VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому ~а+1 «р+1 аф -1. а+1 х'"+~ * «Ь=— а+1 Это равенство имеет смысл там, где непрерывна функция х . б. Подынтегральная функция 1/~Гх~+ 7 непрерывна на отрезке [О, Ц и имеет перпообрпзпую 1п [х+~х~+ 7[. Поэтому 1 — =1п[х+ ~хе+у[ = 1п[1+т8) - 1п тУ = 1и —. «1 Ых 1 1+2ъ~2 ~/х «+7 о чу о Формула (6.49) Ньютона — Лейбница позволяет установить ®Равило замены переменного под знаком определенного интеграла, а также правило интегрирования по частям.
ЧЪорема 6.17. Если функция Дх) непрерывна на отрезке ~и Чу а функция у(Ф) непрерывно дифференцируема на отрезке © д), причем «р(а) =а, р(Я =6 и у(8) б ~а,Ь1 при 8 Е ~а,ф с тем это представление позволяет построить эффективные численные методы приближенного вычисления определенного интеграла (см. 10).
Согласно следствию 6.5, для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке ~а, Ц функции Дх) применима формула(6.49) Ньюпюна — Лейбница, т.е. достаточно найти любую иереоо6разную этой функции на данном отрезке. 252 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ то справедливо равенство (6.50) ~ Так как функции ~(х) и ср(й) непрерывны наотрезках [а, Ь) и [а,Д соответственнои у($) 6[а, Ь~ при $б[а,Д,тосложная функции ~(у($)) непрерывна на [а,ф Ввиду непрерывности иодынтпегральных функций существуют не только определенные интегралы в (6.50), но и соответствующие им неопределенные интпеграаы.
Поэтому при вычислении обоих интегралов в (6.50) можно использовать формулу (6.49) Ньютона — Лейбница. Если Р(х) мвлметсл одной из первообразных функции ~(х), то Дх) Ох = Р(х) + С. В силу инеариантпностпи неоиределенного интпеграаа ~(~р(Ф)) ~р'(1) ~Ы = Р(~р($)) +С1. Используя формулу Ньютона — Лейбница, получаем Дх) ах = Р(Ь) — Р(а) й ~(~р(1)) ~р'(Ф) й = Р(~р(ф)) — Р(~р(а)) = Р(Ь) — Р(а), а откуда следует (6.50). 9» Замечание В.Т. Отметим одну особенность, смзанную с применением неравенства (6.50). При вычислении неопределенного интеграла заменой переменного х на $, получиВ 6.10. Вычисление онределенного интеграла 253 первообраэную, выраженную через переменное 1, нужно было возвращаться к исходному переменному х.
При вычислении же определенного интеграла в этом нет необходимости. Однако не следует забывать, что при переходе к новому переменному нужно пересчитывать пределы интегрирования. Пример 6.12. Вычислим определенные интегралы а); б) 81п ХЫХ. ° з 1+ ~Гх' о о а. Чтобы вычислить интеграл от функции 1/(1+ ~/х), сделаем замену х = Р.
В этом случае ~Ь = ай и ~/х = =~ГР=ф=8 при 1) О. Изменению х отОдо4соответствует изменение $ от О до 2. Поэтому Ых 1 21й о о о й г г =2 й — — =28 — 21п~1+8~ =2(2 — 1п3). 1+8 о о о о б. Сделаем замену со8х = 8. Тогда — 81пхйх = й, значению Х=О соответствует 1=1, азначению х=~г отвечает ~=-1. Поэтому ФГ ~г -1 ° ° 81п хдх = (1 — со8 х)81пхпх = — (1 — $ )й = о о 1 1 2 4 (1 — Р)й=8 — — =2 — — = —.
3 $ 3 3 -1 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 254 Пример 6.13. Покажем, что 81П" ХО',Х = СО8" ХОХ, а Е Х. (6.51) о о о ~г/2 81п (я'/2 — х) Ых = — 81п 1й = 81п" $Й. Так как значение определенного интеграла не зависит от обо- значения переменного интегрирования,то (6.51) верно. Теорема 6.18. Если функции а(х) н о(х) непрерывно днфференцнруемы на отрезке (а, 6), то справедлива формула ь и(х)(Ь(х) = и(х)11(х) — и(х)Иа(х). ю (6.52) 4 Используя правило дифференцирования произведения функцнй [П), получаем (и(х)о(х)) = и'(х)е(х) + а(х)11'(х).
