.43) Такая кривая является спрямляемой (см. 9.2), т.е. ее длина зг конечна. Значения параметра ~=а и 1=6 отвечают начальной и конечной шочкам А и В соответственно (рис. 9.30). У Поскольку на гладкой кри- Г вой Г особые шочкиотсутству- А„, ют, то можно перейти к нашуральному параметпру з — переменной длине дуги этой кривой, отсчитываемоЙ от точки А. Тогда уравнения кривой примут А А-~ вид х =~(з), у= ц(з), з б [О,зг|, А1 ~'-' ~' " где зг — длина всей дуги АВ.
Рис. Э.ЗО Пусть ц(з) ) 0 Чз Е [О, зг). 9.5. Площадь поверхности Разобьем дугу АВ в направлении от А до В точками Ао — — А, А1, А2, ..., А„= В и рассмотрим ломаную АоА1А~...А„, вписанную в кривую. При вращении кривой Г вокруг оси Ох эта ломаная опишет некоторую поверхность. За площадь Яг поверхности вращения кривой Г принимают предел, к которому стремится площадь поверхности, онисыва емой ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин Ь8; (г = 1, я) частичных дуг при измельчении разбиения дуги АВ.
Такое определение площади Яг позволяет вычислить ее. Точкам Ар —— А, А1, Ар, ..., А„=В на кривой Г соответствуют возрастающие значения 8: Каждое звено ломаной при вращении описывает боковую поверхность усеченного конуса (в частных случаях конуса или цилиндра, также могут быть круг или кольцо). Если обозначить ординаты точек А; 1 и А; через у; 1 — — р(8; 1) и у; =)7(8;) соответственно, а длину звена А; 1А; через 1; (см. рис.
9.30), то площадь поверхности, описываемой звеном с номером е, будет 2ю(у; 1+у;)1;/2, а площадь поверхности, описываемой всей ломаной, Полагая Ь8; = 8; — 8; 1, ю =1,п, представим эту сумму следующим образом: и КЬ.- +ж)Ре-4) 944) Неотрицательная функция у = р(8) непрерывна на отрезке 10, 8г). Следовательно, она ограничена на нем, т.е. существует 412 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА такое число М > О, что %= 1,а О < у; 1+у; < 2М. Поэтому для последней суммы в (9.44) с учетом 1; < Ьз;, 1= 1,я,, запишем 24 24 0(т=гг~ (у; г+гг;ЦЬв; — !;) <2вМ(вг — ~ !г). !0.45) Согласно определению длины дуги кривой, при разбиении кривой на все более мелкие части разность и в=1 стремится к нулю, а значит, и (9.46) !ип т=О, Ь-ьО Ит Я„= в Ит ~0(в; г)Ьвг+ Ь-+О Ь-+О . +гг !!т ~ гГ(в)Ьвг — Ит т=2гг 0(в)г!в. Ь-+О . Ь-+О Следовательно, рассматриваемая поверхность вращения имеет площадь (9.47) где Ь= махала;.
вж1,В Первая и вторая суммы в правой части (9.44) являются интегральными суммами функции р = ц(8) на отрезке [О, 8г1. Эта функция непрерывна на [О, 8г]. Поэтому существует интеграл от функции у = ц(8) на этом отрезке, а значит, существуют равные между собой пределы каждой из указанных интегральных сумм при Ь -+О. Переходя в (9.44) к пределу при Ь -+ О и учитывая (9.45) и (9.46), получаем 413 Я.3. Площадь помрхмости Если вернуться к заданию гладкой плоской кривой .
Г в виде (9.43), то, проведя в интеграле (9.47) замену переменного, получим Я = 2т у($) (Ь(1) = 2я у($) й. (9.48) В частности, если гладкая плоская кривая Г задана уравне- нием у = Дю), ю Е ~а, Ц, т.е. в роли параметра $ выступает переменное м, то вместо (9.48) будем иметь 6 6 Я = 2л' Ях) сйз(х) = 2т ~(х) юЬ. (9.49) Вращение этой кривой вокруг оси Оу (при а > О) образует поверхность площадью Ь 6 8=2зг лаз(х) =2т х (9.50) 8 = 2~г у(р) Йз(р) = 2п р(<р) 81п у Йр.
