VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Главное значение интеграла от четной функции существует, если несобственный интеграл от этой функции по промежутку ~0, +оо) сходитси, и равно удвоенному значению этого интеграла. Поскольку любую определенную на В функцию ~(х) можно представить как сумму четной у(х) и нечетной функций ф(х) ~1-3.5~ в виде 332 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ причем он расходится, если один или оба предела в правой части этого равенства не являются конечными. Но если существует конечный предел с-с ь 1цп Ях) Йх+ ~(х) Йх а С+Ф (7.49) У.р. ~(х) ~Ь. О Пример 7.24.
Используя пример 7.10, можно установить, что несобственные интегралы от функции ~(х) = 1/(х — с) по промежуткам 1а, с) и (с, Ц расходятся. Однако главное зна чение несобственного интеграла от этой функции существует: ~(х)~Ь= 1ип Ч.р. х — с а с+в с-в ь = 1'ип 1п~х-с~ +1п~х — с~ в-++О О С+С = Ип1 1п — +1п — =1п —. Может сложиться неверное впечатление, что главное эна чение несобственного интеграла от неограниченной функции можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница как разность значений первообразной Р(х) = 1п(х — с) на концах отрезка ~а, Я, игнорируя неограниченность функции Дх) = = 1/(х — с) при х -+ с Е (а, 6). Но совпадение результатов в данном случае является исключением, а не правилом. Покажем то его называют вмввиым значением несобстпвенноао им- твеарама от неограниченной функции и обозначают 333 Вопросм и эадечи на простом контрпримере, что игнорирование неограниченности функции во внутренней точке отрезка интегрирования может привести к абсурдному результату.
Нап1~имер, в случае формального применения формулы Ньютона — Лейбница к вычислению интеграла на отрезке 1-1, Ц от функции д(х) =1/х~ получаем Нх 11 д(х) Ых = — = — — = -2, хз х -1 тогда как подынтегральная функция положительна. Так как функция д(х) = 1/хз не ограничена при х -+ О, то проверим, существует ли конечный предел вида (7.49): О-е 1 -1 О+с Вопросы и задачи 7'.1.
Можно ли сходящийся по промежутку ~а, 6) интеграл от неограниченной при х -+ 6 — О функции Дх) рассматривать как предел соответствующих интегральных сумм? 7.2. Вычислить несобственные интегралы по промежутку ~01 +оо) от следующих функций: 1 1 1 агсФдх а) б) в) ; г) хх+х+2' (х1+х+1)х' ' 1+хх' /(1.~~~)з Именно второе слагаемое в правой части этого соотношения, стремящееся к бесконечности при е -++О, было упущено при вычислении главного значения несобственного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейбница.
Поэтому главное значение несобственного интеграла от функции д(х) = 1/х~ на отрезке ~-1, Ц не существует. 8.1. Оаределеныые иотегралы, завмсешие от параиетре 337 Ф(и) .У(у) = ~Г(х, у) Их, (8.2) зависящий от параметра у. Теорема 8.1. Если функция двух переменных Дх, у) непрерывна в прямоугольнике Р = ((х;у): х Е [а, Ь], у (. =(с, Щ, (8.3) то интеграл, зависящий от параметра у, Х(у) = У(х, у) ах а как функция переменного у непрерывен наотрезке ~с, ф 4 Прямоугольник Р является компантным множеством, а непрерывная на таком множестве функция Дх, у) равномерно непрерывна на нем ~ 1-5.5), т.е., согласно равномерной непрерывности, для произвольного е > 0 найдется такое о = о(е) > О, что для любого х Е ~а, Ь1 и любых у, уо (= ~с, И) при условии Ь вЂ” уо~ < о(е) верно неравенство Ь вЂ” а С учетом линейности определенного интеграла и его свойства 10' (см. 6.7) для любого у 6 ~с, И~, удовлетворяющего В общем случае от того же параметра у могут зависеть и пределы интегрирования, т.е.
