VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 25
Текст из файла (страница 25)
6.Т. Основные свойства определенного интеграла 1о. Если функция Дх) интпегрируема на отрезке ~а, Ь|, то (6.29) До сих пор мы говорили об интегрировании функции по отрезку, т.е. подразумевали, что нижний т1редел интпегрироеанил а меньше верхнего предела интпегрирования Ь. Определенный интеграл Римана можно распространить на случай а ) Ь, причем различными способами. Сформулированное свойство есть общепринятый способ распространения понятия интеграла Римана на случай, когда нижний предел интегрирования больше верхнего.
Разбиением Т, соответствующим паре точек а и Ь, назовем множество точек хо = а, х1, ..., х„1, х„= Ь, расположенных 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 232 в направлении от а к Ь, т.е. при а > Ь имеем а=х0 > х1 » ... х„1 > х„=Ь. (6.30) 2'. Если функция ~(х) интегрируема на отрезке ~а„Ь], то она интегрируема на любом меньшем отрезке [о, ~3] С ~а, 6]. 4 Согласно следствию 6.2, для произвольного е > 0 существует такое разбиение Т отрезка ~а, 6] с частичными отрезками ~х; 1,х;], 1=1,п,, что (6.31) где ы = М; — т, Ъ 0 — колебание фующии ~(х) на частичном отрезке ~х; 1, х;]. Добавив к разбиению Т точки о и А получим новое разбиение Т', для которого, согласно теореме 6.2, будем иметь й(Т') < й(Т) се.
Обозначив Ьх; = х; — х; 1 и выбрав точки ('; между точ ками х; 1 и х;, составим интегральную сумму в соответ ствии с формулой (6.2). Предел интегральных сумм при Ь = = тах~Ьх;~ -+ 0 назовем определенным интегралом, соответ 1=1, в ствующим нижнему пределу интегрирования а и верхнему пределу интегрирования 6.
Очевидно, что это определение интеграла при а < 6 со впадает с прежним. Однако новое определение, в отличие от прежнего, допускает и случай а > 6. При этом легко убедиться, что из нового определения вытекает свойство 1'. Новое определение является корректным и в „вырожденном" случае а=6. Если а=6, все точки разбиения должны совпадать, а интегралу следует приписать нулевое значение: 233 6.7.
Основные свойства определенного интеграла Обозначим точки разбиения Т' через у;, ! =1,т, и пусть значения Й и ! индекса З соответствуют точкам а и,В: р — а, у~ =,В, Й < !. Точки у~, у~+1, ..., у~ образуют разбиение отрезка [а„8], для которого Е иФВ<Еи3ьв=а(т) се, так как каждое слагаемое указанных сумм неотрицательно. Согласно следствию 6.2, функция Дх) интегрируема на от- резке [а,,д].
° 3'. Если функция ~(х) интегрируема на наибольшем иэ отрезков [а, 6), [а, с) и [с, Ь), то она интегрируема на двух других отрезках и справедливо равенство В с ь Дх) Их = ~(х) Ых+ ~(х)с!х, (6.32) каково бы ни было взаимное расположение точек а, 6 и с. ~ Предположим сначала, что а < с < Ь и функция Дх) интегрируема на отрезке [а, 6). На основании свойства 2' определенного интеграла заключаем, что ~(х) интегрируема на отрезках [а, с) и [с, Ь), так как [а, с) С [а, Ь) и [с, Ь) С [а, Ь).
Поэтому в дальнейших рассуждениях можно использовать некоторый специальный вид разбиений этих отрезков. Рассмотрим разбиение Т„от- Т Резка [а, 6] на и частичных отреза с Ь х ков, причем точку с будем счив Т„ тать однои из точек деления этого отрезка (рис. 6.3). Пусть при рис. В.З этом Т~ и Т„, — разбиения отрезков [а, с] и [с, 6] на й и ~ частичных отрезков соответственно (Й+ т = и). Тогда интегральнуюсумму функции ~(х) для разбиения Т„=Т~ОТ б. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 234 отрезка [а, 6] можно записать в виде (6.33) Ь с Дх) Их = Дх) <Ь+ ~(х) ах.