(9.51) Пример 9.17. а. Найдем площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9у~ =х(3 — з)~ вокруг оси Ох. Отметим, что формула (9.49) сохраняет смысл и тогда, когда функция Дж) изменяет знак на отрезке ~а,6). В этом случае в подынтеграаьном выражении сомножитель Дж) следует заменить на Щм)~. Если кривая Г задана в полярной системе координат уравнением р = р(~р), у Е ~а,13), то из (9.47) для площади поверхности, образованноЙ вращением этоЙ кривой вокруг полярной оси, получим формулу 414 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 9.31). Поэтому при вращении верхняя и нижняя части петли образуют одну и ту же поверхность. Для верхней 1 ветви кривой при О ( х < 3 имеем у(х) = (3 — х)~/х/3 > О. Отсюда 0 1 дифференциал длины дуги -1 Из= 1+(у~(х)) Ых= — Йх. 2 х+1 2~а Рис. 9.31 Используя (9.49), получаем з з 3 — х х+1 7г 3 2~Д 3 (3+2х — х2) Ых = з = — (9+9 — 9) = Зк.
о 3 7г 3 = — Зх+ х —— 3 3 8 Й=2ав1п-Й. 2 Выражая в (9.50) х через 1, находим 2» 2» х($) ав(8) = 2~г а($ — в~п8)2ав~п — Й = 2 2 ~ 1 2 ° 2~ = 4та $ И~-2 сов — ~ — Зта в)п — сов — Й = 21 2 2 о о 2» 2 ~ «6 2 ° 3~ = -8та $сов-~ +8ка сов-Й вЂ” — ~га в1п— 21о 2 3 '2 о о 2» = -8л а2( — 2~г) + 16л а2в1п — = 16~г2а2.
2о б. Вычислим площадь поверхности вращения вокруг оси Оу одной арки циклоиды (см. рис. 9.28), заданной в виде (9.42). В данном случае дифференциал длины дуги 415 9.6. Площадь поверхности в. Найдем площадь поверхности вращения кардиоиды р(~р) = = а(1+соз~р) вокруг полярной оси Ор (рис. 9.32). Дифференциал длины дуги кардиоиды () = 2асоз — Йр. 2 Рис. 9.32 Поскольку кардиоида симметрична относительно оси Ор, ее верхняя и нижняя части при вращении вокруг зтоЙ оси образуют одну и ту же поверхность. Верхней части кардиоиды соответствует изменение параметра $ на отрезке [О, ~г1. Тогда, используя (9,51), получаем Я = 2~г а(1+сову)в1п~р.2асов-бр= У 2 о = 2ла ° 8 соз — в1п — Йр= — — ~га соз — = — ~га .
, р . р 32 , , р 32 2 2 5 2о 5 о г. Вращение вокруг оси Ох трактрисы, заданной уравнениями х($) = а1пФц-+асоз1, у($) = аз1п$, 1 б (О, к), 2 образует поверхность, называемую псездосферой. Эта поверхность не ограничена, поскольку х -+ -оо при ~ -~ О + О и х-++оо при 1-+л — О. Выясним, конечна ли площадь псевдо сферы. Трактриса симметрична относительно оси Оу (рис. 9.33), причем зта ось является касательной к ветвям кривой в точке (О; а), соответствующей значению параметра 8 = ~г/2.
Вычислим сначала площадь ограниченной поверхности вращения при 416 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис. в.зз условии О ( 7 ( 1 ~ тг/'2, используя (9.48): 1г/2 Я'(т) =2тг аяп1 т 1г/2 ~г/2 й =2тга соевой =2тга~(1-опт). т =2тга а1п$ Так как Я'(т) -+ 2тга2 при т -+ +О, площадь псевдосферы конечна и равна 4тга2, т.е. совпадает с площадью сферы радиуса а. Перейдем теперь к способу вычисления площади цилиндрической поверхности. Пусть опять гладкая плоская кривая Г лежит в координатпной плоскостпи хОу прямоугольной системы координат Охуг и задана в виде (9.43). Примем ее эа направляющую цилиндрической поверхностпи с образующими, параллельными оси Ок (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