В силУ непрерывности на ~а, о] всех входящнх в это равенство функцнй существуют определенные интегралы от его обеих частей причем с учетом линейности определенного интеграла (ы(х)и(х)) йх = |й(х)и(х) Их + а(х) 11'(х) (Ь. Сделаем в интеграле справа замену переменного 1 = 1г/2- х. Прн этом Й=-дх, пределам О н т/2 интегрирования по переменному х отвечают пределы я/2 н О переменного ~ соответственно. Учитывал, что со8х = 81п(1г/2 — х), получаем 6.10. Вычисление определенного интегралв 255 Разрешая это равенство относительно последнего слагаемого в правой части и учитывая, что и'(х) Их = Ыи(х) и о'(х) Их = = й~(х), находим и(х) Ни(х) = / (и(и)ю(х)) Из — / и(и) Ии(з).
(6.53) Функция (и(х) о(х)) непрерывна иа отрезке ~а, 61 и имеет первообраэную, равную и(х)о(х). Поэтому (и(х)о(х)) Ых = ы(х)и(х) О Подставляя это выражение в (6.53), приходим к (6.52). ~ Рекомендации по выбору в подынтегральной функции сомножителей а(х) и Ио(х) те же, что и при вычислении неопределенного интеграла (см. 1.6). Пример В.14.
Вычислим определенные интегралы а) х2 1п х Их; б) хсоех Ых. а. Поскольку в подынтегральиое выражение входит функция 1п х, то ее целесообразно выбрать в качестве а(х): сЬ = й:/х ,зд и= 1пх, Й~ = х~Ых, | е х 1пхИх= 1 хЗ е = — 1пх 3 1 е хЗ ез х3 ~е ез ез 1 2ез+ — Ых= — — — ~ = — — — + — = Зх 3 9 ~1 3 9 9 9 1 б.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 256 б. Положим и(х) =х и получим Зм/2 З~г/2 З~г/2 Згг/2 Хг2(61ПХ) = ХЗ1ПХ О хсовхИХ = 61ПХ1Ь = ЗЗ ~з~г/2 ЗЗ = — — + созх~ = — — — 1. 2 ~о 2 гг/2 т/2 61п х Йх = — 61п х Йсозх = О О 1'л = ~г/2 м/2 = — 61п" 1хсозх +(и — 1) О 61П" ХСОВ Х<Ь= = (и — 1) (1 — 61п2 х) 61П" 2х сКХ = (и — 1)(Х„2 — Х„). Отсюда следует рекуррентное соотношение (6.54) при помощи которого интеграл 1„можно привести в случае четного и=2т (тЕ И) к интегралу ~г/2 1о — — 61п х Их = Ых = —, ° О 2' Пример 6.15. Вычислим определенный интеграл от фун Кцнн 61Пг'Х, И ~= Х, ПО ОтрЕЗКу [О, я/2~. ПОЛОЖИМ И(Х) = = 61п" 1х (тогда Ыи(х) = (и — 1)61П" 2хсовхйх) и Ыо(х) = =61ПХЫХ = -Н(созх). С учетом (6.52) получим 257 6.10. Вычисление определанного интеграла а в случае нечетного а = 2т+1 — к интегралу тг/2 11 — — 81пх~Ь = — совх = 1. О В итоге получаем ~г/2 2т-1 2т-3 3 1 Ваап х Их— 2т 2т-2 4 2 О ~г~г ггг~+~ 27В 2ФВ 2 1~гг~+1 = 81п х Их = 2т+1 2ж — 1 О я' (2т — 1)!! я 2 (2т)11 2 ' 4 2 (2т,)И 5 3 (2т+1)И Пример 6.16.
Из формул для 12 и 12 +1, полученных в примере 6.15, следует установленная в 1655 г. английским математиком Дж. Валлисом (1616-1703) еще до возникновения интегрального исчисления формула в виде бесконечного про- изведения я 2 2 4 4 2т, 2т 2 1 3 3 5 * 2т — 1 2т+1 (6.55) В самом деле, почленным делением произведений для 12 и ~2 +1 находим я 2 2 4 4 2т 2т 12 2 1 3 3 5 " 2т — 1 2т+1 Уг,„+1 (6.56) Так как 0<81п~ +'х<ап' х<81п~ 'х ЧхЕ О,— (напомним, что и.'! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих я и имеющих с ним одинаковую четность, причем по определению О!! = 1). 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 258 то, применяя свойства 6' и 8' (см. 6.7), получаем 0 ( 6~,„+1 ( (Ур (1~ 1, или с учетом (6.54) при я=2т+1 Используя этот результат и переходя в (6.56) к пределу прн т -+ оо, получаем (6.55).
ф Требование непрерывности подынтегральной функции при использовании (6.50) и (6.52) не является обязательным. Это вытекает из формулировок следующих теорем, доказательство которых приведено в Д.6.2. Теорема 6.19. Пустьфункции ДФ) и 7(х) интегрируемы на отрезках [а,,И) и [а, Ь] соответственно, а функция Д(х) = 10+ '~(8) 08~ Ф где Фо — — у(а) =сопвФ, не убывает наотреэке [а, Ь~ и у([а, Ь~) С С [а, ф Тогда функция ~(у(х)) у(х) интегрируема на отрезке [а, Ь~, причем «(ц Яд(х))'у(х) йх = Дй) й. ф «(е) (6.57) Если функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ц, то у(х) = = у'(х) ~Ь Е [а, Ь~ и утверждение теоремы 6.19 сводится к утверждению теоремы 6.17.
