VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дх) из = (Дх) + Щх))) Йх — / Ях)) Йх. Поскольку сходятся интегралы в правой части этого равенства, то сходится и интеграл в его левой части. ф Так как по условию теоремы интеграл от функции Щх)$ по бесконечному промежутку [а, +оо) сходится, то в силу линейности сходящегося несобственного интеграла (см. 7.2, свойство 3') сходится и интеграл по этому же промежутку от функции 2$~(х)$, а тогда, согласно теореме 7.1, сходится и интеграл от функции Дх)+ $~(х)$.
На основании того же свойства, используя (7.15) при А1 — — 1 и А~ = -1, запишем 7.6. Абсолютная и условная схолимость интегралов 307 Определение 7.$. Если наряду с несобственным интегра лом от функции ~(х) по бесконечному промежутку 1а, +оо) сходится и интеграл по этому промежутку от функции Щх)~, то первый из этих интегралов называют сходли4имсв а6солютпно, а функцию ~(х) — абсолмиино интиеарируемоб. В этом случае говорят об а6солютиой сходности несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пример 7.12. Исследуем на сходимость несобственный интеграл +ОО 8!и х Й;. ~~Г+ ХЗ (7.35) Подывтеграяьвая фувкввя дя) = язях/~~+ вз веврерывва, а значит, и интегрируема на любом отрезке 11,Ь].
Так как она знакопеременна в бесконечном промежутке 11, +оо), то рассмотрим поведение несобственного интеграла от функции ~~(х) ~ по этому промежутку. В силу ограниченности функции В~пх при х >1 имеем ~ыпх~ 1 зуг /~ + ц~ з ~з/з 81п х 1+ ХЗ Поскольку показатель степени 8 = 3/2 > 1, то несобственный интеграл по промежутку ~1,+со) от функции у(х) сходится (см. пример 7.3).
Поэтому, согласно теореме 7.1, сходится и несобственный интеграл по этому промежутку от функции Щх) ~, а тогда на основании теоремы 7.5 несобственный интеграл (7.35) сходится, причем, согласно определению 7.5, абсолютно. Определение 7.6. Если несобственный интеграл от функции Дх) по промежутку 1а, +оо) сходится, а интеграл от функции ~~(х)~ по этому промежутку расходится, то первый из этих интегралов называют сходящимс,я ис,ловно и говорят 308 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ об уловкой сходимости несобственного интеграла по беско- нечному промежутку. Пример 7.13. Исследуем на сходимость несобственный ин- теграл (7.36) Подынтегральная функция з1пх/х непрерывна в промежутке [1, +оо), а значит, и интегрируема на любом отрезке [1,6].
Проинтегрируем зту функцию на отрезке [1, Ь1 по частям: Ь ь ь и(- созх) созх ~~ /' х х 11 созх — 4Ь. х~ Переходя в.зтом равенстве к пределу при 6-~+оо, получаем з1п х созх — Их = соз1 — — сЬ. х х2 (7.37) Так как ~созх~/х~ ~~ 1/х2 при х ~~ 1, а несобственный интеграл от функции 1/х~ по промежутку [1,+со) сходится (см. пример 7.3), то в силу теорем 7.1 и 7.5 интеграл в правой части (7.37) сходится, причем абсолютно.
Следовательно, интеграл (7.36) сходится. Аналогично можно показать, что при а ф 0 сходятся инте- гралы з1п ах Нх и совах ~Ь. х Для исследования интеграла (7.36) на абсолютную сходимость рассмотрим сначала на том же промежутке интеграл от функции з1п" х/х = (1 — соз2х)/(2х). На основании определе- 7.6.
Абсолютнаа и условнав сходнмость интегралов 309 ния 7.1 несобственного интеграла по неограниченному проме- жутку запишем +оо 6 Е1П~ Х . 81П~ Х вЂ” Их= Ип1 — Ых= х Ь-++оо х 1 ь ь +оо Ых сое2х — — ~Ь. (7.38) 2х 2х 1пп — — — а'х 1 1 Первый интеграл в правой части (7.38) расходится (см. при- мер 7.3), а второй — сходится.
Следовательно, интеграл в левой части (7.38) расходится. Но О » «вЂ” » «Чх Е ~1, +оо), 81п~х ~в1пх~ х х Оиределеиие 7.7. Если несобственный интеграл от неограниченной при х -+ 6 — О функции по промежутку ~а,6) и поэтому, согласно теореме 7.1, несобственный интеграл от функции ~ з1п х~/х по промежутку 11, +оо) расходится. Отсюда в силу определения 7.6 заключаем, что интеграл (7.36) сходится условно. ф Для несобственного интеграла от неограниченной функции справедливо утверждение, аналогичное теореме 7.5.
Его дока зательство нетрудно провести самостоятельно. Утверждение 7.2. Пусть функции ~(х) и Щх) ~ интегрируемы на любом отрезке ~а, 17~ С [а, 6) и не ограничены при ь х-+ Ь вЂ” О. Если несобственный интеграл ~~~(х)~Ых сходится, 6 то сходится и интеграл ~~(х) ах. а Аналогично можно дать определение сходящегося условно и абсолютно несобстпвенного интпеграла ош неограниченной Фрн~щии.
