VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Функция и(х) = у(х) — ~(х) на отрезке [а, Ь] отлична От нуля лишь в конечном числе й точек. Поэтому она Ограничена, так как принимает лишь конечное число значений, и непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек. действительно, если хО Е (а, 6) и и(хО) = О, то функция и(х) ®епрерывна в точке хО, потому что обращается в нуль в ®итервале (хо — ю,хо+8), где 8 — наименьшее расстояние от 263 Д.б...д. Доказательство теореи 6.19 и 6.20 Дополнение 6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 Доказательство теоремы 6.19. Рассмотрим некоторое разбиение Т = (хо — — а, х1, ..., х;, ..., х„= Ц отрезна [а, Ь), на а частиичных отрезков [х; 1, х;) длиной Ьх;.
Положим Ц =у(х;) и т; =у®) в некоторых точках (; Е [х; 1, х;). В силу монотонности функции д(х) имеем у(а)=$о ~ 11 ~ ... ($„=у(6) и Ц 1(т;($;. ~(дфЦуф)ьх; =~ /(т,) уЯьх<ш дж1 дж1 в В = ~ Дт<)(д(х<) — д(х< ~))+~ Дт;)г<= д=1 д=1 в ФЪ = ~Дт;)ы;+ '~ /(т)т<, (6.60) где Ьц=ц — ц1 и х; а = ~(6)Ьхд — Мхах = 7®)~М вЂ” Ю( д)+Ю(хд-1) х; д Используя неравенство (6.41), находим, что х; / (7Ыю) 7(*))"* Ц= хю-1 хю-1 Итак, точки $о, $1, ..., $„(среди которых могут быть одина ковые) образуют разбиение Т' отрезка [у(а), у(6)~.
Иитпегральную сумму для функции ~(у(х))7(х), соответствующую разбиению Т, запишем в виде 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ где ы; — колебание функции у(х) на отрезке [х; 1, х;]. Интегрируемая на отрезке [а, ф] функция Я) на основании теоремы 6.1 ограничена на [а,,6], т.е. ~Д$)~ < М 'Й Е [о, ф Поэтому в силу (6.60) получаем, что тВ и в ~(д($))у($)ь*<-) 7(т)ж< < м~ мах<. (661) з=1 и=1 с=1 Ь' = мах(Ц вЂ” Ц 1) = шах (д(х;) — д(х; 1)) < е. 1=1,а ~=1,я Таким образом, если Ь -+ О, то и Ь' -+ О. Функция Д8) интегрируема на отрезке [д(а), д(Ь)] С [а, ~3], Поэтому в силу определения 6.3 предела интегральной суммы и (6.6) л(ь) 1!т ~ Дт;)Ы< — — / ~(Ф)Й.
1ж1 л(©) Так как функция ~(х) интегрируема на отрезке [а, Ь], то согласно следствию 6.1, !1т ~и;Ьз, =О. й-+О . с=1 (6.63) Переходя в (6.61) к пределу при Ь-+О (азначит, и при Ь'-+0) устанавливаем с учетом (6.62) и (6.63), что интегральная сумма для функции ~(д(х))7(х) на отрезке [а, Ь] имеет предел, т е.
Функция д(х), согласно теореме 6.15, непрерывна на отрезке [а, Ь], причем в силу равномерной непрерывности на этом отрезке для произвольного числа е > 0 найдется такое 8 = о(е) > О, что если х, х' е [а, Ь] и )х — х'~ < 8(е), то ~д(х) — д(х') [ < е [1-5.9].
Отсюда следует, что если максимаюьный шаг разбиения Т отрезка [а, Ь] удовлетворяет неравенству Ь < б(е), то максимальный шаг разбиения Т' отрезка [д(а), д(Ь)] удовлетворяет нера- венству Д.6.3. Сваэь интеграюв Нъютонв и Рикана Дополнение 6.3. Свизь интегралов Ньютона и Римана Предположим, что функция ~(х) интегрируема на отрезке ~а, Ц и имеет переообразную, т.е. для нее на этом отрезке существуют и интеграл Римана 1д, и интеграл Ньютона,Ъ. Естествен вопрос: совпадают ли значения этих интегралов? Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема 6.21. Если функция Дх) интегрируема на отрезке ~а, 6) и имеет на этом отрезке первообразную Р(х), то интегралы Римана и Ньютона от этой функции по данному отрезку совпадают. 4 Так как функция Дх) имеет на отрезке ~а, Ц первообразную Р(х), интеграл Ньютона можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница. Покажем, что эту формулу можно использовать и для интеграла Римана. Возьмем произвольное разбиение Т отрезка ~а, Ц на ча стичные отрезки ~х; 1, х;], ~ = 1, и. Согласно определению первообразной, функция Г(х) на каждом частичном отрезке удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа ~П1.
