VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поскольку т < Дх) < М х Е [а, Ь], то на основании неравенства (6.39) можно записать Ь т < — У(х) ах < М. 1 в Докажем две теоремы, имеющие важное теоретическое и прикладное значение. Теорема 6.13. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на зтом отрезке найдется хотя бы одна точка с, для которой справедливо равенство Ь 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 242 Пример 8.7. Найдем среднее значение функции Дх) = = т'сзз — хз вв отрезке [О, я] и точку с, в которой фуккиии принимает это значение. Графиком данной функции на отрезке ~0, В~ является четверть окружности радиуса В с центром в начале прямоугольной системы координат хОу (рис.
6.6). Поэтому определенный интеграл у[х) Их = ЧЯ' — хе их о о равен площади четверти круга, те ~гВ~/4. Тогда, согласно (6.44), Рис. 8.8 ,~~-*Чх=-'аз=~[с)я= ~~- зК 4 Обозначим среднюю часть этого неравенства через ~и. Тогда р й= ~т, М). Согласно теореме Больцано — Коши ~1-9.4], найдет ся хотя бы одна точка сй= ~а,Ц, в которой Дс) =р,. Учитывая определение числа ~и, получаем (6.44). ° Значение Дс) функции ~(х) в (6.44) называют ее сред ким зкачекием ка отирезке ~а,Ц.
Обратимся к геометрн ческой интерпретации (6.44). При Дх) ) 0 Чх й= ~а, Ц одре деленный интеграл в левой части (6.44) представляет площадь криволммедной трапеции аоВА (рис. 6.5), имеющей основани У ем отрезок ~а,б~ и ограниченную графиком функции ~(х) н прямыми х=а, х=б. Согласно Лх) Яс)- (6.44), эта площадь равна пло! щади прямоугольника с тем же А основанием и высотой, совпада- ющей со значением Дс) функ- Рис.
В.б цик ~(х) в точке сй= [а,6~. 6.8. Теоремы о среднем знвчении для определенного интегрввв 243 Отсюда среднее значение функции ~(х) на отрезке [а, Ь) равно й В ~(с) = Вз — сз = — В и с = — 16 — ~гз. 4 4 Теорема 6.14. Еслифункция ~(х) непрерывна, афункция д(х) интегрируема и знакопостоянна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка с, для которой справедливо равенство Ь Ь Дх)д(х) Их = Яс) д(х) сЬ. (6.45) 4 Примем а < Ь и д(х) ) О Чх Е [а, Ь).
Так как функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь), то, согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4), она достигает на этом отрезке наименьаего т и наибольшего М значений и при этом т<~(х) <М ~х Е [а, Ь]. В силу свойства 6' (см. 6.7) можно написать Ь Ь Ь т д(х) ах < ~(х)д(х) Йх < М д(х) Ых.
(6.46) О О О Согласно свойству 5©, интеграл от неотрицательной функции ®еотрицателен, т.е. д(х)ах > О. Замечание 6.5. Используя свойство 7' определенного интеграла (см. 6.7), можно доказать более общее утверждение, а именно: если функция У(х) интегрируема на отрезке [а, Ь) и на этом отрезке т < Дх) < М, то существует такое число р, что Ь 6.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 244 2хНх 2 ~~+ Зх ~~+ Зс 1 хИх = 1+ Зс 1 где с Е (О, 1), а интеграл ~хЫх выражает площадь треугольника с вершинами (О;О), (1;О) и (1;1) и равен 1/2. Так как 1( ~/Г+Зс(2, то в итоге имеем 1/2(1 <1. Замечание 6.6. Как и в случае теоремы 6.13, можно доказать более общее, чем в теореме 6.14, утверждение: если функции ~(х) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, Ц и на этом отрезке т(~(х) (М, а функция д(х) энакопостоянна то существует такое число р (т ( ]и ( М), что 6 ь Дальнейшее обобщение теорем о среднем значении Дл" определенного интеграла дано в Д.6.4. Если Х=О, то интеграл в средней части (6.46) также равен нулю и (6.45) верно для любой точки с б [а, 6].
