VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(~(х) — ДЬ))У(х) Их = (Да) — ~Я) ~Я(х) Иж. Таким образом, с учетом того же свойства аддитивности определенного интеграла ~(х)д(х) йх = ~(а) д(х) 6х+ ~(Ь) у(х)и†— ~(Ь) д(х) Вх = ~(а) д(х) с8х+ ~(Ь) у(х) Их, что также совпадает с утверждением теоремы. ~ Вопросы и задачи 6.1. С помощью интегральных сумм найти интегралы от следующих функций на указанных отрезках: а) х', [-1, 2]; б),/х, [О, Ц; в) з~пх, [О, т/2~; г) 1/х', [1, 2); д) 1/х, [1, 2); е) е, [О, 1]; ж) х" (и Е Е ~(-Ц), [а, Ь~. 6.2. Построить неинтегрируемую на отрезке [-1, 1) функцию, квадрат которой интегрируем на этом отрезке.
Отсюда после подстановки выражения для функции ю(х) по- лучаем 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 274 6.3. Интеграл по отрезку 10, Ц от непрерывной функции Дх) положителен. Доказать, что существует такой отрезок ~а, Ь~С [О, Ц, что ~(х) > 0 на этом отрезке. 6.4. Доказать, что для убывающей на отрезке 10, Ц функции Дх) ~() х, А~(0, 1). А У(х)~Ь < о о 8.5.
Найти пределы при а -+ оо следующих сумм: и и и ° в В) ~> —,; 61 ~; В) ~' — 61п —; Г) ~ ц+~' у~ф+ф' д р ',~/4~Д:~2' ю=1 1=1 Ы1 1=1 11 3 . Ф7Г 2/в д) ~ —, 8 > 0; е) ~ (1+ — )в!д —; ж) ; 1В 5 1 М1 з) х >О. а) х'1п"хох, 8> О, и Е Х", б) Яз1п ™ вх. 1 о 6.7. Доказать, что если функция ~(х) интегрируема на отрезке 10, Ц, то 7Г хЯачпх)Йх = — Дв1пх) сЬ.
2 о 6.6. С помощью формулы Ньютона — Лейбница вычислить следующие интегралы: Ф в 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.1. Интегралы по бесконечному промежутку Пусть функция ~(х) определена на бесконечном полуинтервале ~а, +со) и интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ц. Тогда в полуинтервале ~а, +ос) определена функция Ф(Ь) = Дх) ах (7.1) как определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение 7.1.
Предел функции Ф(Ь) (7.1) при Ь -++ос называют кесобствеккым иктпегралом от функции Дх) по бескокечкому промежутку [а, +оо) (или несобствен- +00 ным интегралом первого рода) и обозначают ~ Дх) Ых. Если а Указанный предел существует и конечен, то этот интеграл называют сходящимся (в этом случае говорят о сход»мости несобственного интеграла по бесконечному промежутку). Ес"и же предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл расходящийся,. Необходимым условием существования определенного интеграла является ограниченность подынтегральной функции на отрезке между конечными пределами интегрирования.
Однако при рассмотрении теоретических вопросов и решении прикладных задач нередко появляется необходимость использовать при интегрировании неограниченные функции и бесконечные промежутки. Возникающие при этом юипегралы принято называть кесобсшвеккым». 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 276 Итак, на основании определения 7.1 и формулы (7.1) имеем +ОО ь Дх) Ых = 1пп Ф(6) = 1пп ~(х) 4х. ь-++оо ь-++00 (7.2) ~(х) ах (7.3) Ф(а) = как определенный интеграл с переменным нижним пределом.
