VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема 8.5 (призмам Вейершиьрассв). Если при каждом р Е У функция Дх, р) интегрируема на любом отрезке [а, Ц С [а, +со) и ~~(х, р) ~ ~ ~у(х) Чх Е [а, +оо), (8.16) а несобственный интеграл у(х) ах (8.17) от фуююа~аи д(х), называемой мажорирующеб, сходится, то несобственный интеграл (8.9) сходится абсолютно и равномер- но на множестве У. 4 По условию теоремы интеграл (8,17) сходится, и, поскольку выполнено неравенство (8.16), интеграл (8.9) сходится абсолютно при любом у Е У (см. теоремы 7.1 и 7.5).
Из сходимости В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла (см. теорему 7.6) интеграл (8.14) сходится, поскольку для произвольного е > 0 и фиксированного значения у Е [О, +оо) будет выполнено неравенство 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА интеграла (8.17) следует, что для произвольного е > О найдется такое Ь(е) > О, что при любом 6> Ь(е) будет выполнено неравенство +00 у(х) пх < е.
Ь Но тогда при любом р Е У в силу свойства 4' сходящегося несобственного интеграла (см. Т.2) для любого 6 > Ь(е) ! +оо +оо +00 ~(х, у)йх < Щх, у)~~Ь~» у(х)йх<е, Ь Ь Ь что соответствует определению 8.1 несобственного интеграла, равномерно сходящегося на множестве У. ° Пример 8.8. Исследуем на сходимость интеграл от функции Дх, р) = 1/х~ по промежутку (О, 1] при значениях параметра р ) О. Проведя замену переменного х = 1/$, получим 1 1 ~2-у ' О +оо При р ) 1 интеграл в правой части равенства расходится (см.
пример 7.3), а при О< р < 1 — сходится. Так как при О < р < уо < 1 имеем 1/Р ~ (1/Р ® й Е 11, +оо), а интеграл от функции 1/Р ® по промежутку 11, +оо) сходится, то, согласно признаку Вейерштрасса, исследуемый интеграл сходится равномерно в промежутке (О,уо~ (О < ро < 1). Однако при уе = 1 признак Вейерштрасса применить нельзя вследствие расходимости интеграла от функции 1/Р ® = 1/$ по промежутку ~1, +оо).
Заметим, что признак Вейерштрасса является лишь достаточным. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интеграл по промежутку (О, Ц с помощью критерия Коши. Для 355 8.$. Пр»з»ак» раз»окер»ой сход»мост»»»теграю» этого вычислим ь" ,Ц Р-~ ~ь (Ь~~)м-1+ ®м-1 1 ф(Ьи) 1-м а — 1-у1ь 1- у (1-у)(Ь')1- ' Для произвольного е > 0 сколь бы велико ни было значение Ь > О, всегда найдется такое значение у б (0,1), что при некоторых Ь', Ь" > Ь 1 — (Ь7Ь")1- (1 — у) (Ь')'- >8. Это противоречит критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла в промежутке (0,1) (см. теорему 8.4), так что при 0 < у < 1 исследуемый интеграл сходится, но неравномерно.
4ь Аналогично признаку Вейерштрасса можно доказать доста точный признак равномерной сходимости зависящего от параметра несобственного интеграла от неограниченной функции. (8.18) сходится абсолютно и равномерно на множестве У. Под абсолютной сходимостью несобственного интеграла, зависящего от параметра, понимается сходимость интеграла ь ~ЯЯх, у)~ах при каждом у Е У. а Утверждение 8.2.
Если при каждом у Е У фумкцив Дх, у) определена в полуинтервале (а, Ь1, не ограничена при х-+а+О, но интегрируема на любом отрезке ~~,Ь~ С (а,Ь] и ~~(х, у) ~ < у(х) Чх Е (а, Ц, причем интеграл от мажорирующей функции у(х) по промежутку (а,Ь1 сходится, то несобственный интеграл 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8.6. Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов по параметру ЧЪорема 8.6. Если функция ~(х, р) непрерывна на множестве (8.8) Р, =((х;р):х>а, у~УСЕ) и эависящий отп параметпра несобстпвенный интпеграл (8.9) ,т(у) = ~(х, р) ах является равномерно саиЬщимсл на множестве У, то функция .т(р) непрерывна в промежутке У. < Пусть ре — произвольная точка промежутка У. Тогда с учетом свойств 2' и 3' аддитивности и линейности сходящегося несобстпвенного интпеграла (см.
7.2), свойства 10' определен ного интпеграла (см. 8.7) и неравенства треугольника запишем при произвольном Ь > а (Ди,у) — ~(х, р>)) ~ь+ / Дх, у)дх — / Ди, р>)~ь Ях, у) — 1(х, уо)) 4х + Дх,рв)Ых . + Дх, р)ах Ь Ь е < —. У(х~ уо) ах В силу теоремы 8.1 для произвольного е > 0 и любого уо б У найдется такое о =о(е) > О, что для любого р (= ~с, а1 при условии ~р — ро~ < о(е) будет выполнено неравенство В.Б.
