VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Найти пределы при у -+ 0 следующих интегралов: 1 2 а) ~хе+ребе; б) х соехрЫх; н) 1+ (1+ ху)1Ь о о о 8.2. Иэ условия минимальной средней квадратичной погрешности на отрезке ~0, Ц найти коэффициенты й и 6 в преблаженной формуле ~~+ хе а Йх+ е. 8.3. Найти производные по параметру у следующих интегралов: 81п хр 1п(1+ хр) а) — Ых; б) йЬ; в) х х 8п(х ф)ох. 8.4. Можно ли вычислить производную функции У(у) = 1п(х + у )йЬ о при у=О, используя (8.5)? Интересно, что при р++оо интеграл стремится к значению Г(1) =1.
При 8 > 0 функция Г(8) достигает минимального значения 0,8856 в точке 8 = 1,4616. Для сравнения при 8 = 3/2 Г(3/2) = Г(1/2)/2 = ~/т/2 =0,8862. 372 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8.6. Доказать, что 1пп — (Д8+ у) — Д$)) й = Дх) — Да), 1 у-~о ф а если функция Дх) непрерывна на отрезке [О, 61 и 0 < а < <х< о. 8.6.
Выяснить, при каких значениях х и у верно (8.7) для следующих подынтегральных функций." х2-у2 -у х5 хз ) (х2+~2)2~ ) (х+1~)3~ ) ~~4 ~3/ 8.7. Применяя интегрирование по параметру, вычислить интегралы 1 1 х~ — х' 1 хЬ вЂ” ха 1 в1п 1п — ~Ь, сов 1п — Ых, 0<а<6. 1пх х ' 1пх х 8.8. Доказать, что интегралы Френеля сходятся и ° ° ° 2 2 31пх ах= со8х ах=— 2 2 о о 8.9.
Доказать, что Г(и+ 1/2) = (2и — 1) 11~~~/2", и Е Х. 8.10. Выразить через значения гамма функции интегралы по промежутку ~0, +оо) от следующих функций: а) х~е, р>-1, д>0; б) е ~~ х ~"+~1, у>0, иЕХ; в) Щ + х )", р > 1/2; г) е"~ ', р > О. 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Интегральное исчисление является одним нз наиболее шнроко прнменяемых на практике разделов математического анализа. Сначала рассмотрим общую схему прнменення определейпого интеграла, а затем перейдем к его геометрическим приложениям н примерам его нспользовання прн решении прнкладных задач в механике, фнзнке, технике.
9.1. Общая схема применения интеграла Пусть вне зависимости от существа изучаемого геометрнческого, физического нлн технического объекта его некоторое свойство связано с промежутком Х. Этот промежуток может соответствовать протяженности объекта, периоду временн двнження точки, приращению температуры тела нлн разности электрических потенциалов на обкладках конденсатора, а рассматриваемыми свойствами могут быть масса объекта, пройденный точкой путь, аккумулированное телом количество теплоты нлн накопленный конденсатором электрический заряд соответственно. Если колнчественная характеристика рассматрнваемого свойства является адднтнвной, т.е.
итоговое значение этой характеристики в промежутке является суммой вкладов всех частей этого промежутка, то обычно ее удается вычислить прн помощи определенного интпеграла. Отметим два характерных подхода, связанных с прнмененнем определенного интеграла. Первый подход состоит в составлении выражения для днфференцнала функции, количественно характернэующего нзучаемое свойство объекта на элементарном участке Ья про- 374 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА межутка Х. Если этот дифференциал удается представить в виде Дх) ах и функция ~(х) является интпегрируемой в промежутке Х, то далее необходимо вычислить определенный интеграл от этой функции по данному промежутку. Поскольку функция Дх), непрерывнал в промежутке Х, имеет на любом отрезке ~а,6~ С Х первообразную, то в таком случае для вычисления определенного интеграла можно найти одну из первообразных этой функции и затем воспользоваться формулой Ньютпона — Лейбница.
В некоторых достаточно простых случаях выражение для первообразной можно получить непосредственно при составлении упомянутого дифференциала. Если известно, что определенный интеграл, описывающий количественно рассматриваемое свойство объекта, существует, т.е. существует предел соответствующих интпегральных сумм, то возможен второй подход. Он заключается в составлении одной из интегральных сумм по совокупности частпичных отпрезков разбиения промежутка Х для функции Дх), характеризующей проявление изучаемого свойства в окрестности любой точки х Е Х. Тогда предел такой интегральной суммы при стремлении максимального шага Ь разбиения к нулю и даст искомое значение определенного интеграла от функции ~(х) по промежутку Х, поскольку этот предел при условии Ь -+ О не зависит ни от разбиения промежутка на частичные отрезки, ни от выбора точек, в которых на каждом иэ частичных отрезков вычисляют значение функции Дх).
9.2. ДЛИНа КРИВОЙ Напомним, что кривая как множество точек трехмерного пространства Вз может быть задана либо в вектпорном, либо в координатпном предстпавлении. Введем прямоугольную систпему ттоординатп Охи и будем испольэовать далее координатное представление кривой Г в виде Г = ((х; у; я) б й: х = х(Ф), у = у($), я = я(~), $ 6 ~а, 6Ц.