310 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример 7.14. Рассмотрим несобственный интеграл сов(1/х) згх О (7.39) Подынтегральная функция ~(х) знакопеременна в промежутке (О, Ц, не ограничена при х -~+О и интегрируема на любом отрезке ~~, Ц С (О, Ц, причем при хб (О, Ц з ~ з 1~з ~ сов(1/х) ~ 1 1 Интеграл от функции 1/х1~з по промежутку (О, Ц сходится, так как в = 1/3 < 1 (см. пример 7.10).
Следовательно, в силу теоремы 7.3 сходится интеграл от функции ~ сов(1/х) ~/ф~~ по этому промежутку. Значит, согласно утверждению 7.2, интеграл (7.39) сходится абсолютно. Т.Т. Другие признаки сходимости несобственных интегралов Наряду с рассмотренными признаками сходимости и расходимостпи несобственного интеграла для каждого из его типов (по бесконечному промежуттсу и от неограниченной фунхции) можно сформулировать и доказать критерий сходимости, включающий как необходимое, так и достаточное условия. сходится, а интеграл от функции ~~(х)~ по этому же промежутку расходится, то первый из них называют сходлщимсл условмо. Если сходится второй из этих интегралов, то первый из них называют сходлщимсл абсолютпмо.
При этом функцию У(х) называют абсолютпмо имтпегрируемой в промежутке ~а, о). В этих случаях говорят соответственно об условмой или абсолютпмой сходимостпи несобственного интеграла от неограниченной функции. 312 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример 7.15. Рассмотрим функцию Дх) =в1п2х/х" при О<А<1 и х>а>1.
Выберем Ь>а и аЕМ так, чтобы выполнялось неравенство враг > Ь. Полагая 6'=юг и Ь"=2юг, получаем Ь" 2в~г — ах> х Дх) ах 1 (2а1г)" 1 81 2(2гиг)" (1 — сов 2х) (Ь = 2гиг ~ х — -в1п2х — у 2(21г) т.е. в случае 0 < Л < 1 правая часть этого неравенства неограниченно возрастает при и -+ оо. Следовательно, существует число е > (1г/2)а' ~Я2л)", такое, что для любого Ь > а найдутся числа 6' = а~г > Ь и 6" = 2юг > Ь, для которых левая часть (7.40) будет больше в'. Поэтому в силу теоремы 7.6 интеграл по промежутку [а, +со) от функции Дх) расходится. Доказательство критерия Коши сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции аналогично.
Поэтому ограничимся лишь формулировкой соответствующего утверждения. Ь-г1' Дх) ах <е. Утверждение Т.З. Для сходимости несобственного интеграла от неограниченной при х -+ 6 — 0 функции Дх) по промежутку ~а, 6) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось такое Ю >О, что при любых д,1~гЕ (0,8) выполнялось бы неравенство 7.7. Другие щщзнаки сходимости интеграюв 313 В случае функции, неотрицательной в промежутке ~а, +со), можно доказать еще один критерий сходимости несобственного интеграла. Теорема Т.Т. Для сходимости несобственного интеграла по промежутку ~а, +оо) от неотрицательной функции Дм) необходимо и достаточно, чтобы функция Ф(з) (7.1) была ограниченной при х>а, т.е. чтобысуществовалочисло М >О, для которого справедливо неравенство Ф(~) = У(а)й С М Чж > а.
4 Необходимость. Пусть несобственный интеграл от функции Дх) по промежутку ~а, +оо) сходится, т.е. функция Дю) интегрируема на любом отрезке ~а,6~ С ~а, +оо) и существует конечный предел функции Ф(~) при ж -++оо, а тогда Ф(х) ограничена при х-~+оо ~1-7.4~. Согласно теореме 6.15, функция Ф(а) непрерывна, а значит, и ограничена на любом отрезке ~а, 61 С ~а, +со). Следовательно, функция Ф(х) ограничена при х > а.
Достаточность. Пусть функция Ф(ю) ограничена при х > а, т.е. выполнено неравенство (7.41). Так как по условию теоремы ~(ю) > О Уж > а, то функция Ф(х) не убывает при х > а. В самом деле, если а ( а ( ж', то в силу аддитивности определенного интеграла и его свойства 5' (см.
6.Т) х' Итак, функция Ф(ю) не убывает и ограничена сверху при з > а. Поэтому она имеет конечный предел при м -~+оо ~1-8.4), а тогда в силу определения 7.1 несобственный интеграл от функции Дх) по бесконечному промежутку сходится. ~ 314 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В некоторых случаях условную сходимость несобственного интеграла позволяет установить следующий признак. Теорема 7.8 (враэиам Дирихме). Если функция ~(х) интегрируема на любом отрезке [а, 01 С [а, +со) и функция Ф(х) (7.41) ограничена, т.е. для некоторого числа М > О )Ф(и)) = У(1) й~ < м ча > а, в а функция у(х) при х ) а непрерывно дифференцируема и монотонна, причем у(х) «О при х -«+оо, то сходится несобственный интеграл ~(х)у(х) ах. а (7.42) ч$ Докажем утверждение теоремы в более слабом варианте: будем считать, что функция Дх) непрерывна в промежутке [а, +со), а следовательно, в силу теоремы 6.7 и интегрируема на любом отрезке [а, 6] С [а, +оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