Непрерывность и диффаренцируекосзь по пвракетру 357 Согласно определению 8.1 равномерно сходящегося эависящего от параметра несобственного интеграла, для любых у, уо Е У и произвольного е > О найдется такое Ь=Ь(е) > а, что для любого Ь > Ь(е) будут справедливы неравенства 1(х, Ув) ах Дх, у)ах е с — и 3 г 3 т.е. функция 1(у) непрерывна в любой точке уо Е У, а следо- вательно, и в промежутке У ~11]. ~ Замечание 8.2. Из хода доказательства этой теоремы следует, что при уо Е У по аналогии с замечанием 8.1 х(уо) = пт 1(у) = / (1!ш Дз, у))<ь= / ~(х, уо)шх, т.е.
для несобственного интеграла от непрерывной в прямоугольнике Р, функции, равномерно сходящегося на множестве У, переход к пределу по параметру возможен под знаком интеграла. ф Приведем беэ доказательства утверждение об условиях дифференцируемости несобственного интеграла по параметру. Утверждение В.З. Если функция 1(х, у) и ее частная проиэводная фх, у) непрерывны на множестве Р„(8.8) и интеграл 1® (8.9) сходится, а интеграл В итоге иэ записанных неравенств следует, что для любых у, р> Е У при условии !у — уо~ <8(г) 358 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА — ~Ь = совах Ых х а Д(х, а)сЬ= не только не сходится равномерно на Й, как это требует условие утверждения 8.3, а вообще расходится при любых значениях параметра а.
Поэтому рассмотрим интеграл +оо 1(а) = — е ~®в'х, в1п ах,. х (8.21) ~9>0, который отличается от интеграла Дирихле так называемым множитиеаем сходимости е ~в~. ясно, что если функцию в1п(ах)/х при х =О доопределить значением а, то вй ах е ~~ ~ ое ~~ и ~е ~~совах~ ~ е ~~ Чх Е ~0, +оо). Так как интеграл +оо +оо у(х) Ых = е ~ ~Ь=--е ~ ~3 о ~9 сходится равномерно при у Е У, то функция Цу) непрерывно дифференцируема в промежутке У, причем +оо 1'(у) = фх, р) ~Ь. (8.20) Ф Пример 8.9. Вычислим несобственный интеграл +оо в1п ах 0(а) = — ~Ь, а б й, х о называемый интпегралом Дирихяе.
При а=О имеем 0(а) = = О, а при а ф- О, согласно примеру 7.13, 0(а) сходится. Однаконепосредственноприменитьдлявычисления 0(а) дифференцирование по параметру а нельзя, так как интеграл вида (8.19) +оо +оо +оо 8.6. Непрарывнос»ь и диффервщируемость по иараметру 359 сходится, то в силу признака Вейерштрасса (см. теорему 8.5) У(а) и интеграл Ваап ах р~ 1~(а) = е в*совахЮх. Подынтегральной функции е ~ совах вэтом интегралесоот- ветствует одна из первообразных (см. пример 1.14) ~ -фсовах+авилах аЗ ~ фз которая имеет конечный предел Р(+оо) = 0 при х -+ +оо. Поэтому, используя (7.7), находим ~+ ~ -~3совах+ав1пах +,9 1о аз+ ~Р о а~+ ~3з Отсюда, интегрируя по а и учитывая та6личный ингпеграю 13 (см.
1.4), получаем неопределенный интеграл Р(а) = ,ВЙ» а аЗ.~.ф2 ф = агсФд — + С. При а = 0 и агсФфаф) = О, и в (8.21) Р(а) = О. Поэтому С = О, и можно записать 1(а) = агсФд — = — е <Ь,,И > О. а ввах ф х (8.22) равномерно сходятся на Й по параметру а при любом ф, т.е.
интеграл,Ца) удовлетворяет условиям теоремы 8.5 и утверждения 8.3. Поэтому, согласно (8.20), получим 360 8. ИНТЕГРАЛЫ> ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ь» е 8~~Ь=е ~В Ых+е ~ — сЬ, ~ | ~ ~ ~ ~ ~ | ~ | | ~ | > в1п ах Ь> в1п ах Ьи вой ах х х х где с б [о', Ь'~ С [О, +со). Так как интеграл Дирихле сходится, то в силу критерия Коши сходимости кесобстееккого интеграла (см. теорему 7.6) для произвольного е > 0 найдется такое Ь(е) > О, что при любых о', о" > Ь(е) будет выполнено нера венство Ь" в1пах — Юх х 2 Ь' Поскольку е вь < е ~ь < 1, то из предыдущего равенства получаем Ь» | вьпах, е е — е "'й: < -+- =е, 2 2 что означает выполнение критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
