VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 46
Текст из файла (страница 46)
9.1) можно написать гз(й) атп(й). (9.65) ° То~= ЬИ) а ("И)+и'И)М~ (9 66) Отсюда несложно получить формулы для моментов инерции этой кривой относительно координатных плоскостей, а также перейти к частному случаю плоской кривой. В роли параметра в (9.65) может выступать одна из координат (например, х). Для тела с задаваемыми при помощи функций р(х) и Я(х) зависимостями от хб ~а, Ц плотности тела и площади его поперечного сечения, перпендикулярного координатной оси Ох, имеем атп(х) =р(х)Я(х)ах и момент инерции относительно координатной плоскости уОх Ь р(х) Я(х) х~ах.
~уОа— Так, для заданной в виде (9.1) гладкой пространственной кривой Г, распределение массы по длине которой описывает функция р,($) ($ Е ~а, 6]), момент инерции относительно оси вращения Ок, согласно (9.56) и (9.65), равен Ь Я.б. Вычислеыые масс и момеытов иыериыи Если функция ря(х), х Е 1а, Ц, задает поверхностную плотность криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок ~а, Ь~ и ограниченной графиком функции Дх), то моменты инерции этой трапеции относительно координатной плоскости уОх и координатной оси Оу совпадают и равны ~~О, = 7Оу = ~З(х) ~,~(х) ~ х йх. а (9.68) 1У( )! 2 1 ~у ( ) ~~ ( ) ( )~ 2,у ( )~у( )~3~ 3 0 Тогда в силу аддитивности момента инерции получаем Ь Ь 1 ~ ~Ох(Х)— 3 р8(х)~~(х)~ Их. (9.69) ~Ох— В итоге момент инерции плоской фигуры относительно оси Оз равен ~О = ~ох+ ~ОУ = Чтобы найти момент инеРЦии ХОх этой тРапеЦии относительно координатной оси Ох, совпадающий с моментом инерции относительно плоскости хОз, предварительно вычислим момент инерции ЫО„(х) относительно этой оси прямоугольной полоски, имеющей высоту Щх)~ и основанием отрезок ~х, х+Ьх].
Так как масса прямоугольного участка этой полоски высотой Ьу>0, удаленного на расстояние у от оси Ох, равна ря(х)ЬхЬу, а момент инерции этого участка приближенно равен р8(х)у2йхйу, то 426 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пример 9.19. Рассмотрим прямой круговой конус высотой Н, основанием которого является круг радиуса В. При заданной постоянной плотности р запишем приближенное выражение для массы  — г тцг, г+Ьг]) т р — Н.2~ггЬг (9.71) цилиндрического слояс внутренним радиусом г, толщиной Ьг и высотой Н( — г)/В (рис.
9.36). Тогда,, учитывая (9.65), для массы конуса и его момента инерции Н относительно оси Ох получаем 8(х) В Н зН т = 2хр — ( — г) г йг = рх —, В 3' Ы о Я О Е г,~ — 2гр (В 1)г ~~ — ргВ4 Н з Ркс. 9.36 В 10 Чтобы вычислить момент инерции конуса относительно его основания, предварительно запишем выражение для площади я(*)= ("„*и) (9.72) параллельного основанию конуса сечения, расположенного на расстоянии х от его основания (см. рис, 9.36) ° Затем, согласно (9.67), найдем Н Н 2 Нз ,У„О, = рБ(х)х Йх = ~гр — (Н вЂ” х) х <Ь = рх —. Нз 30 о о Несложно проверить, что подстановка (9.72) в (9.57) приведет к уже полученному выше соотношению для массы конуса.
Моменты имении при значении функции плотности, тождественно равной единице, называют ееометврическими. Они характеризуют, в частности, сопротивление изгибу упру- гих конструкций. 9.7. Огашческие момеиты и коордииаты цеитра масс 427 9.Т. Статические моменты и координаты центра масс Пусть в прямоугольной системе координат Охух с ортонормированным базисом (1, у, й) положение каждой материальной точки (х„; ув; хв) массой тв задано при помощи радиус-вектора з в. Линейную комбинацию векторов И ~Ъд'» (9.73) И 1вв(~'в — ~'С) = О, в=1 где т с — радиус-вектор центра масс. Отсюда, учитывая (9.73), 1 ~-~ 1 ГС= — ~т Г = — К, вж1 М т= ~щ», (9.74) в=1 где т — масса всей системы.