а Ь Разрешая зто равенство относительно интеграла по отрезку ~а, Ц и используя свойство 1' определенного интеграла, полу- чаем с Ь ~(х) Ых = Дх) сЬ+ Дх) ах = Дх) ах. Ь в с Аналогично это свойство можно доказать для любого дру гого взаимного расположения точек а, 6 и с. )~ Доказанное свойство называют аддитиивностпью оиреде яенноао инюпеараюа. Замечавке 6.3. Можно доказать, что если функцн" интегрируема на двух из трех отрезков с концами а, 6 то она интегрируема н на третьем.
Пусть, например, а < с < ~' где первое слагаемое справа соответствует разбиению Ть от резка ~а,с1, а второе — разбиению Т,» отрезка ~с,6]. Црн стремлении максимального шага Й разбиения Т„к нулю, оче. видно, стремятся к нулю и максимальные шаги Ь' и Ь" раз. биений Т~ и Т соответственно. Согласно определению 6„4 интегрируемой на отрезке функции, существуют конечные пре. делы каждой из интегральных сумм в (6.33), равные соответствующему определенному интегралу, что доказывает справедливость (6.32).
Пусть теперь а < 6 < с. Тогда на основании доказанного имеем 6.7. Основные свойств» определенного ннтегр»а» 235 рргда, если функция интегрируема на отрезках [а>с] и [с,6], то она интегрируема и на отрезке [а> Ь]. Из сказанного вытекает, что если отрезок [а, 6] разделен на и частичных отрезков так, что на каждом иэ этих частичных отрезков функция ~(х) интегрируема, то эта функция интегрируема и на всем отрезке [а,0]. Пример 6.5. Вычислим определенный интеграл от функции ~(ж) =1пф по отрезку [1, и+1], т1Е М. В данном случае [н] означает целую часть числа х.
Следовательно, функция ~(ю) не убывает, но имеет точки разрыва первого рода при целых значениях м1> = й+1, й =~.,п. В силу теоремы 6.8 зта функция интегрируема на любом отрезке из ее области определения. Поскольку 1пЦ =! и й = сопвФ Чю Е [й, й+ 1), то, используя аддитивность определенного интеграла, получаем и ~+1 >й 1+1 1п1х)хх=~ /1пй~>х=~ 1пй / А=1 ~ 1=1 Их = ~ 1пй =1п1п1).
Графики функций 1пж и 1п[х] представлены на рис. 6.4 (за штрихованнал площадь отвечает значению интеграла). ф Рис. 6.4 4'. Если функции ~1(м) и Яю) интегрируемы на отрезке [е Ь], то их линейная комбинация Л1~>1(ж) + Лр®х) (Л1, Лэ б й) ~акже интегрируема на этом отрезке, причем Ь Ь | 1Л~Л(х)+ Лп>41х)) Их = Л~ /Ях) Их+ Лп / Ях) Их. ~634) а О О 237 6.7. Основные свойства определенного ннтеграла 6'. Если функции ~(х) и у(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь| и ~(х) ~~ у(х) Чх Е [а, Ь), то Ь Ь Дх) ах > у(х) ах.
(6.37) (~(х) — у(х)) ах > О. О Отсюда, используя снова свойство 4', получаем (6.37). ~в 7'. Пусть функции Дх) и у(х) интегрируемы на отрезке [а, Ь), а также т< ~(х) < М и д(х) >О Чх б [а, Ь1. Тогда Ь Ь Ь т у(х) ах ( ~(х)у(х)с~х < М у(х)сЬ. (6.38) 4 По условию т < ~(х) < М Чх б [а, Ь]. Умножая все части зтого неравенства на у(х) > О, получаем тд(х) ( Ях)у(х) < Мд(х). Отсюда в силу свойства 6' и линейности определенного интеграла следует справедливость (6.38). ~ Если у(х) < О Чх Е [а, Ц, то, очевидно, справедливо неравен- ство М у(х) ах ( Ях)у(х) Их < т у(х) Йх.