При т-+ оо (2ж+1)/(2т) -+ 1. Поэтому, согласно теореме о сходимости „промежуточной" последовательности [1-6.5), 6.10. Вычисление онРеделенного интеграла 259 Пример 6.17. Вычислим определенный интеграл от функции 2[х2]х по отрезку [О, 2,5]. Функция ~(Ф) =Я не убывает на всей числовой прямой Е и несмотря на то, что разрывна при целых значениях 1, интегрируема как монотонная на л1обом отрезке из В согласно теореме 6.10.
Функция ~(х) = 2х непрерывна на й и в силу теоремы 6.6 интегрируема на отрезке [а, о] = [О, 2,5]. Наконец, функция у(х) = йо+ у(х) Их =О+2 хсЬ = х2 а о не убывает на отрезке [О, 2,5], причем [у(а), у(о)] = [О, 6,25]. Следовательно, по теореме 6.19 функция ~(у(х))'у(х) = 2[х2]х интегрируема по Риману на отрезке [О, 2,5] и, согласно формуле (6.57), ь «(ц 2[х2]х~Ь = Яй = 4 в «(е) 2 Е,25 Яй= ~+ 6й= о В=1 $ х Й+ 6(6,25 — 6) = 16,5. 1=1 При вычислении интеграла от функции [~] использованы результаты примера 6.5. Графики функций у(х) и ~(Ф) показа ны на рис. 6 7, значение вычисленного интеграла соответствует заштрихованной площади.
Теорема 6.20. Если функции а(х) и и(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 260 то функции У(х)о(х) и и(х)У(х) интегрируемы на этом отрезке, причем У(х) и(х) Йх = Цх) У(х) ~ и(хЯ(х) Йх. ф (6.58) Дополнение 6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функций Приведем доказательства теорем, сформулированных в 6.5. Начнем с теоремы об интегрируемости на отрезке ограниченной функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Доказательство теоремы 6.8.
Сначала рассмотрим случай, когда функция Дх) имеет на отрезке [а, Ь] единственную точку разрыва на одном из его концов, например в точке а. При произвольном е > 0 выберем точку х1 так, чтобы е х1 — а<— 2ы' где () — колебание функции ~(х) на [а, Ь]. На отрезке [х~, Ь] функция непрерывна и в силу теоремы 6.7 интегрируема. Поэтому, согласно следствию 6.2, найдется такое разбиение Т1 —— (х1, хз, ..., х„), х„= Ь, отпрезка [х1, Ь], что и;Лх; < -, Ы2 где ы; — колебание функции Дх) на частичном отрезке [х; 1, х;]. Отсюда с учетом (6.59) и неравенства ы1 (ы для В частном случае, когда функции и(х) и и(х) на отрезке [а, Ь] непрерывны, имеем и(х) Их = й~(х) и и(х) (Ь = Иб"(х) при х б [а, Ь], т.е. равенство (6.58) сводится к равенству (6.52). Д.6Л. Доказательспю теорем о классах интегрируемых Функций 261 разбиения Т=(хО— - а, х1, ..., х„) отрезка [а, Ь] получаем откуда в силу теоремы 6.6 и (6.24) следует интегрируемость функции ~(х) на отрезке [а, 6].
Доказательство в случае точки разрыва функции на правом конце отрезка [а, 6] аналогично. Перейдем к общему случаю, полагая, что помимо возможных точек разрыва на обоих концах отрезка [а, Ь] функция Дх) имеет еще т точек разрыва (1 < (~ < ... < ~,„в интервале (а, 6). Выберем тй+1 точку п1, цз, ..., и„,+1 так, чтобы были выполнены неравенства а < 91 < 6 < Ъ < 42 » «Ъз < б < 9т+1 < Ь. Тогда на каждом из отрезков ~а, р1], [р1, (1], [ф1, ря], ..., [~~, де~+1], [р,а+1, Ь] функция Дх) будет иметь не более одной точки разрыва, причем каждая такая точка будет совпадать с одним из концов отрезка. Значит, как доказано выше, функция интегрируема иа каждом из этих отрезков, а поэтому, согласно замечанию 6.3, она интегрируема на всем отрезке [а, 6]. Доказательство теоремы 6.9. Перейдем к доказательству теоремы о том, что если две функции ~(х) и у(х) различаются лишь в конечном числе точек, то интегрируемость одной из них равносильна интегрируемости другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