Определение 7.2. Предел функции Ф(а) (7.3) при а -+ -оо называют несобственным интегралом от функции Дх) по ь бесконечному промежутку (-оо,Ц и обозначают 1 Дх)ах. Итак, согласно определению 7.2 и формуле (7.3), имеем (7.4) Дх)ах= 1пп Ф(а) = 1ип Дх) ах. Как и в случае (7.2), говорят, что несобственный интеграл (7.4) сходится, если предел при а-+ -оо существует и конечен, и расходится, если этот предел бесконечен или не существует. При ~(х) ) 0 Чх Е (-оо, 61 значение сходящегося не- В случае ~(х) ) 0 Чх Е 1а, +оо) Лх) значение сходящегося несобственного интеграла геометрически соответствует площади бесконечно длинной криволинейной трапеции Рис.
7.1 (рис. 7.1), заключенной между прямой х = а, осью 0х и графиком функции ~(х). Пусть функция ~(х) определена в бесконечном полуинтервале (-оо, 6] и интегрируема на любом конечном отрезке [а, 6). Тогда в полуинтервале (-оо, 6) определена функция 7.1. Интегралы по бесконечному нромежутку собственного интеграла (7.4) рав- У но площади криволинейной тра- Лх) пецни с бесконечным основанием, заключенной между прямой х = =6, осью Охи графиком функо ьх ции У(х) (рис.
7.2). Рис. 7.2 Наконец, если функция Дх) определена на всей числовой прямой Й и интегрируема на любом конечном отрезке ~а, Ь~, то для произвольного с Е Ж соотношением ~(х) Йх = Ях) Йх+ ~(х) Йх (7.5) Утверждение 7.1. Сходимость и значение несобственного интеграла (7.5) не зависят от положения точки с Е Й. 4 Для доказательства возьмем Ы б И (Ы у6 с) и покажем, что с +ОО Ы +00 Дх) Ых+ „~(х) Юх = Дх) Ых+ ~(х) сЬ.
В силу определений 7.1 и 7.2 несобственных интегралов и аддитпиеностпи определенного интпеграла можно записать с +со с ь У(х) ~Юх+ Дх) сЬ = ~(х) сЬ = 1пп ,~(х)Ых+ 11т . Ь-++со ~(х)п'х + 1пп Ь-++со ~(х) сЬ. (7.6) У(х) Ых+ определяют несобственный интеграл от функции ~(х) по бес- конечному промежутку (-оо, +оо) и говорят, что такой несоб- ственный интеграл сходится, если независимо один от другого сходятся оба несобственных интеграла в правой части (7.5).
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку то получаем 7(х)Их= ((т ~Ях)йх= !!т (с(9) — Р(а)) = 6 =ЦЬ)- 11 Г(а)=Г(Ь)-Г(- )=Г(х), (7.8) /(х)йх= (Р(с) — ((т Р(а))+( (!т РЯ вЂ” Р(с)), (7.9) т.е. этот несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы 1пп Р(а) = Р(-ос!) и 1пп Р(6) = Р(+ос). Тогда из (7.9) имеем 7(х) Их = Р(+ос) — Г(-оо) = Р(х) ~ (7.10) Соотношения (7.7), (7.8) и (7.10) иногда называют обоб"аеамыми формулами Ньючпона — Леабмица. В силу определения несобственного интеграла по бесконечному про'межутку для их нахождения можно применять методы, используемые при вычислении определенных интегралов.
откуда ясно, что при существовании первообразной несобственный интеграл (7.4) сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел 1пп Р(а) = Р(-оо). В+ ОО Наконец, если функция ~(х) имеет первообразную Г(х) в бесконечном интервале (-оо, +со) и интегрируема на любом отрезке ~а, Ь), то для несобственного интеграла (7.5) можно написать 281 7.1. Интегралы по бесконечиому промежутку т.е. этот несобственный интеграл сходится.
Но при х-++оо Ях) -~+со и, согласно (7.7), +ОО е Ых=е =+со, о т.е. второй несобственный интеграл в правой части (7.12) расходится. Поэтому и несобственный интеграл в левой части (7.11) расходится. г. Функция созх непрерывна в промежутке 10, +оо), но ее первообразнал Р(х) =з1пх не имеет при х-++оо ни конечного, ни бесконечного предела. Следовательно, несобственный интеграл от функции созх по бесконечному промежутку 10, +оо) расходится. Пример 7.2.