а = у(у) и Ь = 4(у). Если функция Дх, у) интегрируема на отрезке с концами в точках ~р(у) и ф(у) при любых значениях параметра у Е ~с, И~, то существует определенный интеграл 338 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА неравенству ~у- уо~ < Ю(е), имеем Дх, уо) ах / фх,у)-7(х, уо)) юь 4 О /~(х, у)-Дх, уо) /их < (11в Дх, у))ах= Х(уо) = 1~т Х(у) = У(х уо)((Ь т.е. в случае непрерывной в прямоугольнике (8.3) функции Дх, у) разрешен переход к пределу по параметру у под знаком интеграла на отрезке [а, 6). Пример 8.1. а.
Вычислим предел (х+ созух) е~""Ях. 1пп уу-+о Поскольку подынтегральная функция непрерывна в прямоугольнике Цх; у): х Е [-~г, л1, у б [-1, 1]) Итак, для произвольного е ) О найдется такое о = о(е) > > О, что для любых у, уо Е [с, ф, для которых ~у — уо! < о(е), будет выполнено неравенство ~Х(у) — Х(уо)~ < е, т.е. функция Х® непрерывна в произвольной точке уо Е [с, И~, а значит, и на отрезке [с,ф $» Замечаиие 8.1. Из хода доказательства этой теоремы следует, что при уо Е [с, И~ 8.1.
Определенные .иытегралм, эависащне от парамвтрв 339 и О Е [-1, 1], то, согласно замечанию 8.1, находим + СОЕВЫХ) Е~в1ву~Х ц~П (Х + СОя11Х) Е~вицщ д-+о у-+о (и+1)Ие=(-х +е) =2е. 2 М б. Выясним, можно ли перейти к пределу под знаком интеграла в выражении Йп — е ~®~Ь. у-+о у~ Цх; у): х Е [О, 1], у Е [-е, е]~, е > О, в котором она должна быть непрерывна (см. замечание 8.1). В этом примере нужно сначала вычислить интеграл — е ~ ® Ых= — е ~" И~ — ~ =--е о % 1 =-11-е 1е ), о 2 а затем перейти к пределу. Тогда получим 1 1пп — е ~~~"~ Йх = — !нп(1 — е 1~~) р-+о уз 2 д-+о о Теорему 8.1 можно обобщить применительно к интегралу (8.2) с зависящими от параметра пределами интегрирования. Переход к пределу под знаком интеграла в данном случае неправомерен, поскольку подынтегральная функция У(х, у) = = (х/у~) е (!и~ имеет разрыв в точке (О;0), принадлежащей любому прямоугольнику 340 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если функции у(у) и ф(у) непрерывны на отрезке [с, Ы~ и их значения не выходят за пределы отрезка [а, Ь), а подынтегральная функция ~(х, у) непрерывна в прямоугольнике (8.3), то интеграл (8.2) как функция переменного у непрерывен на отрезке [с, ф В самом деле, для любой точки уо б [с, И~ в силу аддитивиости оиределенного интеграла можно представить (8.2) в виде Ф(в) У(ю) ФЬо) ,У(у) = ~(х, у) Ых+ Дх, у) Йх — ~(х, у) йх.
(8.4) ФЬо) ю(эо) юЬо) Первый интеграл в (8.4) имеет фиксированные пределы интегрирования. Поэтому из теоремы 8.1 следует, что он непрерывен по параметру у наотрезке [с, И) и при у-+уо стремится к значению 1(уо). Остальные два интеграла в (8.4), согласно следствию 6.3, можно оценить следующим образом: ! Ф(ю) ~ (ю) Дх, у) ах ~М 4(у)-ф(уо), Дх, у) ах (М ~р(у)-~р(уо), ФЬо) ю(эо) Ы Их Ых 11 я — = агсФдз~ 1+ хз+ у~ 1+ хз ~о 4 где М вЂ” наибольшее значение функции Щх, у)~ в прямоугольнике (8.3). Поэтому при у-+уо эти интегралы в силу непрерывности функций ~(у) и у(у) стремятся к нулю.
