VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(7 15) Отметим, что если в равенстве ~1(х) ах Л Л( )Ь=Л либо оба сходящиеся, либо оба расходящиеся, причем в случае сходимости этих несобственных интегралов верно равенство 7.2. Основные свойства ннтегралов по бесконечному пронежутку 285 4'. Для сходящихся несобственных интегралов от функций Дх) и д(ю) по промежутку ~а,+оо), удовлетворяющихвэтом промежутке условию Дж) < д(х), справедливо неравенство Дж) Ых ( д(ж) Ыж. (7.16) Пример 7.4. Исследуем на сходимость несобственные ин- тегралы «Ь ~г+4ж+9' хв1п ю«Ь; в) а) хг(1+ х) а. Функция 1/(хг+4х+9) непрерывна на всей числовой прямой В. Для нахождения ее первообразной выделим полный квадрат в знаменателе дроби: жг+4ю+9 = (к+2)г+5. Учитывая та6личкый интпеграа 13 и (7.10), получаем 0(х+ 2) «Ь юг+ 4х+ 9 (х+2)г+5 1 г:+21+ т г л ~ ~г = — агсф~ — 1 = — — ~- — ) = —. 45 тЛ вЂ” 2Л 2Л Л б. Так как функция .хапх непрерывна при м «= ~0,+оо), она интегрируема на любом отрезке 1а, 6] С [О, +со).
Поэтому юв1п х «Ь = 1ип 6-++оо жв1п ж Ию. при Л1 у~ 0 один из несобственных интегралов расходится, то расходится и другой, поскольку если бы один из интегралов сходился, а другой расходился, то зто противоречило бы (7.15) при Лг— - О. 286 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Применяя для вычисления определенного интеграла интегриро. ванне по частям, находим хз1пхйх = хд(-созх) = 0 0 ь = -хсозх + созх<Ь= -ЬсозЬ+з1пЬ. 0 0 Поскольку предел полученного выражения при 6 -+ +оо не существует, то рассматриваемый несобственный интеграл расходится. в. Функция 1/(х~(1+ х)) является раниока.аьмой дробью и интегрируема на любом отрезке ~а, — 2] С (-оо, -2~.
Разложим ее на простейшие рациональные дроби: 1 А В .0 + + ~(1+ ) 1+х Для нахождения неопределенных коэффициентов приведем дроби справа к общему знаменателю и затем приравняем числители в обеих частях равенства: Ах(1+ х) + В(1+ х) + Рх~ = 1. Отсюда при х =О находим В=1, при х= -1 имеем .0=1, а из равенства коэффициентов при х~ следует А= -1. Таким образом, одной из первообраэных функции Дх) будет 1 1+х 1 Р(х) = -1п ~х~ — — +1п~1+х~ =1и — — —. х х х В данном случае при х -+ -оо существует конечный предел Р(-оо) = О.
Поэтому, используя (7.8), получаем ах 1-2 1 1 х~(1+х) = Р( — 2) — Г(-оо) =!и — — — — О= — — 1п2 — 2 — 2 2 287 7.3. Признаки сходимости иитеграюв 7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку Йп Ф(Ь) = Иш ~(х)сЬ. Ь-++оо Ь-++оо Функция Ф(6), имеющая конечный предел при 6-ь+оо, огра ничена в некоторой окрестности точки +оо, т.е. на интервале (6,+оо) для некоторого достаточно большого числа 6 11-7.41. Кроме того, в силу теоремы 6.15 функция Ф(6) вепрерывна в промежутке ~а,+оо), а значит, и на любом отрезке ~а,61 С 1а,+оо). В примере 7.1.г показано, что несобственный интеграл от функции совх по промежутку ~0,+оо) является расходящимся, несмотря на то что функция Ф(6) = сов х сЬ = 81п 6 непрерывна и ограничена при 6-++оо.
Следовательно, непрерывность и ограниченность функции Ф(6) являются лишь не- Перед интегрированием функции по бесконечному промежутку целесообразно предварительно убедиться, во-первых, в том, что она интегрируема на любом отрезке, включенном в этот промежуток, и, во-вторых, что соответствующий несобственный интеграя от данной функции является сходящимся. Рассмотрим некоторые признаки, которые позволяют установить сходимость или расходимость несобственного интеграла по бесхонечному промежутку. Прежде всего напомним, что если функция ~(х) интегрируема на любом отрезке ~а, Ц С ~а, +оо), то в соответствии с определением 7.1 сходимость несобственного интеграла от этой функции по промежутку ~а, +оо) равносильна существованию конечного предела 288 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ обходимыми условиями.сходимости несобственного интеграла от соответствующей функции ~(х). Так, из геометрического смысла несобственного интеграла по бесконечному промежутку от знакопостоянной функции ~(х) следует, что если существует конечный, отличный от нуля предел Бт ~(х) =Аф. О Теорема 7.1. Пусть функции Дх) и д(х) интегрируемы на любом отрезке ~а, Ц С ~а, +оо), причем О < ~(х) < < д(х) Чх > а.
Тогда, если сходится несобственный интеграл +ОО +оо ~ д(х)Ых, то сходится и интеграл ~ ~(х)Юх, а если расхоа О +оо дится несобственный интеграл ~ Дх)дх, то расходится и а ~ д(х)Их. а М Пусть сходится несобственный интеграл от функции д(х) В силу определения 7.1 это означает, что существует конечный предел (7.17) Иш Ь-++оо д(х) сЬ = с <+оо.
