VI Зарубин В.С. и др. Интегральное исчисление функций одного переменного (1081395), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА этот момент и выше остойчивость корабля. На положение цен- тра масс хс. влияют расположением балласта в нижней части корабля. 9.8. Работа, энергия, сила давления Из элементарной механики известно, что сила, приложенная к движущейся прямолинейно точке и постоянная как по абсолютной величине Р, так и по направлению, совершает механическую работу (9.87) А = Рвсоза, Г = (т' Е й: т' = т (1), 1 Е ~а) 6]), где т'(1) = х(1)в+ у(1)у + г($)й — радиус-вектор точки М.
Напомним, что для гладкой кривой функции х(1), у(1) и г(1) непрерывно дифференцируемы на отрезке ~а, в1. Таким образом, текущее положение точки М(1) на этой кривой однозначно определено значением параметра 1 б ~а, 6~. Силу, действующую на движущуюся по кривой Г точку М(1), зададим вектпор-функцией Р(8) =((Ф)1+ ц(8)у+~ЯЬ, Ф Е ~а, Ц, (9.88) где ~(Ф), ц(Ф) и ('(Ф) — интегрируемые по Риману на отрезке ~а, о1 функции параметра 1, Вклад в работу, совершаемую силой при перемещении точки по участку кривой Г длиной Ьв(8), соответствующему отрез- где в — перемещение этой точки, а а — постоянный угол между направлениями силы и перемещения. Работа обладает свойством аддитпивностпи, т.е.
является суммой вкладов ра боты, совершенной силой на каждом частичном перемещении точки. Пусть точка М движется по мадкой простпранстпвенной кривой Г, заданной в прямоугольной системе координат Охух с ортпонормированкым базисом (в, у, й) вектпорным предстпа- влекием 435 9.8. Работа, энергия, си.ш давления ку [$, 8+ Ь8) С [а, 6~, представим приближенным выражением Аф, $+ Ж)) и1Г(1)1Ь8(1) созо($). (9.89) Здесь а(Ф) — меняющийся с изменением параметра 1 угол между вектором Р($) силы и вектором е($) скорости точки М.
Последний определяет направление движения этой точки и направлен по задаваемой вектор-функцией касательной к кривой Г. Используя формулу для вычисления скалярного произведения еектпорое, запишем и вместо (9.89) с учетом приближенного выражения Ь8($) в а сЬ(1) = 1з'(1) ! Ь| в итоге получим АФ ~+ Ь~1) и (~(~)х'(~) + р(~)у'(~) +~(~)х'(~)) Ь~. (9.90) ь ь ®~)х'(~) + ~(~)у'(~) + ~(~) я'(~)) й. (9.91) ИА(1) = Подчеркнем, что выражение (9.90) приближенное, поскольку вектор силы Г($), приложенной к точке М, и угол о($), образованный вектором силы с направлением движения, в пределах участка кривой приняты постоянными, а длина Ь8 этого участка заменена дифференциалом длины дуги а8(1).
Нетрудно установить, что погрешность в (9.90) есть бесконечно малая при Ь| -+ 0 более высокого порядка по сравнению с Ь$. Следовательно, (9.90) является дифференциалом работы с~А(1). Поэтому работу, совершаемую при перемещении точки М по кривой Г из начальной точки А(х(а); у(а); я(а)) кривой в ее конечную тпочку В(х(6); у(6); х(6)), можно найти интпегрироеанием на отрезке [а, Ц ее дифференциала: 436 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Отсюда несложно получить выражение для работы силы, приложенной к точке, движущейся по заданной плоской криво6, в частности, по кривой, являющейся графиком функции ~(х) (х Е ~а, Ц), непрерывно дифференцируемой на отрезке ~а, Ь].
