VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Произведение ~(х)д(х) также интегрируемо на таком отрезке в силу его непрерывности при х ~~ а. Согласно следствию 6.4, функция Ф(х) является одной из первообразных функции ~(х), т.е. Дх) Й: = а(Ф(х)). Интегрируя по частям, получаем Да)д(а) й = у(~) а(Ф(1)) = = Ф(х)у(х) — Ф(а)у(а) — Ф(~)у'(~) й. (7.43) Так как по условию теоремы ~Ф(х)~ < М при х ) а и у(х) «О при х -++оо, то Ф(х)у(х) — функция, бесконечно 315 7.7.
Другие иризивки сходимости иихеграюв малая при х -++со, т.е. 1~~ Ф(х)у(х) =О. Если функция у(х) не возрастает, то у'(х) ( О Чх > а и (д'(й) (дй = -лд / д'(й) й = !Ф(й)д'(й) ! й < М О О = М(у(а) — у(х)) ( Му(а), так как д(х) ) О. Если же функция у(х) не убывает, то д'(х) ~0 Чх) а и (э(й)д'(й) ! дй < и = М(д(х) — у(а)) < М~у(а) ~, поскольку в этом случае у(а) < у(х) ( О. Следовательно, согласно теореме 7.7, несобственный интеграл от функции ~Ф(х)уд(х) ~ по промежутку ~а, +со) сходится, а значит, в силу теоремы 7.5 сходится и интеграл от функции Ф(х)у'(х) по этому промежутку. Поэтому в соответствии с определением 7.1 существует конечный предел )пп Ф(1)д'(1) й:.
йй Таким образом, все слагаемые в правой части (7.43) имеют конечный предел при х -++со. Поэтому и левая часть (7.43) имеет конечный предел при х -++м, что, согласно определению 7.1, доказывает сходимость несобственного интеграла (7.42), ~ 7.7. Другие ирыэыаки сходикосты интегралов 317 того, функция д(х) — А стремится к нулю при х -~ +со. Следовательно, для первого интеграла в правой части (7.44) выполнены все условия теоремы 7.8, и он сходится. Таким образом, несобственный интеграл в левой части (7.44) сходится, поскольку сходятся оба несобственных интеграла в правой части, что доказывает справедливость признака Абеля. ~ Пример 7.16. Применяя признаки Дирихле и Абеля, исследуем на сходимость при Л > О несобственные интегралы по промежутку ~1, +оо) от функций В1П Х В1ПХ а) ~~(х.) = — „; б) ~з(х) = — „агс1дх. х~ л а. Функция ~(х) = в1пх интегрируема на любом отрезке ~1, 6] как непрерывная (см.
теорему 6.7), функция х х Ф(х) = Д8) Й = в1п$Й = -сов8 = сов1- совх 1 1 1 ограничена при х > 1, а функция д(х) = 1/х" при Л > О ограничена, монотонна и непрерывно дифференцируема в промежутке [1,.+со), причем д(х) -+О при х-++со. Поэтому в 'силу признака Дирихле интеграл по промежутку ~1, +оо) от функции,~1(х) = Дх)д(х) =в1пх/х" сходится при любом Л > О. б. При Л > О для функции Ях) =~1(х)д(х), где ~1(х) = = в1п х/х" и д(х) = агсФдх, выполнены условия признака Абеля: интеграл по промежутку ~1, +оо) от функции Л(х), как показано в этом примере, сходится, а функция д(х) ограничена, монотонна и непрерывно дифференцируема. Поэтому интеграл от функции Ях) = в1п х агсФдх/х" по промежутку ~1, +оо) при Л > О сходится.
4~ Отметим, что все рассмотренные выше признаки применимы для исследования на сходимость и интегралов вида (7.4). 318 Ч. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ По аналогии с теоремами 7.8 и 7.9 можно сформулировать и доказать признаки Дирихле и Абеля для интегралов от неогра. ниченных функций. 7.8. Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость Если требуется вычислить несобственныВ интеграл или доказать его сходимость или расходимость, то прежде всего следует установить, почему он является несобственным (либо в силу неограниченности промежутка интегрирования, либо вследствие неограниченности иодынтегральной фурии в окрестности некоторой точки конечного промежутка интегрирования).