Кривая графика функции Дх) = 1/(1+х~), называемая локоном Аньези, имеет горизонтальную асимптоту у = 0 (рис. 7.3). Согласно (7.2), при а=О находим Рис. 7.3 Их . Их У(х) пх = 1нп 1+ х~ ь-++ 1+ хз о о 7Г 1пп агс~~х = 1пп агс®~6= —. ь-++оо о ь-++ 2 Итак, несобственный интеграл по промежутку 10, +оо) от Функции Дх) = 1/(1+ хз) сходится, а заштрихованная на рис. 7.3 площадь равна я'/2. В силу четности функции Дх) локон Аньези симметричен относительно оси ординат, поэтому площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, будет равна Это же можно установить, если вычислить несобственный 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 282 интеграл о ~г — 1ип агс®х = — 1ип агсФд(а) =— а-+-оо о й-+-оо 2 Пример 7.3.
Исследуем на сходимость несобственный ин- теграл +оо ах — а>0, х' в зависимости от показателя степени з Е В. Ясно, что при а > 0 и любом з Е И функция 1/х' непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке ~а, 6~. Если показатель степени з ф- 1, то одной из первообразных функции 1/х' будет Г(х) = = -1/((з — 1)х' '). Тогда, согласно (7.7), находим +оо ах 1 . 1 1 — — — 1ип х' з — 1 х-++оо х'-1 а' 1 (7.12) В случае з>1 при х-++со имеем 1/х' '-~0 и поэтому +оо Ых а' ' ю 1! и использовать (7.5) при с = О.
Отметим, что функция 1/(~г(1+ х~)) находит широкое применение в теории вероятностей [ХУЦ: она задает стандартное распределение Коши вероятностей случайной величины, рассмотренное французскими математиками О. Коши (1789-1857) и несколько ранее С. Пуассоном (1781-1840). 7.2. Основные свойства интегралов по оесконечноиу нвомемутку 283 т.е. рассматриваемый несобственный интеграл сходится.
Если же з < 1, то предел в (7.12) бесконечен, т.е. несобственный интеграл является расходящимся. При з = 1 имеем Г ~Ь вЂ” !пп 1пю — 1па =+со, л з-++оо в т.е. несобственный интеграл расходится. В итоге установили важный для дальнейшего результат: несобственный интеграл в (7.12) сходится при з > 1 и расходится при з< 1. 7.2. Основные свойства сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку Свойства сходящегося несобственного интеграла по бесконечному промежутту аналогичны свойствам определенного интеграла, и поэтому ограничимся лишь перечислением этих свойств. Их доказательство читатель может провести самостоятельно, используя определения 7.1 и 7.2 несобственных интегралов, соответствующие свойства определенного интеграла (см. 6.7) и свойства предела функции ~1-7.41.
1'. Если в сходящемся несобственном интеграле поменять местами пределы интиегрирования, то его знак изменится на противоположный, например: 284 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2'. Пусть функция Дх) интегрируема на любом отрезке ~а, Ц С ~а, +со) и с > а. Тогда несобственные интегралы ~(х) ~Ь и Дх) Ых ~(х) ах = ~(х) ах+ Дх) сЬ, (7.14) (свойство аддитивности сходящегося несобственного интег- рала). 3'. Сходящийся несобственный интеграл обладает свойством линейности, т.е. если несобственные интегралы ~~(х) ах и ,~'~(х) дх оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл от функции Л1~~(х) + Лр®х) (Л1, Лз Е Е) по промежутку [а, +оо), причем (Л1~'1 (х) + Л2.6 (х) ) ах = = Л1 ~1(х) Ых+ Л~ ~~(х) Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
