VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 35
Текст из файла (страница 35)
пример 7.16.а). Итак, интеграл от функции Дх) по промежутку (О, +оо) сходится, если -2 < тп < п. Нетрудно показать, что при тех же условиях сходятся интегралы +00 +00 | вал ах совах йх и ~Ь, х-~в + ха-~в х-тв + хв-ез о о где ау'-О. Так как при в=п — тп 7.8. Прииеры исслвдаваыиа иитеграюв ие сходимость 323 +00 виРх 1 7В+х% Ф3В 2 1- сов2х <Ь= х-~в .~.
хв-тв + 4 ~ 2х х-пз.~ хе-пь ( х-тв.~. хи-чи (' =~(1 Первый интеграл справа — это несобственный интеграл, сходящийсл лишь при и-т >1, или т<я-1 (см. пример 7.3), и расходлщийсл при в — т < 1, т.е. при та) и — 1. Второй интеграл сходитсл при т < и. Таким образом, интеграл от функции у(х) по промежутку ~з, +оо) сходится лишь при та < и — 1 и расходитсл при ш > и - 1. Но Следовательно, согласно теореме 7.4, при т > я — 1 интеграл от функции Щх) ~ по промежутку ~~, +оо) расходитсл, а в силу определении 7.6 несобственный интеграл от функции Дх) по тому же промежутку сходитси условно.
В итоге получаем, что интеграл от функции ,~(х) по промежутку (О, +оо) сходится абсолютно лишь при одновременном выполнении условий т > -2 и а — тю > 1, т.е. при — 2 < тю < а — 1. На рис. 7.11 Рис. Т.11 то, согласно примеру 7.3, интеграл от функции ~(х) по промежутку ~л', +оо) сходится абсолютно, если я-тв=в> 1, т.е. при т<п — 1. Покажем, что при я — 1< т< е интеграл от функции ~(х) по промежутку (~г, +оо) сходитсл только условно. Для этого рассмотрим поведение интеграла от неотрицательной функции у(х) = в~п~х/(х ~+ х" ) по указанному промежутку, представив этот интеграл суммой двух: 324 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Т.9.
Преобразование несобственных интегралов Покажем на примерах, что при помощи замены переменного и итпегрирования ио частаям несобственный интеграю может сводиться к обычному олределеммому имтвегралу. Пример 7.20. а. Рассмотрим несобстпеемный интеграл от неположительной неограниченной при х -++О функции 1пв1пх по промежутку (О, ~/2]. Покажем сначала, что этот интеграл сходится, а затем вычислим его. Чтобы убедиться в его сходимости, используем интегрирование по частям: гг(2 ~г(2 СОВ Х 1п в1п х ~Ь = х 1п в1п х — х —. Их = о в1пх ~г(2 = — Йп (х1пв1пх) — хсЧдхйх = — хссах Их, з-++О поскольку, согласно правилу Бернулли — Лопиталя, 1пв1п х, совх 1пп (х1пв1пх) = Ип1 = 1ип =О. -++о -ь+о 1/х -ь+о (-1/х2) в1п х Определенный интеграл в правой части предыдущего равенства существует, так как функция хссах непрерывна и огра ничена в промежутке (О, я/21 и в точке х=О может быть доопределена значением 1.
Таким образом, интеграл 1 сходится. заштрихована область значений тв и я, при которых интеграл от функции У(х) = х в1пх/(1+ х") по промежутку (О, +оо) сходится, причем вертикальной штриховкой отмечена область условной сходимости, а горизонтальной — абсолютной сходи- мости. 325 7.9. Преобразование ыесобствеыыых ыытеграаов Для вычисления несобственного интеграла от функции 1пз1пх по промежутку (О, к/2~ проведем сначала замену переменного х = 2г (4х = 2Ых, л = О при х = О и л = ~г/4 при х =~г/2) и запишем 1 = 1пз1пх<Ь =2 1пз1п2г~Ь = 2 1п(2з1пг созе) йх.
~г 1'= -1п2+2 1пз1п~~Ь+2 1псозлдх. 2 Теперь в последнем интеграле заменим з= ~г/2 — 1 (~Ь= -Й, 1=я'/2 при я=О и 3 =я'/4 при я=к/4): ~г ~г Х= — 1п2+2 1па1плИл+2 1пеов — — $) (-й) = 2 2 ~г = -1п2+2 1пз1пхсЬ+2 !пз1пФЖ = 2 ~г/4 ~г/2 = — 1п2+2 1пз1пасЬ= — 1п2+2Х. 2 2 Отсюда 1= -(л/2)1п2. б. Для вычисления интеграла от функции 1п" х (и > О целое), неограниченной при х -++О, по промежутку (О, Ц Так как интеграл 1 сходится, то, используя свойства логарифмической функции, несобственный интеграл в правой части этого равенства можно представить в виде суммы интегралов: 326 Т.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ используем интегрирование по частлм: 1„= 1п" хах = и =1п" х Й~= 4Ь 1 1 1п" 'х = и1п" а — и и — Иж = -в1„1, о х поскольку, применял в раз правиюо Берну~ии — Лоиитпаля, получаем 1п" х . я1п" 'х 1ип х1п" х= 1пп — = Ит х-++о -++о 1/х х-++О х( — 1/х~) 1п" 'х „+, =-и Ип1 =...=(-1)"~'н1 1пп х=О. х-++О 1/х х-Ф+О Так как 1о — 1, в итоге находим У„= (-1)"п! В этом примере значение 1„найдено беэ исследованил несобственного интеграла на сходимость. +00 1/ю ~(х)~Ь = Подынтпеграяьная функция в преобразованном интеграле будет, вообще говора, неограниченной при $-+ О. Наоборот, несобственный интеграл по конечному промежутку 1а, 6) от неограниченной при х -~ о функции ~(х) заменой переменно- го Замечаиие 7.4. Отметим, что несобстпвенный интпеграю от функции ~(х) по бесконечному промежутпку 1а, +оо) заменой переменного х = 1/$ можно преобразовать к интегралу по конечному промежутку: 328 7.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Второй интеграл в правой части этого равенства заменой переменного ю = -В/(АФ) ($ -+ -оо при ю -++О и $ -+ -0 при ж -++со, ~Ь = Вй/(АР)) преобразуем к виду В У Ах —— о =В ~ А — — В— о о = А ~ А$ — — й = А ~ Аж — — Вх. (7.46) Таким образом, с учетом свойства 2' аддитивности сходящего- ся несобственного интеграла (см. 7.2) имеем Аа — — й~, Д~ )И~=А что для четных подынтегральных функций равносильно (7.45). й +00 (7.47) Пример 7.22.