С учетом раэложенил радиус-вектора г„= х„э+ увы+ х„й в базисе 1, у и Й вместо (9.74) получаем координаты центра масс к к„к, хС= ~ УС= ~ хС= (9.75) ЯЪ т т' выраженные через статические моменты системы И Ф Ж К, = ~ т„з„, К» — — ~~ т„у„, К, = ~т„Ь (9.76) в=1 в=1 в=1 относительно плоскостей уОк, зОх и хОу соответственно. назовем вектором спзвтического момента системы Ф материальных точек относительно начала координат.
Цезивром масс этой системы называют такую точку С, относительно которой вектор статического момента системы равен нулевому вектору О, т.е. 428 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление статических моментов, а по ним и координат центра масс объектов с непрерывным распределением массы связано с использованием интегрального исчисления. Если известна зависимость от некоторого параметра 1 Е ~а, о1 дифференциала йт($) массы объекта и расстояний до координатных плоскостей его произвольного участка, соответствующего приращению Ь$, то, согласно общей схеме применения интеграла (см.
9.1), можно написать у(й) ест(Ф), К, = г(й) сЕт(Ф). (9.77) Из (9.77) следует, что для объекта с симметричным относительно какой-либо координатной плоскости распределением массы статический момент относительно этой плоскости равен нулю, т,е., согласно (9.751, центр масс объекта лежит в этой плоскости. Обратно, равен нулю статический момент относительно любой плоскости, проходящей через центр масс объекта.
Пусть для заданной в виде (9.1) ааадкой пространственной кривой Г распределение массы по длине описывает интпегрируемая на отрезке ~а, Ц функция р,($). Статический момент этой кривой относительно плоскости уОз, согласно (9.56) и (9.77), будет равен й. (9.78) Аналогична запись статических моментов К„и К» для этой кривой. Отсюда нетрудно получить формулы для статических моментов К~ и К„гладкой плоской кривой, лежащей в плоскости хбу. Параметром в (9.77) может быть одна из координат (например, абсцисса х). Для плоской фиеуры, лежащей в плоскости хву, К и К„обычно называют статическими моментами 9.7. Статические моменты и координаты центра масс 429 относительно осей Оу и Ох соответственно.
Если интегрируемая наотрезке [а, 6] функция ря(х) задаетзависимостьот х Е [а, 6] поверхностной плотности криволииейной тпрапеции, имеющей основанием этот отрезок и ограниченной графиком неотрицательной функции Дх) > 0 Ух б [а, 6], то с учетом (9.59) и (9.77) получаем К = хр~(х)Ях) 6х. а (9.79) Чтобы найти статический момент К„этой криволинейной трапеции относительно оси Ох, предварительно рассмотрим прямоугольную полоску, имеющую основанием отрезок [х, х+Ьх] и высоту Дх). Так как масса прямоугольного участка этой полоски высотой Ьу > О, отстоящего от оси Ох на расстоянии у, равна ря(х)Лхасу, а статический момент этого участка приближенно равен р~(х) уйхйу, то У( ') ЬК»(х) ~ ИК»(х) = ре(х)Ьх рф = -рв(х)~Г~(х)Ьх. 2 Тогда в силу аддитивности статического момента находим Ь Ь К» — — ЙК»(х) = — р~(х) ~~(х) Вх. 2 (9.80) К =2~г хря(х) ~~(х)~ а (9.81) Пусть такая же функция р~(х) описывает распределение массы по поверхности, образованной вращением вокруг координатной оси Ох гладкой плоской кривой, заданной дифференцируемой на отрезке [а, 6] функцией у = ~(х).
Тогда в силу (9.60) и (9.77) получаем 430 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА а Кд —— 0 (в силу симметрии поверхности вращения относительно оси Ох), так что центр масс такой поверхности лежит на оси Ох. Статический момент относительно плоскости уОз тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, Ц и ограниченной графиком непрерывной на [а, 6] функции Дх), согласно (9.58) и (9.77), равен К =я хр(х)~~(х)Ых, Ф (9.82) где р(х) — зависимость от х Е [а, 6] плотности тела.