(9.1) 376 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА разобьем отрезок [а, Ь) на частичные отрезки [Ц 1, Ц) (т', = =1,п). Этим значениям параметра 1 на кривой Г соответствуют точки Мо, М1, Мз, ..., М; 1, М;, .. °, М„1, М„= Ж (см. рис. 9.1), которые являются вершинами ломаноЙ, вписанной в кривую Г. Длина звена ломаной между соседними точками М; 1 и М; (~=1,п) равна ~1= (х(~1) — х(~~-1)) +(у(~1)-у(~е-1)) +(Фе)-Ф1-1)) . (9.2) Для непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь| функций х($), у(1) и х(1), согласно теореме Лагранжа [Щ, имеем где ЬЦ =$; — Ц 1 > О (1=1,п).
Подставив эти выражения в (9.2), получим Ь~;( где М, Мд и М, — наибольшие значения функций ~х'($)~, !у'(й)~ и ~х'(й)~ на отрезке [а, Ь]. Это неравенство приводит к оценке сверху периметра рассматриваемой ломаной: (Ь- а). (9.3) Длиной вг кривой Г называют предел (если он существует) периметра р вписанной в эту кривую ломаной при шах ЬЦ = Ь-+О [1Ц.
При измельчении разбиения отпрезка [а, Ц 1=1,и любая новая точка деления $, Е [а, Ц добавит новую вершину М, ломаной, что не уменьшит периметр р. Таким образом, при любом измельчении разбиения отрезка последовательность значений р будет неубывающей и в силу (9.3) ограниченноЙ. Согласно признаку Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности, такая последовательность 377 9.2. Дшыа кривой имеет конечный предел. Рассуждая так же, как и в доказа тельстве теоремы 6.4, можно показать, что указанный предел не зависит от выбора последовательности измельчающихся разбиений.
Это доказывает спрямляемость гладкой кривой Г. Ясно, что кусочно гладкая кривая также спрямляема, причем ее длина является суммой длин гладких участков, что непосредственно следует иэ свойства аддитивности длины. Перейдем непосредственно к вычислению длины зг гладкой кривой Г. Дифференциал длины дуги пространственной кривой Г, координатное представление (9.1) котороЙ содержит непрерывно дифференцируемые на отрезке ~а, 61 функции, равен аь(й) = й(й) й = (9.4) аз(~) = й. (9.5) Кривую, лежащую в некоторой плоскости, называют плоской. Выбрав эту плоскость за координатпную плоскостпь хОу, получим представление плоской кривой Г в виде Геометрически значение функции Ь(8) равно длине вектора ~т'($) ~ производной вектпор-функции т ($), годографом которой является кривая Г.
Функция Ь($) непрерывна на отрезке ~а, о1 и поэтому имеет первообразную. Одной из первообразных является функция з($), значения которой равны длине дуги кривой от начальной точки М0 до текущей точки М (см. рис. 9.1), соответствующей текущему значению параметра 8. Длина всей кривой Г равна 378 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА причем уравнение л = О обычно опускают. Если функции х($) и у(1) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ц, то плоская кривая Г спрямляема, причем дифференциал длины ее дуги, согласно (9.4), равен Непрерывность функции у($) наотрезке [а, Ц позволяет для длины кривой Г получить Если плоская кривая Г задана уравнением р=р(ф, уЕ Е [а, Я), в полярной системе координат (рис. 9.3) с полюсом в начале прямоугольной декартовой системы координат и полярной осью Ор, направленной по оси Ох абсцисс, то вместо (9.6) можно записать Рис.
9.3 х = р(~р) сов<р, у = р(~р) в1п~р, у Е [а,,81. (9.9) Здесь роль параметра кривой выполняет полярный угол у. Если функция р(у) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Д~, то получаем х'(ср) = р'(~р) ивуар — рфр) в1п~р, р'(ср) = р'(у) в1п ~о+ р(у) сову и вместо (9.7) и (9.8) имеем соответственно График непрерывно дифференцируемой на отрезке ~а, Ь~ функции Дх) является гладкой (а значит, и спрямляемой) плоской кривой с координатным представлением Г = ((х; у) Е Е: х = х, у = У(х), х Е ~а, ЬЦ. (9.11) В этом случае роль параметра кривой выполняет аргумент х, а вместо (9.7) и (9.8) получаем соответственно йх и 8г = (Ь.
(9.12) Именно при явном задании плоской кривой Г в виде у = = ~(х), х Е ~а,Ц, нетрудно установить связь формулы для длины 8г с соответствующей июиегрсиьной суммой. Разбиению Т = (хо —— а, х1, ..., х„= 6~ отпрезка ~а, Ц на кривой Г отвечают точки Мо, М1, ..., М„=Ф (рис. 9.4) с ординатами уо, у1, ..., у„соответственно. Эти точки являются вершинами ломаной, которую образуют отрезки, попарно соединяющие соседние точки М; 1 и М; (~ = 1, и). Длиназвеналоманой между точками М; 1 и М; равна Рис. Э.4 380 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА На любом частичном отрезке ~х; 1, х;] С ~а, Ь] длиной Ьх; для непрерывно дифференцируемой на отрезке ~а, Ь] функции у = = Дх) выполнены условия теоремы Лагранжа ~П], так что у(х;) — у(х; 1) =~'®)(х; — х; 1) =~'®)Ьх;, ~; Е(х; 1, х;). Тогда длину всей ломаной можно записать в виде интегральной суммы и и ви — в1— функции у(х) = на отрезке ~а, Ь]. Пусть Ь = пихтах;. Согласно определению длины кри~=1,и вой ~П], вГ= 1ип ви, Ь-+О причем этот предел существует и конечен, поскольку в силу не- прерывности функции у(х) он равен определенному интегралу в (9.12) (см. 6.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