Если же У > О, то, разделив (6.46) на Е, получим ь т ( — Ях)д(х) Йх ( М. 1 у а Обозначим среднюю часть этого неравенства через р. Так как и б [т, М1, то, согласно второй теореме Больцано— Коши [1-9.4~, найдется хотя бы одна точка с Е [а, б], в которой Дс) = р. Отсюда с учетом определения числа р следует (6.45). Аналогично доказательство справедливости (6.45) в случае д(х) ( 0 Ух б [а, Ц. фр Пример 6.8. Оценим значение определенного интеграла от фуикции 2х/1/1+Зх ко отрезку [О, 1]. Поскольку фувкции х неотрицательна на [О, Ц, то, применяя теорему 6.14с Дх) =х и у[х) = 2/~~+Зх, иолучесм 245 Б.9. Определенный интетрал с переменным пределом 6.9.
Определенный интеграл с переменным пределом Р( ) = Дю)й. (6.47) 1 Так как функция Дх) интегрируема на отрезке [а,6], то она в силу теоремы 6.1 ограничена на нем, т.е. ~У(хИ ( М Чх Е [а,6]. Придадим произвольному хне [а, 6] приращение Ьх, не Выводящее точку хо+Ьх за пределы отрезка [а,6]. Тогда В силу аддитпиеностпи определенного интпеграла приращение функции Г(х), соответствующее приращению Ьх, можно представить в виде ао+~~ Если функция ~(х) интпегрируема на отрезке [а, 6], т.е.
существует определенный интеграл от этой функции по данному отрезку, то, согласно свойству 2' (см. 6.7), существует определенный интеграл от этой функции по любому отрезку [а, х] С [а, 6]. Такой интеграл называют определенным интпеарахом с переменным верхним пределом. Согласно тому же свойству, существует интеграл по любому отрезку [х, 6] с [и, 6], назыВаемыи опреде,яенным «нтпегро~йом с переменным нижним пределом.
Ясно, что определенный интеграл с переменным пределом обладает всеми свойствами, установленными выше для интеграла по фиксированному отрезку [а, 6], но является функцией этого переменного предела. Теорема 6.15. Если функция ~(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то на этом отрезке непрерывна функция 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 246 Учитывая замечание 6.4, находим ~о+ 4~ < й~)~й < М~Ьх!. О< ~ЬР~= Р'(хо) = ~(хо). (6.48) ~ Пусть хо — точка непрерывности функции ~(х), е— произвольное положительное число.
Тогда в силу определения непрерывности функции в точке ~1-9.Ц найдется такое о = = о(е) ) О, что при условии ~х — хо~ < о(е) будет выполнено неравенство ~~(х) — Дхо)! < е/2. Так как У(хо) й = 1(хо) (х — хо), то можно записать Р(х) — Р(хо) — Лхо) = хо Д~) й — Дхо) й хо Устремляя Ьх к нулю, получаем 1пп ЬГ= О, что и доказыиа ьз->о ет непрерывность функции Г(х) в точке хо. При совпадении точки хо с одним из концов отрезка [а, Ь~ функция Р(х) будет непрерывна либо справа в точке а, либо слева в точке о ~1-9.3~. Так как хо является произвольной точкой отрезка ~а, Ц, то функция Р(х) непрерывна на этом отрезке. ~ Теорема 6.16. Если функция ~~(х) непрерывна в точке хо б ~а, 01, то функция Г(х) (6.47) дифференцируема в этой точке, причем 6.9.
Определеыный интеграл с переменыым аределом 247 Отсюда, учитывая (6.43), находим Г(х) — Р(хо) х — хо (У(~) — У(хо)) й 1х — хо1 хо 1 с( ! х — хо! хо для всех х Е 1а, Ь|, для которых ~х — хе~ < 8(е). Следовательно, в силу определения производной функции в точке 11Ц получаем И(хо) = 1нп = Дхо), Г(х) — Р(хо) что доказывает утверждение теоремы. > Следствие 6.4.
Если функция Дх) непрерывна на отрезке ~а, Ь), то она на нем имеет первообразную, причем одной из первообраэных является интеграл с переменным верхним пределом, Щ)й= Дх), те. на этом отрезке производная от интеграла с переменным верхним пределом равна иодыитпегральной фуюсции, вычислен- ®ой при значении верхнего предела. 4 Согласно теореме 6.7, непрерывнал на отрезке функция интегрируема на нем. Поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает из теоремы 6.16 и определения 1.1 перво- образной, поскольку хо в (6.48) является произвольной точкой отрезка 1а, Ь~.