В простейшем случае, когда направления перемещения з и зависящей от него силы Р(8) совпадают (в (9.87) соза = 1), совершаемая такой силой работа на суммарном перемещении з„равна (9.92) Р (8) а8. Пример 9.23. Для увеличения первоначальной длины упругой винтовой пружины, закрепленной неподвижно одним своим концом (рис. 9.39, а), к ее другому концу необходимо приложить направленную вдоль ее оси растягивающую силу Р(з) = Йз, где з — перемещение конца пружины и Й вЂ” коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины. Если растягивающая сила возрастает постепенно, то при заданном перемещении з„конца пружины эта сила в соответствии с Рис.
Э.ЗЭ Если направления перемещения и действующей силы проти- воположны (созе= — 1), то А„< О, и считают, что работу совершают против действующей силы. 437 9.8. Работа, энергии, сила давлении (9.92) совершит работу Так как перемещению 8„соответствует растягивающая пружину сила Р„= Й8„, то ту же работу, затраченную на растяжение пружины, можно записать в виде А„= Рмз„/2.
Геометрически значение А„отвечает заштрихованной на рис. 9.39, б площади прямоугольного треугольника, имеющего основанием отрезок ~0, з„] и ограниченного графиком функции Р(8) = Й8. Эта работа будет равна запасенной в пружине потенциальной энергии деформации ее витков. Уменьшение растягивающей силы (Р < Р„) вызовет перемещение конца пружины в обратном направлении. При этом часть потенциальной энергии будет израсходована на совершение отрицательной работы против действующей растягивающей силы, поскольку направления перемещения конца пружины и приложенной к этому концу силы будут противоположны. Если к свободному концу пружины (см.
рис. 9.39, а) сразу приложить постоянную растягивающую силу Р„, подвесив груз весом Рм, то при перемещении 8„этого конца пружины сила совершит работу А = У"мзм = 2А„. Половина этой работы перейдет в потенциальную энергию деформации витков пружины, а половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической энергии. Пример 9.24. Согласно закону Ньютона всемирного тяготения, на тело массой т действует сила притяжения Земли, равная М~в ~® = ~(д+цз где у — гравитационная постоянная; М и В = 6371 км— масса и средний радиус Земли; Ь вЂ” высота тела над поверхностью Земли. Ускорение свободного падения на поверхности 439 9.8.
Работа, эиергил, сила давления где .У = рхК'Н/10 — момент инерции конуса относительно его оси (см. пример 9.19). Правая часть этого соотношения является аналогом выражения то~/2 для кинетической энергии материальной точки массой т, имеющей скорость о поступательного движения. Таким образом, при вращательном движении мерой инерции тела является его момент инерции относительно оси вращения.
Пусть в некоторый момент времени 1 = О, принимаемый за начало отсчета, к оси конуса прикладывают тормозящий момент М(ы), зависящий от значения ы($) угловой скорости в текущий момент времени $. Затраты мощности (работы в единицу времени) М(ы)м($) на преодоление сопротивления вращению будут уменьшать исходный запас И~о кинетической энергии со скоростью ~Ж($)/й = — М(ы)ы(1), где Ф(~) = = ЛР(1)/2 — текущее значение кинетической энергии вращающегося конуса. Таким образом, в произвольный момент времени 1 имеем = Лф) — = -М(со)м(1). сж(~) й (~) й й Отсюда, учитывая, что при 8 = 0 ы(0) = оо, находим ы(~) ь .1 — = -й, й (~) М(м) Время 1„прошедшее от начала торможения до полной оста- новки конуса, когда ы(1,) = О, составляет 442 ' 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ~ир (~и — коэффициент трения), т.е. сила трения, приходящаяся на единицу площади пяты и направленная противоположно перемещению участка пяты относительно подпятника. Это на пряжение дает вклад ррг в момент сопротивления вращению, который в силу симметрии относительно оси вращения одинаков для всех участков, расположенных от оси на одинаковом расстоянии г. Таким образом, вклад в суммарный момент М сопротивления вращению кольцевого участка пяты, ограниченного окружностями радиусов г и г+ Ьг, можно представить приближенным соотношением М® г+ йг)) м ура ° 2кгйг. Тогда для суммарного момента получим (9.95) Отметим, что мощность И~ (работа в единицу времени), развиваемая моментом сопротивления, равна Мы, где ив угловая скорость вращения вала.