При значении функции плотности, тождественно равной единице, ствашически4 моментп называют аеометприческим, но точку, относительно которой вектор такого момента равен нулевому вектору, по-прежнему именуют центром масс (иногда центром тяжести). Так, для гладкой плоской кривой Г, заданной дифференцируемой на отрезке [а, 6] функцией у = = Дх) и имеющей, согласно (9.12), длину 8г, ордината центра масс равна К» 1 Ус = 8Г 8Г (9.83) У криволинейной трапеции, имеющей основанием отрезок [а, 6] и ограниченной графиком неотрицательной функции ~(х), ординату центра масс можно найти из (9.80), полагая р(х) = — 1 и учитывая выражение (9.19) для площади Я, по формуле р' = — = — ~ (х)сЬ. Кр 1 с= ~ =2~ й (9.84) 9.7.
Статические момеиты и коордииаты цеитра масс 431 Если все части равенства (9.83) умножить на 2тзг, а (9.84) — на 2~гЯ, то получим соответственно Ь Я' = 2~г ~(х) ~Ух = 2згусзг (9 85) ~~(х) Ых = 2~гу~Я. (9.86) Следовательно, площадь Я' поверхности вращения плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси равна длине зг дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной при вращении кривой ее центром масс, а объем %"' тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси, равен площади Я этой фигуры, умноженной на длину окружности, описанной при вращении фигуры ее центром масс. Эти формулировки составляют содержание теорем, установленных швейцарским математиком П.
Гольдином (1577-1643) и носящих названия первой и втпорой юиеорем Гульдина. Пример 9.20. Вычислим поверхность и объем тора (тела, образованного вращением круга вокруг оси, расположенной в плоскости круга и не пересекающей его) (рис. 9.37). Ясно, что центры масс круга и ограничивающей его окружности радиуса г совпадают с их центром. Если расстояние от центра круга до оси вращения равно В, то длина окружности, описываемоЙ центром круга при вращении, 1=2тВ.
Тогда поверхность тора, согласно (9.85), Я' = = 2~гВ.2л г= 4~г2гВ, а его объем в соответствии с (9.86) У' = 2~гВ ° я гз = 2л'~г~В Теоремы Гульдина позволяют установить ординату центра масс плоской кривой Рис. 9.37 432 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА нли плоской фигуры, если известны длина дуги кривой и площадь поверхности, образованной при ее вращении вокруг оси Ох, или площадь плоской фигуры и объем тела, образованного при вращении вокруг этой оси данной фигуры.
Пример 9.21. Найдем ординаты центров масс полуокружности и полукруга радиуса г, диаметр которых лежит на оси Ох. При вращении такой полуокружности, имеющей длину я'г, вокруг оси абсцисс получаем сферу с площадью поверхности 4я'гз. Поэтому, согласно (9.85), ордината центра масс полу- окружности ус = 2г/~г и 0,6366г.
Полукруг, имеющий площадь юг~/2, при вращении вокруг оси абсцисс образует шар объемом 4я'гз/3, Следовательно, в силу (9.86) ордината центра масс полукруга ус — — (4/3) г/~г а 0,4244г. Пример 9.22. Уравнение задает поверхность, напоминающую подводную часть корабля (рис. 9.38). Одно из важнейших мореходных качеств корабля Рис. 9.38 9.7. Статические моменты и координаты центра масс 433 м состоит в его способности после отклонения внешним воздеиствием от положения равновесия и прекращения этого воздействия возвращаться в исходное положение. Это качество называют остойчивостью и количественно характеризуют метацентрической высотой, т.е.
превышением положения метацентра корабля над его центром масс. В положении равновесия мета- центр М совпадает с центром водоизмещения (центром масс тела, отвечающего по форме подводной части корабля и заполненного водой), причем аппликата метацентра ям = К,/У, где У и К вЂ” объем и статический момент этого тела относительх но плоскости хОу.
Заметим, что сечение заданной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси Оз, является эыипсамс полуосями а и бя/с, т.е. площадь этого сечения (см. пример 9.5) Я(я) = таба/с. Тогда объем тела, ограниченного заданной поверхностью и плоскостью л = с, согласно (9.33), с с вагаб 1 Я(я) сЬ = — ясЬ = -ггабс, 2 о а его статический момент относительно плоскости хОу г Ыг= -ггабс . з 1 г 3 вагаб яЯ(я) Ыг =— с Кх— Отсюда гм = 2с/3, причем в силу симметрии метацентр М лежит на оси Оя (см. рис.
9.38). Для обеспечения остойчивости корабля необходимо, чтобы лм > гс, где гс — аппликата его центра масс. Тогда при некото ом отклонении корабля от положения равновесия возникнет Р момент выталкивающей силы воды относительно центра масс, стремящийся восстановить положение равновесия. Чем больше значение Ь = гм — гс метацентрической высоты, тем больше 434 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