~ Таким образом, непрерывность функции на отрезке является достаточным условием существования на нем у этой функции первообразной, а значит, и неопределенного интпеграюа. На основании следствия 6.4 можно заключить, что для непрерывной на отрезке 1а, Ь1 функции ~(х) 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 248 а) е' Й; а о) з1п 38Й; в) агсап 8Й. а. Подынтегральная функция Дх) = е непрерывна на всей числовой оси. Поэтому, используя следствие 6.4, получаем $2 ~3 е Й=е Чх ЕИ. б. На основании свойства 1' определенного интеграла (см. 6.7) можно написать з1п~31Й= — — з1п 3$Й = — з1п~Зх Ух Е Й.
~Ь в. Представим заданную функцию в виде сложной функции аргумента х: и(х) = х, Р(а) = агсз1п$Й, х, а Е ~0, Ц. о Так как функция агсз1п1 непрерывна на 10, Ц, функция Г(и) дифференцируема на этом отрезке. Функция и(х) также является дифференцируемой, поэтому и сложная функция Р(я(х)) дифференцируема на отрезке [О, Ц 11Ц и — Р(и(и)) = — Р(и) ~ И Иа Здесь з = агсз1п и = агсз1п х ит.хз и=И Пример 6.9.
Найдем на отрезке ~0, Ц производные от функций 6.9. Определенный интеграл с переменным пределом 249 и йи/йх =Зх~. В итоге находим — агса1п$й=Зх агсапх, х б ~0, Ц. г з Их о У(Ф) й = Р(Ь) — Р(а), (6.49) где Р(х) — любая из первообразных функции Дх) на этом отрезке. 4 В силу теоремы 1.1 и следствия 6.4 любую первообразную Р(х) функции Дх) на отрезке ~а, Ь~ можно представить в виде Дй) й.
Р(х) =С+ При х=а получаем Р(а) =С и затем Р(х) = Р(а)+ ~($) й. Полагал здесь, что х = Ь, приходим к (6.49). ~ Разность в правой части равенства (6.49) изображают симь волом Р(х) и (6.49) записывают в виде ь У(1) й = Р(х) а Равенство (6.49), как и в случае интеграла Ньютона, назы®ают формулой Вьюювома — Ле46квца. Следствие 6.5. Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке ~а, Ь). Тогда 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 250 Пример 6.10. Вычислим определенные интегралы (х — в)п х) ах. а) е ах; -1 а.
Подынтегральная функция е непрерывна на отрезке ~ — 1, 3]. Поэтому, используя формулу (6.49) Ньютона — Лейб ница, получаем з 1 е ах=е =е — —. -1 е 81пхах = (х — в~п х) ах = о о 1 1 1 — — + совх = — + сов1 — 1 = сов1 — —. 2 о о 2 2 Следствие 6.6. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь] и определенный интеграл от этой функции по любому отрезку ~а,~У] С 1а, Ь] равен нулю, то Дх) =0 при х Е ~а,Ь]. ~ Согласно следствию 6.4, непрерывная на отрезке ~а, Ь] функция ~(х) имеет на нем некоторую первообразную Г(х), которая в силу теоремы 6.16 непрерывно дифференцируема на ~а, Ь].
По условию для произвольных а, ф б ~а, Ь] с учетом формулы (6.49) Ньютона — Лейбница имеем Г(,8) -Р(а) =О, т.е. Р(х) = =сопвФ при х б ~а,Ь]. Поэтому на основании определения 11 первообразной,Р(х) = ~(х) = 0 при х Е ~а, Ь]. ~ 6.10. Вычисление определенного интеграла Чтобы вычислить определенный интеграл, можно испол эовать его представление через предел инвмгральных сумм этот путь обычно приводит к громоздким выкладкам. Вмест сте -1 б. Функция * — в1п х непрерывна на ~0, 1]. Учитывая линейностпь определенного интпеграла, находим 6Лав рд р 251 Пример 6.11. Вычислим определенные интегралы х «Ь; б) а) а. Одной из первообразных функции х при аф — 1 будет Г(х) = х +~/(а+1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
