VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 42
Текст из файла (страница 42)
9.11). Следовательно, ~г/2 сов хдх = со~~х~Ь, ~г/2 Рис. 9.11 и позтому с учетом результатов примера 6.15 4 4 1 3 7Г 37Г сов хЫх = 2 сов хЮх = 2 — — = —. 242 8 Пусть плоская фигура ограничена отрезками прямых х = а и х = 6, которые, в частности, могут вырождаться в точки, и интегрируемыми на отрезке ~а, 6] функциями /~(х) и Л(х), причем О < Ях) < ~2(х) при х б 1а, 6]. Тогда площадь такой фи- У гуры равна разности площадей криволинейныхтрапеций абВА и аЬРС (рис. 9.12) и может быть найдена по формуле 390 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рассмотрим плоскую фигуру, огра ниченную отрезками прямых х = а, х = 6 и графиками интегрируемых на отрезке ~а, 6] функций ~~1 (х), ~~з(х), причем ~1(х) < Ях) Ух б ~а, 6] и эти функции на этом отрезке могут конечное число раз менять знак (рис. 9.13). В силу теоремы 6.1 интегрируемые на отрезке функции ограничены на нем. Поэтому найдется такое число М > О, что Рис. 9.13 д1(х) = У1(х)+М > 0 и дз(х) = Ь(х)+М > 0 М б '1а,6]. Тогда заштрихованные на рис. 9.13 площади ) и У будут рав- ны и, используя (9.20), для площади рассматриваемой плоской фигуры получаем Пример 9.5.
Вычислим площадь Я, ограниченную эллипсом Г, заданным в прямоугольной декартовой системе координат Оху каноническим уравнением (х/а) 2 + (у/6) ~ = = 1 (рис. 9.14). В силу симметрии эллипса и аддитивности Иначе говоря, для нахождения площади плоской фигуры, огра ниченной на отрезке [а, 6] сверху и снизу графиками функций Ях) и ~1(х) соответственно, нужно вычислитьопределенный интеграл по данному отрезку от разности Ях) — ~1(х) этих функций.
Площадь плоских фигур более сложной формы на основании аддитивности площади можно представить алгебраической суммой вычисляемых при помощи (9.19) площадей криволинейных трапеций. 391 9.3. 1Хющвдь плоской фигуры площади достаточно вычислить площадь Я/4 фигуры, расположенной в первом квадранте координатной плоскости. Эта фигура — криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок 10, а~ и огра ниченная графиком непрерывной функции ~(ю) = = 6~/~-ю~/а~, получммой из уравнения эллипса, если разрешить его относи- Рис.
9.14 тельно у. Используя (9.19) и замену переменного х = асое$ (Их = — аап $Й), находим а 0 Я ж — — 0 1 — — ~Ь=-а6 4 аг а~Г 1 . 10 1 яп $Й= — — ~$ — -в1п2$~ = -я'аб. 2~ 2 1/г 4 Отсюда Я = я аЬ. Пример 9.6. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями уг = я+ 1 и ~ — у = 1 (рис.
9.15). Решал систему указанных уравнений, находим точки М1 (О; — 1) и Мг (3; 2) пересечения этих линий. На 2 рис. 9.15 видно, что нижняя граница фигуры на разных 1 частях отрезка ~ — 1,3~ зада на двумя различными функциями. Поэтому искомую площадь представим суммой площадей 51 параболического -1 М сегмента на отрезке 1-1, 0) и Рис. 9.1б 394 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1 Я'=Я =Я=— 2 Р'(Ю) Ф. (9.23) Поротому криволинейный сектор квадрируем, а (9.23) определя- ет его площадь. Пример 9.7. Найдем площадь витка архимедовой спирали, заданного уравнением р = ау (у Е ~0, 2л~) в полярных координатах (на рис. 9.17 искомая площадь заштрихована). В соответствии с (9.23) а зз 4зз 2 (а~р) фр= — у = -~г а . 6 о 3 Рис. 91~ Виток целиком включен в круг радиуса 2та и площадью 4яза~, в 3 раза большей площади витка (этот результат был известен еще Архимеду). Если ограничивающая криволинейный сектор плоская кривая Г задана параметрически в виде х= Я ~=~Я ~Е[©~Я причем функции х($) и у(1) непрерывно дифференцируемы на отрезке ~а, Ц, то вместо (9.23) можно написать 1 Я=— 2 (9.24) Непрерывная на отрезке ~а, ф1 функция у(~р) = рз(~р)/2 интегрируема на нем по Риману.