Пусть несобственный интеграл от функции ~(м) по промежутку ~а, +оо) сходится. Должна ли она быть при х-~+оо бесконечно малой (б.м.) функцией? Можно привести контрпримеры, из которых следует, что это не обязательно. Функция ~(и) = соая~ не имеет предела при х -++оо, хотя интеграл от нее по промежутку ~0, +оо) сходится. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два несобственных интеграла 329 7.9. Преобразование несобственных интетуаюв для произвольно выбранного а > О.
Первый из них от неограниченной при $ -++О функции Д$) = созе/~Д сходится в силу теоремы 7.5 (в качестве фуксии сравиемия можно выбрать у($) = 1/~Д, интеграл от которой сходится по промежутку (О, ю) согласно примеру 7.1О). Второй интеграл по промежутку 1а, +оо) сходится в соответствии с яризиаком Дириале: функция ~($) = созе интегрируема на любом отрезке 1а, 6~ С 1а, +оо) как непрерывная, функция с с Ф(1) = ~(т)йт= созтйт=апт =ап~ — з1па а ограничена при 1 ) а, а функция у(1) = 1/4~ при 1 > а непрерывно дифференцируема и монотонна, причем у($) -+ О при $-++оо. Сумма интегралов (7.47) оказывается сходящимся несобственным интегралом по промежутку (О,+со). Поэтому, используя замену Ф=ж~ (х =~4, сЬ=й/(2~4)), получаем 1 созе 1 созе созе — Й+ — — й = — Й = созе Юх, (7.48) 2 ф 2 Д 2ф о а о о откуда следует, что несобственный интеграл в правой части (7.48) сходится.
Его (как и интеграл от функции з1пхз по тому же промежутку) называют интегралом Френеля по имени французского физика О.Ж. Френеля (1788-1827), создателя теории дифракции света. Напомним, что для функций созх~ и з1пж~ не существует первообразных в классе элементарных функций (см. 4.5). Несобственный интеграл по промежутку [а, +оо) может сходиться и в случае, если подынтегральная функция Да) не ограничена при ю-++со. Например, функция Дх) =асозх4 не ограничена при х -+ +со, однако, используя подстановку 330 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ х~ = л в интеграле по промежутку ~0, +оо), получаем +оо +00 Г 1 хсоех~ах = — совх ~Ь, 2 т.е. интеграл в левой части равенства сходится, поскольку сходится (как это установлено выше в этом примере) интеграл Френеля в правой части равенства.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что если несобственный интеграл по промежутку ~а, +оо) от неотрица тельной при х > а функции Дх) сходится, то ~(х) -~ 0 при х-++оо, т.е. Дх) является функцией, б.м. при х-++оо. 7.10. Главные значения несобственнъпс интегралов Пусть |унция ~(х) определена на всей числовой прямой й и интегрируема на любом отрезке [а, Ц С В. Если существует конечный предел В В-++оо ~(х) ах, -В то этот предел называют гмаанмм значением нееобсвменного иттегра,ла и обозначают Ч.р.
/ Ф ~(х) ах (У.р. — начальные буквы французских слов Уа1еаг рппс~ра1— главное значение). В случае неотрицательной функции главное значение несобственного интеграла равно площади неограниченной области между осью абсцисс и графиком этой функции. Интеграл от нечетной функции по любому симметричному относительно начала координат отрезку ~ — В, В) равен нулю. 331 7.10. Главные зиачеоиа иесобстзеииых юытагралоа ~(х) — ( ) ( + ( ) ( ) — (х)+ф(х) 2 2 то для функции ~(х) получим +00 +00 У.р. Дх)й:=2 у(х)Й~ (если, конечно, несобственныЙ интеграл в правой части этого равенства сходмщийся). Пример 7.23.
Функции ~(х) = (1+х)/(1+х2) лвляетсл суммой четной у(х) =1/(1+х2) и нечетной ф(х) =х/(1+х2) функций. Поэтому с учетом примера 7.2 находим 1+х й~ У.р. ~Ь=2 =~г. ф 1+ х2 1+х2 Если функции Дх) не ограничена при х -+ с Е (а,б), то несобственный интеграл от этой функции на отрезке ~а,б] можно представить в виде (7.27) ь с ь Дх) ~Ь = ~(х) Йх+ ~(х) сЬ = иш Д$)й+ иш ~(~) й, Поэтому и главное значение несобственного интеграла от та кой функции также равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