Поэтому для любого ~=1,п найдется такая точка ~; Е ~х; 1,х;~, чтобудет верно равенство Р(х;) — г (х; 1) = Р'®) Ьх; = Я;) Ьх;, где Ьх;=х; — х; 1, ~ — — 1,п. Следовательно, Левая часть равенства (6.69) представляет собой интегральную сумму функции Дх), соответствующую разбиению Т отрезка [а, 6) и специальным образом подобранным точкам (;. В силу интегрируемости функции ~(х) существует предел указанной суммы при стремлении к нулю максимального ша га разбиения Ь, причем этот предел равен интегралу Римана 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 268 Дх) Их = Е(6) — Р(а), в т.е.
в условиях теоремы интеграл Римана можно вычислять по формуле Ньютона — Лейбница. Это равносильно совпадению интегралов Римана и Ньютона. ~ Замечаиие 6.8. Доказанная теорема фактически утверждает, что интегрируемость функции на отрезке и существование на этом отрезке первообразной достаточны для формулы Ньютона — Лейбница, которая в рамках интеграла Римана была доказана лишь для непрерывной на отрезке функции. Итак, интегралы Ньютона и Римана совпадают, если оба существуют.
Можно, однако, привести примеры, когда существует один из этих интегралов, но не существует другой. Пример 6.18. а. Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что функция х2з1п —, х у~ О; 2х~ ' О, *=О является на отрезке [О, 1] первообразной функции Я' 4Г 3Г 2хз1п —, — -соз — „х;Е О; Дх) 2х~ ю 2х~ ' О, х=О. Следовательно, для функции Дх) по отрезку [О, 1] существу ет интеграл Ньютона, равный, согласно формуле (5.3) Ньюто на — Лейбница, 4ч = з1п(я'/2) = 1.
Но интеграл Римана от этой функции на том же отрезке не существует, так как функция Дх) не ограничена на отрезке [О, 1]. функции У(х) на отрезке [а, Ь]. Так как интегральная сумма на самом деле имеет фиксированное значение Р(Ь) — Г(а), то для интеграла Римана приходим к формуле 269 Д.бА. Обобщение теорем о среднем значении Дополнение 6.4. Обобщение теорем о среднем значении Теорема 6.22. Если функция д(х) непрерывна на отрезке 1» о], а функция Дх) неотрицательна, не возрастает и непреРывно дифференцируема, то существует такая точка с Е 1», о], что 6 с Дх)д(х)»х = Да) (6.70) д(х)»х. б.
Функция Дх) = 281п(1пх) ограничена и непрерывна на отрезке 10, Ц всюду, кроме точки х=О. Согласно теореме 6.8, она интегрируема на 10, Ц и ее интеграл Римана равен 1 1 2в!п()пз) Из = ~лв~п()пи) — хсов~)пж) = -1, о о где под значением первообразной в точке х=О понимается ее предел при х-++О. Однако функция Дх) не имеет первообразной на отрезке ~0, Ц. В самом деле, зта функция имеет первообразную Р(х) = = хв1п(1пх) — хсов(1пх) на любом промежутке (о, Ц. Значит, если Дх) имеет первообразную, тоеюявляетсяфункция Р(х), доопределенная в точке х = 0 значением 0 своего предела при х -++О.
Но доопределенная таким образом функция оказывается недифференцируемой в точке О, так как предел Р(Ьх) — Г(0) 1ип = 1пп (81п(1пЬх) — сов(1пЬх)) = Ье-+о Ьх Ье-+о 7Г = 11п1 ~/2»1п 1пЬх —— ьж-+о 4 не существует. Отметим, что точка х = 0 для функции ~(х) является точкой разрыва второго рода, так что интеграл Ньютона для функции Дх) на отрезке 10, Ц не существует и в обобщенном смысле (см.