Поэтому нижняя и верхняя суммы Дарбу для этой функции, совпадающие с выражениями (9.22), на всевозможных разбиениях отрезка ~а,,о1 достигают в силу критерия Дарбу равных между собоЙ точных верхней Я' и нижней 8, граней соответственно, причем 395 9.3. Площадь плоской фитуры В самом деле, полярный угол равен: ~р($) = агс$д(у($)/х($)) + +С, где С принимает значения О, ~г или -~г. Поэтому с учетом равенства рз(1) = х~($) +у2($) получаем х(~)у'(~) — х'(~)у(~) х(~)у'(~)-х'(~)у(~) (1+(у(')!х(~)) ) Ч~) Р ® Подстановка этого выражения в (9.23) приводит к (9.24).
От- метим, что (9.24) можно испольэовать для вычисления площади, ограниченной замкнуты.и контуром Г, если параметр 1 изме- няется монотонно. Пример 9.8. Для вычислении площади Я, ограниченной эллипсом, вместо канонического уравнения эллипса используем, в отличие от примера 9.5, параметрическое представление х($) =асов$, у($) =Ьв1п1, $ б ~0, 2л'~ (параметр $ соответствует углу, показанному на рис. 9.14). Тогда, используя (9.24), находим 1 аЬ Я = — (асовй Ьсовй — (-аваев Ф)Ьз1пй) й = — аг, = хаЬ.
2 2 о о Пример 9.9. Вычислим площадь криволинейного сектора ОАМ, ограниченного дугой равнобочной гиперболы с каноническим уравнением х~ — у~ = 1 (рис. 9.18). Точка А(1;О) является вершиной правой ветви Г аиперболы, аточ- Рис. 9.18 При а = Ь получаем площадь ~га~ круга радиуса а.
При помощи последнего интеграла нетрудно установить, что площадь заштрихованного на рис. 9.14 криволинейного сектора ОАМ, ограниченного дугой эллипса, будет 8~ —— аЬЬ/2=(а/Ь)8,', где Я~ — — Ьзй/2— площадь кругового сектора ОА'М'. 396 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ка М(х; у) лежит на этой ветви в первом квадранте координатной плоскости (х ) 1, у ) 1). Разрешая уравнение относительно у, получаем непрерывную функцию у = Дх) = ъЯ~ — 1, гра фик которой ограничивает криволинейный сектор дугой АМ.
Используя (9.19) и интегрирование по частям, вычисляем сначала площадь криволинейной трапеции АВМ: Дз 1,ц ~Яг 1) / ~АВМ = = и1/х~ — 1 — / Отсюда с учетом табличного интеграла 16 и выражения для ординаты у точки М получаем 1 ху 1 5АВМ = х 1 1п (х+ х~ 1) = 1п(х+ У) ° 2 2 2 2 1 8 = ~ОВМ вЂ” БАВМ = -1п(х+ У) 2 (9.25) Вычислим эту же площадь исходя из представления рассматриваемой ветви Г гиперболы в виде х(8) =сЬ~, у(1) =вЬ|, $ Е 10, +оо). Ясно, что точке А в вершине гиперболы отвечает значение параметра $ = О, а текущей точке М(х; у) будет соответство- вать его значение, определяемое при помощи равенств (9.26) х =се|, у=вЫ. Так как первое слагаемое в правой части этого равенства равно площади ЯОВм треугольника ОВМ, то, согласно аддитив- ности площади, искомая площадь Я криволинейного сектора ОАМ равна 398 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Агейла = (вдпл) АгсЬ|/я~+1 = !в(л+ ~/Р ~ 1) И б К. (929) Они принадлежат к обраювмым ааперболическим функци- .ям, включающим также ареатвангемс Агйл и ауеаяопзан- гемс Агсй л, которые определяются соотношениями 1 1 1+я Агйл= Агсй — = -1п —, л~ < 1; г 2 1 — л' (9.30) 1 1 я+1 Агсйя=Агй — = — 1п —, лз > 1. я 2 л — 1' (9.31) Через обратные гиперболические функции можно выразить табличный интеграл 16. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически в виде х = х($), у = у(3), $ (= ~а, ~3], причем функция х(1) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, ф1, то для вычисления площади этой криволинейной трапеции можно использовать (9.19).