Далее необходимо выяснить, знакопостоянна ли подынтегральная функция во всем промежутке интегрирова ния. Если она знакопостоянна, то исследовать несобственный интеграл на сходимость можно при помощи признаков, изложенных в Т.З и Т.б. Если же подынтегральная функция Дх) меняет знак в этом промежутке, то требуется исследование несобственного интеграла на абсолютную и условную сходимость. При этом удобно начинать с исследования на абсолютную сходимость, т.е. с исследования на сходимость интеграла от функции ~У(х) ~, и если он является расходлщимсл, то затем следует выяснить поведение несобственного интеграла от функции ~(х). Такая последовательность исследования одинаково применима к несобственным интегралам как по бесконечному промежутку, так и от неограниченной функции.
Пусть несобственныЙ интеграл от функции ~(х) по промежутку [а, +оо) сходится и функция д(х) ограничена в этом промежутке. Обязательно ли сходится интеграл от функции Дх)д(х) по этому промежутку? Если интеграл от функции ~(х) сходится условно, то интеграл от функции ~(х)д(х) может и расходиться.
Например, интеграл от функции ~(х) = в1п х/х сходится в силу признака Дирихле, д(х) = в1пх — ограниченная функция, а интеграл от 7.8. Примеры исследовании интегралов на схолимость 319 функции ~(ж)д(ю) = впРю/з расходится (см. пример 7.13). Но для той же функции ~(х) =81пх/л и ограниченной функции д(х) = 2совх интеграл от их произведения Дю)д(х) =81п2з/ж, согласно признаку Дирихле, сходится.
Если же интеграл от функции Дк) сходится абсолютно и ~д(м)~ < М Чх > а, то интеграл от произведения функций Дх)д(х) сходится тоже абсолютно. Действительно, по условию Ща)д(ю) ~ < МЩэ) ~ Чх > а. Так как интеграл от функции ~~(х) ~ сходится, то в силу теоремы 7.1 и свойства 3' линейности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2) также сходится и интеграл от функции Щю)д(х)~ по бесконечному промежутку ~а,+со). Следовательно, интеграл от произведения ~(х)д(х) функций по этому промежутку сходится абсолютно. Пример 7.17. Исследуем на сходимость интеграл от функции 1/(И+ х~), р, д б В, по промежутку [О, +оо).
Этот интеграл может быть несобственным интегралом смешанного типа, так как промежуток интегрирования бесконечен, а подынтегральная функция может оказаться неограниченной при м -++О. Представим исследуемый интеграл 1 в виде +оо а +оо мР+ х~ Ыа ~ Ых хР+ з~,( хР+ х~ а> О. о о в Ясно, что при р = д = 8 один из этих интегралов расходится: если в > 1, то расходится 11 (см. пример 7.10), а если 8 < 1, то, согласно примеру 7.3, расходится 1~ (при 8=1 расходятся оба интеграла).
Следовательно, при р = д исследуемый интеграл У расходится. Рассмотримслучай р<д. Интеграл 1~ сходится,лишьесли у< 1, а 1з сходится, лишь если д > 1, т.е. при одновременном выполнении условий у<1 и д> 1 оба интеграла сходятся, а значит, сходится исследуемый интеграл 1. В случае у< р, наоборот, 11 сходится, лишь если д < 1, и У~ сходится, лишь если р>1, т.е. 1 сходится только при одновременном выполнении условий д < 1 и у > 1. 320 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В итоге получаем, что интеграл У сходится, если одновременно пнп(р, д) <1 и шах(р, д) >1, и расходится в остальных случаях, причем при р > 1, д) 1 расходится интеграл 11, а при р < 1, у < 1 расходится интеграл Уг. На рис. 7.8 заштрихована область значений р и д, при которыхсходится интеграл 1. Рис. 7.8 Пример 7.18. Исследуем на сходимость несобственные интегралы по промежутку (О, +со) от следующих функций: а); б) „, а>0; в) х~~х — 1Г.