5.2). 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 270 ь Х(х)д(х) йх = Ях) йС(х) = Дх)С(х) а ь У'(х)С(х) а = У(Ь)С(Ь)- У (х)С(х) сЕх. (6.73) Так как функция ~(х) не возрастает на отрезке [а, Ь|, то ~'(х) < 0 Чх Е= [а, Ь1. Поэтому с учетом (6.72), замечания 6.6 и неравенства ДЬ) > О, вытекающего из неотрицательности функции Дх) на [а, Ь], можем записать ь ь ~'(х)С(х) йх < МЯЬ) — М ~'(х) ах = У(Ь)С(Ь)— й = МДЬ) — МЯЬ) — Да)) = М~(а), ь ~'(х)С(х) Йх > тДЬ) — т ~'(х) 4х = У(Ь)С(Ь)— а й = т~(Ь) — т(ДЬ) — ~(а)) = т~(а).
~ В силу непрерывности на отрезке [а,Ь1 функция Дх)д(х) интегрируема на этом отрезке. Согласно следствию 6.4, одну из первообразных функции д(х) на отрезке [а, Ь1 можно записать в виде интпеграла с переменным верхним пределом: С(х) = д®й Чх е [а, Ь3. (6.71) 6 Функция С(х) как первообразная, согласно теореме 6.15, непрерывна на отрезке [а, Ц и поэтому в силу второй теоремы Вейерштрасса [1-9.4) достигает на этом отрезке наибольшего М и наименьшего т значений, т.е.
т » «С(х) «М Чх Е [а, Ц. (6.72) Учитывая„что аС(х) =д(х)ах и С(а) =О, и интегрируя левую часть (6.70) по частям, находим ь ь 271 Д.6А. Обобщение теорем о среднем значении Объединяя эти неравенства с (6.73), получаем тра) < ~(х)д(х)ах < М~(а). Если ~(а) =О, то из неотрицательности и невозрастания на [а, 6] функции Дх) следует, что Дх) = 0 Чх Е [а, 6). В этом случае утверждение теоремы верно при любом выборе точки с Е [а, 61. Если же Да) > О, то т < — Ях)д(х) ах < М. 1 ~(а) а (6.74) 1 д(х) ах =— 1(а) О(с) = Дх)д(х) ах. Отсюда следует утверждение теоремы.
$» Таким же путем можно доказать следующую теорему. Теорема 8.23. Если функция д(х) непрерывна на отрезке [а, Ц, а функция ~(х) неотрицательна, не убывает и непреРывно дифференцируема, то существует такая точка с Е [а, Ц, что Ь Ь ~(х)д(х) ах = Д6) д(х) (Ь. 4~ (6.75) Формулы (6.70) и (6.75) называют формулами Бонне по ®Мени французского математика П.О. Бонне (1819-1892).
Непрерывная на отрезке [а, 6~ функция С(х) принимает любое значение, лежащее между ее минимальным ш и максимальным М значениями [1-9.41. Поэтому, сравнивая (6.74) с (6.72), заключаем, что существует такая точка с Е [а, Ц, в которой с учетом (6.71), 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 272 Теорема 6.24. Если функция д(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], функция ~(х) монотонна и непрерывно дифференциру ема, то существует такая точка с Е [а, Ь], что Дх)д(х) Ых = Да) д(х) Юх+ ЯЬ) У(х) 4х. (6.76) й(х)д(х) ах = Ь(Ь) д(х) ах, или после подстановки выражения для функции й(х) фх) — ~(аЯд(х) йх = (~(Ь) — 3'(а)) д(х) ах. Отсюда с учетом линейности и аддитпивностпи определенного интегра4а Ях)д(х)ах = ~(а) д(х)ах — ~(а) д(х) ах+ у(х) ахи д(х) Ых = ~(а) д(х) Их+ ДЬ) + У(Ь) что совпадает с утверждением теоремы.
Если же функция ~(х) не возрастает на отрезке [а, Ь1 то функция ю(х) = ~(х) — ДЬ) будет на этом отрезке неотр» цательной, невозрастающей и непрерывно дифференцируемо»' 4 Допустим сначала, что функция Дх) не убывает на от резке [а, Ь]. Тогда функция й(х) = ~(х) — ~(а) будет на этом отрезке неотрицательной, неубывающей и непрерывно диффе ренцируемой. Поэтому, согласно утверждению теоремы 6.23, существует такая точка с б [а, Ь], что 273 Вопросы и эадвчи Поэтому, согласно утверждению теоремы 6.22, существует та- кая точка сЕ [а, Ц, что ш(х)у(х) пх = ю(а) у(х) Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