Проведя в (9.19) замену переменного, получаем (в предположении, что х = а при $ =а и х=6 при 1=~3) у(й) х'(й) Й. (9.32) ~(х) Ых = Пример 9.10. Найдем площадь Я фигуры, ограниченной асшроидой (рис. 9.19), заданной уравнениями з~ „(~) „в;пз~ ~ -г0 2,~ В силу симметрии астроиды достаточно вычислить площадь четвертой Рис. 9.19 сектора ОАМ, принимает равное по абсолютной величине от- рицательное значение, отвечающее удвоенной площади сектора ОАМ' (см.
рис. 9.18). Поэтому ареасинус и ареакосинус связа- ны между собой равенством 9.3. Йлощадь плоской фигуры части фигуры, расположенной в первом квадранте координат- ной плоскости. При возрастании х от 0 до а параметр убывает от ~г/2 до О. Поэтому, используя (9.32), записываем 4 — у($)х($) й ж / ввт $(-ЗасодФв!п1) Й = /г ~г/г в1п $сов ФЙ=За (в1п 3 — в1п $)й. =За Учитывая линейность определенного интеграла и результаты примера 6.15, получаем (в1п 1 — в1п $)Й= 8=12а В примере 7.2 сходящийся несобственный интпеграя по промежутку 10, +со) от функции ~(х) =1/(1+хг) геометрически был интерпретирован как площадь неограниченной плоской области между графиком этой функции и осью Ох. Для выяснения вопроса о квадрируемости неограниченной области следует выразить в виде определенного интеграла площадь квадрируемой плоской фигуры, включенной в эту область и заполняющей ее при стремлении к пределу одного из размеров фигуры, а затем исследовать сходимость получающегося при предельном переходе несобственного интеграла.
Пример 9.11. а. Криволинейная трапеция, имеющаяоснованием отрезок ~0, Ц и ограниченная графиком непрерывной О Ь х Функции ~(х) = е (рис. 9.20), Рис. 9.20 400 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА согласно (9.19), имеет площадь Ь Я(6) = ~(х)~Ь= е ~Ь=-е =1 — е о Поскольку 8(6) -«1 ( +оо при 6 -э +оо, то неограниченная плоская область между графиком функции Дх) = е при х >0 и осью Ох квадрируема, а ее площадь 3=1. б. График функции у(х) = с$д х и отрезок ~а, я /2] (а > О) оси Ох вместе с прямой х = а ограничивают плоскую фигуру (рис. 9.21) с площадью У ~г/3 с®~х~Ь = 1п81пх = — 1п81па.
5(а) = При а-++О прямая х=а неограниченно приближается к оси Оу, и эта плоскал фигура переходит в неограниченную плоскую область, не имеющую конечноЙ площади, т.е. неквадрируемую, так как при а-++О 5(а) -«+оо. Р .Э.г1 9.4. Объем тела Под твеном будем понимать замкнутое ограниченное множестпво точек трехмерного пространства, т.е. тело содержит все свои граничные точки. Будем опираться на понятие объема так называемого многогранника, представляющего собоЙ объединение конечного числа треугольных пирамид, способ вычисления объема каждой из которых предполагаем известным. Как и в случае площади плоской фигуры (см. Д.1.1), можно показать, что объем обладает свойствами монотпонностпи и аддитиивностпи, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