4 В силу свойства 4' линейности определенного интеграла функция Дх) — у(х) > О Чх Е [а, Ь1 интегрируема на отрезке [а, Ц и, согласно свойству 5' определенного интеграла, 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 238 т(Ь вЂ” а) ( Дх) Нх < М(Ь вЂ” а), О (6.39) так как при этом у(х) Их = Ых=Ь-а. Свойство 7' иногда называют теоремой об оценке определенного интеграла.
8'. Если функция Дх) интегрируема и неотрицательна на отрезке [а, Ц (а(Ь) и существует точка х'Е [а, Ц, в которой Дх) непрерывна и положительна, то Ь Дх)дх > О. О (6.40) 4 Согласно свойствам функции, непрерывной в точке [1-9.2), и условию теоремы, существует окрестность точки х' (или полу- окрестность этой точки, если х' совпадает с одним из концов отрезка), в которой Дх) > О. Выделим в этой окрестности (или полуокрестности) отрезок [а, Д, на котором ~(х) > А > О. Тогда в силу аддитивности определенного интеграла и свойства 5' имеем Ь а 8 Ь Р Дх)ох = Дх) ~Ь+ Дх) ~Ь+ Дх) Ых > ~(х) Их.
Учитывал свойство 6', получаем Ь Р Дх)<Ь > Дх) Ых > А(,8- а) > О. ° В частном случае при у(х) ы1 Чх б [а,Ь~ (6.38) переходит в неравенство 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 240 с колебанием ы; функции ~(х) на этом же отрезке неравен ством ы,'<ы;, ~=1,п. Следовательно, и и и,'Ьх< < 2 и;Ьх; ( е. Согласно следствию 6.2, функция Щх) ~ интегрируема на отрезке [а,6].
Так как -~~(х)~ < ~(х) < ~~(х)~, х б [а, Ь~, то, согласно свойству 6' определенного интеграла, Щх) ~ Ых, Щх)~с8х < ~(х)~Ь < Замечание В.4. Свойства 5'-10' справедливы лишь при условии а < 6, но их можно распространить и на общий случа~ Например, неравенство (6.41) при отсутствии условия а < следует записать в виде ь ь Дх) сЬ !У(хИ Ь что равносильно неравенству (6.41).
$ь Отметим, что из интегрируемости функции Щх)~ на отрезке [а, б) неследуетинтегрируемостьфункции Дх) назтом отрезке. Пример 6.6. Пусть ~(х) = Х(х) — 1/2, где Х(х) — фунхчы Дирихле (см. пример 6.2), Функция Щх)~ = 1/2 интегрируема на любом отрезке [а, Ц С Ж, тогда как функция Дх) не интегрируема на [а, 6]. Действительно, в противном случае в силу линейности определенного интеграла функция Х(х) = = ~(х) + 1/2 также была бы интегрируемой, но, как показано в примере 6.2, зто не так. 6.8.
Теоремы о среднем значении для определенного интегрвлв 241 Действительно, при а < Ь неравенства (6.41) и (6.43) совпада1от в силу неотрицательности функции Щх)~. Если же а > Ь, то, принимая во внимание свойство 1' и неотрицательность интеграла от неотрицательной функции Щх)~ (свойство 5'), имеем Ь О Ь Дх) ах ~(х) ах < ~,~(х)~Их = а Ь Щх)~<Ь = ~~(х)~ах . Ь О 6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла Дх) ах = ~(с)(Ь вЂ” а). О (6.44) 4 Так как функция ~(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то в силу теоремы 6.7 она интегрируема на нем. Кроме того, согласно второй теореме Вейерштрасса [1-9.4], непрерывная на отрезке функция достигает на зтом отрезке своих наименьшего и наибольшего М значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