агс®х а. Заданный промежуток можно представить как объединение двух промежутков: (О, +со) = (О, а) 0 [а, +со), а > О. Если р < О, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку [а,+со) отфункции агс~дх/хР расходится. Рассмотрим его поведение при р>0. Поскольку агс~~х-Фя'/2 при х -++со, то при р ) 0 агах я РМ хР ~-++00 2хР Интеграл по промежутку [а, +со) (а > 0) от функции 1/х" сходится лишь при условии р> 1 (см.
пример 7.3). Поэтому в силу теоремы 7.2 сходится при р > 1 интеграл по этому промежутку и от функции агсф~х/х~. Теперь рассмотрим поведение интеграла от неограниченной при х -++О функции по промежутку (О,а~, учитывая, что р>1. Так как агсф~х 1 ФМ хР ж-++О хР а интеграл от неограниченной при х -++О функции у(х) = =1/х' по промежутку (О, а) сходится лишь при условии в < 1 7.8.
Примеры исследовании ныть;рааов на сходимость 321 (см. пример 7.10), то, согласно теореме 7.4, при 8= р — 1 < 1 (т.е. при р < 2) сходится интеграл по этому промежутку и от функции ахсф~х/х~, а при р > 2 он расходится. Итак, исследуемый интеграл по промежутку (О, +оо) сходится лишь при условии 1 < р < 2. б. При и =0 несобственный интеграл х'»ах 1+ х» расходится при любом значении т б Й (см. пример 7.17 при р = д = -т). Для случая и > 0 запишем х'" 1 1 1+х» х +х хР+х~ обозначив р = -т и д = и — т, причем р < а. Согласно примеру 7.17, интеграл 1 сходится, если одновременно р = -т < 1 и д = и — т > 1, т.е.
и > > т+ 1 > О. На рис. 7.9 заштрихована ПФ область значений т и и, при которых Рис. 7.9 интеграл Х сходится. в. Функция ~(х) =х ~х — Ц~ в зависимости от значений а и ~3 может быть не ограничена в промежутке (О, +со) при стремлении аргумента х к значениям хо — -О, х1 —- 1 и при х-а+со. Исключим из этого промежутка точку х1 — — 1 и, выбрав а и Ь так, что О < а < 1 < Ь, запишем (О, +оо) ~(Ц=(0, а]0~а,1)0(1, Ь]0[Ь, +со). В силу теоремы 7.4 и примера 7.17 интеграл от функции ~(х) сходится по промежутку (О, а] лишь при — а < 1, а по промежуткам ~а, 1) и (1, Ь] — лишь при -ф < 1. По промежутку ~Ь, +со), согласно теореме 7.2 и примеру 7.3, интеграл 322 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ от этой функции сходится, если только Р -(а+~3) > 1.
В итоге получаем, что несобственный интеграл от функции ~(х) по промежутку (О, +оо) сходится лишь при одновременном выполнении условий а > -1,,0 > -1, а+ о < -1. На рис. 7.10 -1 заштрихована область значений а и ф, р„е ~1О при которых исследуемый интеграл схо- дится. Пример 7.19. Исследуем на условную и абсолютную сходимость (см. определения 7.5 и 7.6) несобственный интеграл от функции ~(х) = х"'вЬ х/(1+ х") (щ Е й, и > 0) по промежутку (О, +оо).
Точкой х = ~г разобьем этот промежуток на два промежутка: (О, л'] и ~~г, +оо). Поскольку Дх) ° х +1, аинтегралот з-ь+о функции у(х) = 1/х' по промежутку (О, л'~ сходится при условии в < 1 (см. пример 7.10), то в соответствии с теоремой 7.4 при в=-тп — 1<1 (т.е. при т> -2) сходится интеграл по этому промежутку и от функции ~(х), причем абсолютно, так как,~(х) = Щх)~ при х Е (О, л'~. Преобразуем функцию Дх) к виду ~(х) = „. При и — пг>0, или т< и, инте- х +х" грал от функции Дх) по промежутку 1~г, +оо) сходится, так как для этой функции выполнены все условия призята Дирихле (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