и функция ~(х) интегрируема на любом отрезке ~а,6) С С ~а, +оо), то несобственный интеграл от этой функции по промежутку [а, +оо) расходится. Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку установим сначала только для неотрицательных функций. Аналогичные признаки будут справедливы и для неположительных функций, так как, согласно свойству 3' линейности (см. 7.2), несобственные интегралы от функций У(х) и ~~(х) = -Дх) по бесконечному промежутку ведут себя одинаково, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.
289 7.3. Приэиаки сходимости интеграюв Поскольку по условию теоремы у(х) > О Чх б ~а,+со), то, ь очевидно, ~ у(х)Их < с ЧЬ > а. В соответствии с условием а теоремы и свойством 8' определенного интеграла (см. 6.7) ,Г(х) сКх < у(х) Их < с. 0< ь Так как Дх) > О Чх Е ~а, +оо), то функция Ф(Ь) = ~Дх)~Ь монотонно возрастает и ограничена сверху значением с. Следовательно, такая функция имеет предел [1-7.3~, причем Дх) Ых < с, (7.18) Ит Ф(Ь) = 1пп 6-++оо Ь-++оо +оо что означает сходимость несобственного интеграла,~ Дх) Их. а Второе утверждение теоремы докажем от противного.
Предположим, что интеграл от функции у(х) сходится. Но тогда, как только что было доказано, сходится и интеграл от функции Дх), что противоречит условию теоремы. $~ Замечание 7.1. При использовании теоремы 7.1 функцию, для которой известно, сходится ли несобственный интеграл, обычно называют функцией сравнения. В силу аддитивности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2, У 1 У(х) свойство 2о) ясно, что теоре- 9(х) ма 7.1 справедлива, если нера венство О < Дх) < у(х) выполОа ао х вено не для всех х > а, а лишь начиная с некоторого значения ае > а (рис. 7.4), поскольку оба Рис.
7.4 290 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интеграла ао Дх) Ых и отинтегрируемыхфункций ~(х) и д(х) являютсяпостоянными числами и их значения не влияют на существование пределов в (7.17) и (7.18). Отметим, что утверждение теоремы 7.1 верно и в случае, когда зти функции в интервале (а, а0) меняют знак. Пример 7.6.
Исследуем несобственный интеграл от функции ~(х) =1/(хз+2х+2) по бесконечному промежутку [О, +оо). Эта функция интегрируема на любом отрезке ~0, Ц. Ясно, что 0(Дх) < 1/х~ при всех х > О. Однако непосредственно использовать функцию 1/х~ в качестве функции сравнения нельзя, так как она не определена при х = О. Поскольку несобственный интеграл сходится (см. пример 7.3), то в силу теоремы 7.1 сходится и несобственный интеграл от функции Дх) по бесконечному промежутку ~1, +оо), который отличается от исследуемого интеграла на постоянное число, равное определенному интегралу х~+2х+2 0 +оо Следовательно, несобственный интеграл ~, тоже 0 ~ +~~+2 сходится. 4~ Докажем теперь предельный признак сравнения несобственных интегралов.
Ъьорема 7.2. Пусть функции ~(х) и д(х) интегрируемы на любом отрезке ~а, 6) С ~а, +оо) и неотрицательны при х ) а. 2Я1 7.3. Призиаки сходности мнтеграюв Если существует конечный положительный предел Йп — =Л >О, У(х) з-++оо д(Х) то несобственные интегралы (7.1Я) ~(х) Ых и д(х) сЬ (7.20) (Л-е)д(х) < ~(х) ((Л+е)д(х) Чх > М. (7.21) Будем считать, что а > М, так как, согласно замечанию Т.1, утверждение теоремы достаточно доказать для случая а > М. Выберем е так, чтобы было выполнено условие Л вЂ” е > О.
Если сходится второй интеграл в (7.20), то в силу линейности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2, свойство 3') +00 сходится и интеграл ~ (Л+е)д(х)Ых, а тогда, согласно теореме 7.1 и (Т.21), будет сходиться и первый интеграл в (7.20). Если же сходится первый интеграл в (7.20), то в силу теоре+оо мы 7.1 и (7.21) сходится и интеграл ~ (Л вЂ” е)д(х) Их, а тогда, Я согласно линейности сходящегося несобственного интеграла, будет сходиться и второй интеграл в (7.20). Покажем теперь, что если расходится один из несобственных интегралов в (7.20), то расходится и другой.
Пусть расходится первый интеграл в (7.20). Тогда из (Т.21) и теоремы 7.1 +оо следует расходимость интеграла ~ (Л+е)д(х)дх, а значит, а в силу свойства 3© (см. 7.2) расходится и второй интеграл в (7.20). Аналогично, используя левую часть неравенства (7.21), либо оба сходятся, либо оба расходятся. 4 Из (7.19) в силу определения предела функции [1-7.1~ для любого е > 0 найдется такое число М > О, что справедливо неравенство Т.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ теорему 7.1 и свойство 3' (см. Т.2), можно показать, что из расходимости второго интеграла в (7.20) следует расходимость первого интеграла. В Замечание 7.2. Если в (7.19) Л =О, то можно лишь утверждать, что из сходимости второго интеграла в (7.20) следует сходимость первого, а из расходимости первого— расходимость второго. ф Применяя признаки, которые устанавливаются теорема ми 7.1 и 7.2, в качестве функции сравнения часто используют функцию 1/а'. Пример 7.6. Исследуем на сходимость несобственные интегралы +оо +00 (~+ 1М а а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