Это доказывает непрерывность интеграла (8.2) в точке у = уо. Поскольку уо является произвольной точкой отрезка [с, ф интеграл (8.2) непрерывен на [с, с~. Например, полагая ~у~ < 1 и используя непрерывность функций у, 1+у и 1/(1+хз+у~) в точке у=О, вычисляем 341 8.2. Диффереициравание интетражв ао пврамезру 8.2. Дифференцирование интегралов по параметру Утверждение 8.1.
Если функция ~(х, у) и ее частпная щюизводная фх, у) непрерывны в прямоугольнике (8.3) Р=((х;у): хб ~а, Ь|, уб ~с, Щ, то опреде.фенный интпегрыС У(у) = Дх, у) Их, О зависзщий отп параметпра у, дифференцируем как функция переменного у на отрезке 1с, ф причем 1(у) = ~д(х, у)ах Чуб (с, в)). (8.5) Формулу (8.5) называют формулой Лейбница дифференцирования интеграла по параметру под знаком интеграла. Пример 8.2. Функцию ~1(х) = х~ приближенно предста вим на отрезке [1, 3) линейной функцией,5~(х) = йх+ Ь так, чтобы была минимальной так называемая средняя квадратичная погрешность, а именно: Щ Ь) = ф(х) — ~р(х)) Их= / (х~ — йх — Ь)~ах -+ пни.
В 8.1 получены условия непрерывности функций 1(у) и ,У(у), задаваемых при помощи (8.1) и (8.2) соответственно. Приведем без доказательства утверждение, устанавливающее условия дифференцируемости функции Х(у). 342 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В данном случае интеграл зависит от двух параметров Й и 6, т.е. является функцией двух переменных. Подынтегральнал функция Дх, Й, 6) = (х — Йх — 6) Я(х, Й, 6)дх= 2(х~ — Йх — Ь) (-х) сЬ = 1 4 2 з з1з 52 --х +-Йх +Ьх ~ =-40+ — Й+8Ь=О, 2 3 ~1 3 1~(Й, 6) = Уй(х, Й, Ь)ах= 2(х — Йх — Ь) (-1) ~Ь = — --х + Йх + 26х = - — + 8Й+ 4Ь = О. 2з з з 52 3 3 Из этой системы двух линейных алаебраичесхих уравнений находим Й =4 и 6= -11/3. Итак, в точке (4; -11/3) может существовать экстремум функции Щ 6).
Убедимся, что в этой точке функция достигает минимума. Поскольку функции 1~(Й, 6) и 1Яс, 6) линейные, вторыечастныепроизводные функции 1(Й, 6) имеют постоянные значения, причем ф = =52/3, 1Д =4 и Я=8. Так как ф >0 и 1~~1Д вЂ” (ф)з= = (52/3) ° 4 — 8з = 16/3) О, то, согласно достатпочному усло- при любых х Е 11, 3] и любых значениях Й и Ь непрерывна и имеет непрерывные частные производные как по параметру Й, так и по параметру 6, т.е. в силу утверждения 8.1 можно применить (8.5) для дифференцирования интеграла 1(Й, 6) по каждому из этих параметров. Напомним, что необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции 1(Й, 6) в некоторой точке (Й;6) является равенство нулю в этой точке частных производных по каждому из аргументов, т.е., учитывал (8.5), по- лучаем 8.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА мой 6.13 о среднем значении, получаем Ф(э) Ях, р)йх= Я,Я~(р) — Р(ро)) Ф(юо) где ~ — точка, заключенная между ф(уо) и ф(р). Согласно определению, производная этого слагаемого по р в точке р= =уо равна Ф(ю) 1 Пт — Дх, у) Шх = ~-+ж у- ро Ф(зв) = 11ш И, р) = У(Ф(уо) у )Ф'(уо). Аналогично для производной третьего слагаемого в (8.4) имеем -У(у(уо) 2 ро) Ф(уо). Объединяя полученные результаты, убеждаемся в том, что производная Р(уо) в произвольной точке у=уо Е 1с,д~ существует и справедливо утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