Для того чтобы связать нагружающую вал осевую силу Р с моментом М и мощностью И', расходуемой на преодоление сопротивления вращению, необходимо конкретизировать зависимость давления р от радиуса. Если принять р= сопвФ, что соответствует новой, неприработанной пяте, то из (9.94) и (9.95) следует, что В В 2 Р=2~~р пй =яр(Е~-Е~~), М=2хрр~~1Й =-~грр~Вз-1ф). Во Вф Отсюда р = Р~Б„и М = (2~3)прР(У вЂ” Вз~)/Я„, где Я„= = ~г(Вз — В~~). В частности, при В0 = 0 имеем М = (2~3) МАРВ.
При вращении пяты ее участки, более удаленные от оси вра щения, имеют 66аьшую скорость относительно подпятника, так 443 9.8. Работа, энергии, сии давлеике что износ этих участков и контактирующих с ними участков подпятника более интенсивен. Благодаря этому происходит перераспределение давления р и оно возрастает на более близких к оси менее изношенных участках.
Для приработанных пят обычно принимают, что приходящаяся на единицу площади пяты мощность иргы, развиваемая силами трения, а значит, и интенсивность износа постоянны, т.е. рг = сопв$ = с. Тогда из (Я.Я4) и (9.95) находим гй = агре( — В0). Й =2тс(В-В0), М=2я'~ис Р=2тс Отсюда с = Р( фк(В - В0)) и М = рР(В+ Во)(2 (в частности, при В0 —— 0 М = Я2)МАРВ, т.е.
для приработанной пяты момент, а значит, и мощность, расходуемая на преодоление сопротивления вращению, меньше, чем для новой пяты). 4~ Пример 9.27. Найдем силу давления воды на прямоугольную створку ворот судоходного шлюза и момент этой силы относительно оси вращения створки при наибольшем перепаде Ь уровней в верхнем и нижнем бьефах. Пусть высота створки Н и ее ширина В. Координатную ось Ох совместим с осью вращения створки, а ось Оу — с верхним уровнем воды (рис.
9.41). Сила давления на горизонтальную полоску створки, соответствующую отрезку ~х, х+ Дх~ С 10, Ь|, приближенно равна Р1цх, х+ Дхи РухВДХ Известно, что сила давления на площадку 5 столба жидкости высотой Ь, имеющего основанием эту площадку, равна руЬЯ, где р — плотность жидкости, а д — ускорение свободного падения. Таким образом, на глубине Ь давление жидкости р = руЬ, причем, согласно закону Паскаля, оно не зависит от расположения площадки. 444 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рис. 9.41 а для полоски, отвечающей отрезку [х, х+ Ьх~ С ~Ь, Н~, Рг(~х, х+ Ьх]) ~ рухВйх — ру(х — Ь)ВЬх = руЬВ. Тогда сила давления на створку равна Р = рухВИх+ рдйВЫх = о л ~,г Ь =р~ — и+р~цн-цн=рдь~н--)н. Интересно отметить, что сила давления жидкости хф(х) — ~,(х)) Нх Р= рд Сила давления на любую горизонтальную полоску приложена в ее середине, т.е.
на расстоянии В/2 от оси вращения створки. Следовательно, и сила давления на створку приложена на таком же расстоянии, так что момент этой силы М = РВ(2 = = рдЬВ Н(2 — Ь~НУ4. У Д.Я.1. Двнженне в центральном ноле тлготеннл 445 на погруженную вертикально плоскую фигуру с прямолинейными верхней и нижней кромками и криволинейными боковыми кромками, соответствующими графикам функций ~1(х) и ~г(х) (х Е ~а, 6~), пропорциональна геометрическому статическому моменту площади этой фигуры относительно оси Оу, отвечающей уровню жидкости (х = 0), а момент силы давления м = Р~~~ЬЮ вЂ” й(х)) ьх В относительно оси Оу — геометрическому моменту имер ции площади погруженной фигуры относительно этой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
